第06讲 反比例函数（一）（5个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 反比例函数（一）（5个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【例1】（2023秋•涡阳县校级月考）已知函数是反比例函数，则　　 A． B．且 C． D．或2 【变式1】（2023秋•庐阳区校级月考）已知函数是反比例函数，则的值为 　　． 【变式2】 将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，，如此继续下去． （1）完成下表 （2）观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【例2】 反比例函数与一次函数的图象交于点和点．由图象可知，对于同一个，若，则的取值范围是 　　． 【变式1】（2024•庐阳区校级三模）若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•庐阳区校级期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究．下表是函数与自变量的几组对应值： 0 2 3 4 5 7 4 3 2.5 （1）函数自变量的取值范围为 　　． （2）根据表格中的数据，求出，的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：　　． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 【例3】（2020•大通区模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020•安徽模拟）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2020秋•花山区校级月考）如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为　　． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【例4】（2022秋•蚌埠期中）若反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•肥西县期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 　　． 【变式2】（2021秋•淮南月考）类比反比例函数的图象与性质的学习过程，小欣进一步研究了函数的图象与性质．其过程如下： （1）绘制函数图象 ①列表： 0 1 2 3 2 1 ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）探究函数性质 判断下列说法是否正确（正确的填“”，错误的填“” ①函数值随的增大而减小：　　． ②函数图象关于原点对称：　　． ③函数图象与直线没有交点：　　． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【例5】（2023秋•安庆期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为　　 A．6 B．12 C．8 D．18 【变式1】（2024•大观区校级二模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为2，则的值为　　． 【变式2】（2023秋•亳州期末）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 经典题型汇编 题型一．反比例函数的定义 1．（2022秋•包河区期中）下面四个关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•谢家集区期末）过的反比例函数是 　　． 3．（2022秋•定远县校级月考）下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二．反比例函数的图象 4．（2024•固镇县二模）若，是一元二次方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 5．如图，一次函数与反比例的图象相交于、两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是 　　． 6．如图，、两点在函数的图象上． （1）求的值及直线的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． 题型三．反比例函数图象的对称性 7．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 8．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于、、、四点，已知点的横坐标为1，则点的横坐标　　 A． B． C． D． 9．直线与双曲线交于，、，两点，则　　． 题型四．反比例函数的性质 10．（2024•合肥模拟）下列函数中，当时，的值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•淮北月考）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 　　． 12．如图，的斜边的两个顶点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，与轴平行，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）求点所在函数图象的解析式． 题型五．反比例函数图象上点的坐标特征 13．（2021秋•瑶海区校级期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•瑶海区校级期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值　　． 15．（2023秋•包河区校级期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若，此函数的图象过第一象限的两点，，，且，求的取值范围． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽池州·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上 C．y随x的增大而增大 D．该图象是轴对称图形 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在双曲线上，则a的值是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一个等腰三角形的面积为，底边长为，底边上的高为，则与之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 10．（20-21九年级上·安徽安庆·期中）正比例函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A． B两点，其中A的横坐标为−2，则满足的x的取值范围是（    ） A．x<−2或0<x<2 B．−2<x<0 C．x<−2或x>2 D．−2<x<0或x>2 二、填空题 11．（九年级上·安徽宿州·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．（22-23九年级上·安徽六安·期末）已知是关于的反比例函数，则 ． 13．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数：①；②；③；④中，偶函数是 （填出所有偶函数的序号）． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 三、解答题 15．（21-22九年级上·安徽淮南·阶段练习）若反比例函数的图象经过，，求抛物线的对称轴． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围． 17．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 18．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流I（A）与电阻R（）的关系图象，该图象经过点． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)当时，求I的取值范围． 19．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 21．（19-20九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知反比例函数y＝的图像经过点A（2，－4）． （1）求k的值； （2）它的图象在第 象限内，在各象限内，y随x增大而 （填变化情况）； （3）当≤x≤2时，求y的取值范围． 22．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式和n的值； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 23．（19-20九年级上·安徽淮北·阶段练习）小田同学学习反比例函数的图象和性质后，对新函数的图象和性质进行了探究，以下是她的探究过程：. 第一步：在直角坐标系中，作出函数的图象； 第二步：通过列表、描点、连线，作出新函数的图象 ①列表： … -4 -2 -1 0 1 3 4 5 6 … … 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 … ②描点：如图所示. （1）请在图中，帮助小田同学完成连线的步骤； （2）观察图象，发现函数与函数的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变，由此可知，函数的图象可由函数的图象平移得到，请写出函数的图象是怎样平移得到的？ （3）若点，在函数图象上，且，则 （选填“>”“<”或“=”） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 反比例函数（一）（5个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【例1】（2023秋•涡阳县校级月考）已知函数是反比例函数，则　　 A． B．且 C． D．或2 【分析】依据反比例函数的定义求解即可． 【解答】解：由题意知：，整理得，解得，． 当时，，不合题意，舍去． 的值为2． 故选：． 【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义，依据反比例函数的定义列出关于的方程是解题的关键．需要注意系数． 【变式1】（2023秋•庐阳区校级月考）已知函数是反比例函数，则的值为 　　． 【分析】根据反比例函数的定义，即，只需令且即可． 【解答】解：根据题意， ， 又，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 【变式2】 将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，，如此继续下去． （1）完成下表 （2）观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 【分析】（1）根据规律计算，依次求出、、、、； （2）由（1）计算的结果，发现循环规律，由此求． 【解答】解：（1），；，；，；，；，， 填表如图所示： 2 2 （2）由（1）计算结果可知，结果依次为：，2，，，2，，三个数循环， 所以，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查反比函数的定义，关键是理解题意，根据题目所给出的规律计算，观察计算结果，得出循环规律． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【例2】 反比例函数与一次函数的图象交于点和点．由图象可知，对于同一个，若，则的取值范围是 　或　． 【分析】先将点和点代入反比例函数与一次函数求得函数解析式．再根据反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质求得若时的取值范围． 【解答】解：由于，为交点，则点，都满足这两个函数解析式， 把点代入反比例函数得， 把点代入一次函数解析式中，得：． 把点代入上述函数解析中的任何一个，得：，则． 在同一个坐标系中画出这两个函数的解析式：如图，函数值大的，则表现在图象上就是在上方， 由此图，可得：或． 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． （1）反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限； （2）一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 【变式1】（2024•庐阳区校级三模）若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出一元二次方程的两个根，再对所给图象依次进行判断． 【解答】解：、是方程的两根， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， 选项不符合题意． 解方程得， ，， 当，时，一次函数中随的增大而增大，且与轴交于负半轴． 当时，，一次函数中随的增大而减小，且与轴交于正半轴． 选项符合题意．选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的图象及一次函数的图象，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式2】（2023秋•庐阳区校级期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究．下表是函数与自变量的几组对应值： 0 2 3 4 5 7 4 3 2.5 （1）函数自变量的取值范围为 　　． （2）根据表格中的数据，求出，的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：　　． 【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量的取值范围； （2）把，代入函数解析式即可得到和的值，依据点的坐标描点连线即可得到函数图象； （3）依据函数的图象可得函数的增减性． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）， 故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，用描点法画反比例函数的图象， 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 【例3】（2020•大通区模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以、两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出点坐标即可． 【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 、两点关于原点对称， 的坐标为， 的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，熟知反比例函数的图象关于原点对称的特点是解答此题的关键． 【变式1】（2020•安徽模拟）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为． 故选：． 【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决． 【变式2】（2020秋•花山区校级月考）如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为　　． 【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可． 【解答】解：双曲线与的图象关于轴对称， 根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为，半径为3， 所以：． 故答案为． 【点评】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为，半径为3的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【例4】（2022秋•蚌埠期中）若反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数图象的增减性，当反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大，可得，反比例函数图象值应小于0．即本题中，，最后解得的取值范围即可． 【解答】解：反比例函数的图象在其所在的每一个象限内，都随的增大而增大， ， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，准确掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键． 【变式1】（2023秋•肥西县期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 　或　． 【分析】先根据函数解析式判断出函数的增减性，再求出时的值，进而可得出结论． 【解答】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， ， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 【变式2】（2021秋•淮南月考）类比反比例函数的图象与性质的学习过程，小欣进一步研究了函数的图象与性质．其过程如下： （1）绘制函数图象 ①列表： 0 1 2 3 2 1 ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）探究函数性质 判断下列说法是否正确（正确的填“”，错误的填“” ①函数值随的增大而减小：　　． ②函数图象关于原点对称：　　． ③函数图象与直线没有交点：　　． 【分析】（1）利用列表、描点、连线画出函数图象即可； （2）根据图象，数形结合即可判断． 【解答】解：（1）如图； （2）根据函数图象可得： ①每一个分支上，函数值随的增大而减小，故①错误，应为， ②图象关于对称，故②错误，应为， ③函数图象与直线没有交点，应为． 故答案为：，，． 【点评】本题考查函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【例5】（2023秋•安庆期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为　　 A．6 B．12 C．8 D．18 【分析】过点作轴于，延长线段，交轴于，得到四边形是矩形，四边形是矩形，所以，，由，得到，由此得到，根据反比例函数系数的几何意义求出答案． 【解答】解：过点作轴于，延长线段，交轴于， 轴，轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ，同理， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线，构建矩形是解答本题的关键． 【变式1】（2024•大观区校级二模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为2，则的值为　36　． 【分析】先确定，则可设，，再表示出，，利用得到，然后解方程得到的值． 【解答】解：当时，，则， 轴， 点的纵坐标为6， 设，， 轴， 点的横坐标为， ，， ， ， 整理得，解得，， 经检验，都为原方程的解， ． 故答案为36． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【变式2】（2023秋•亳州期末）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过第一、三象限可得：，解此不等式可得的取值范围； （2）根据反比例函数的性质得，解此不等式求出的取值范围，再结合即可得出的取值范围． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 解得：． 的取值范围是：． （2）反比例函数图象过第一象限的两点，，，且 ， 解得：， 又， 的取值范围是：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 经典题型汇编 题型一．反比例函数的定义 1．（2022秋•包河区期中）下面四个关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意． 【解答】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； 、是二次函数，故此选项不符合题意； 、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意． 、是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：是解题的关键． 2．（2023秋•谢家集区期末）过的反比例函数是 　　． 【分析】设反比例函数解析式为，然后把点代入求出值，即可得到解析式． 【解答】解：设这个反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 解得：， 这个反比例函数的解析式是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2022秋•定远县校级月考）下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】利用反比例函数定义进行解答即可． 【解答】解：①是一次函数，不是反比例函数； ②是反比例函数； ③不是反比例函数； ④不是反比例函数； 共1个， 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，． 题型二．反比例函数的图象 4．（2024•固镇县二模）若，是一元二次方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出一元二次方程的两个根，再对所给图象依次进行判断． 【解答】解：解方程得， ，， 所以， 则反比例函数位于第二、四象限， 所以选项不符合题意． 当时，， 即一次函数中随的增大而增大，且与轴交于负半轴． 所以选项符合题意． 当时，， 即一次函数中随的增大而减小，且与轴交于正半轴． 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的图象及一次函数的图象，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 5．如图，一次函数与反比例的图象相交于、两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是 　或　． 【分析】观察函数图象，取反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的的取值范围即可． 【解答】解：一次函数与反比例的图象相交于、两点， 则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是或． 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．本题也可以求出函数关系式，列出不等式求解． （1）反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． （2）一次函数的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 6．如图，、两点在函数的图象上． （1）求的值及直线的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． 【分析】（1）将点或点的坐标代入求出，再将这两点的坐标代入求出、的值即可得到这个函数的解析式； （2）画出网格图帮助解答． 【解答】解：（1）由图象可知，函数的图象经过点， 可得． 设直线的解析式为． ，两点在函数的图象上， ， 解得． 直线的解析式为； （2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是，，共3个． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想． 题型三．反比例函数图象的对称性 7．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 该点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数． 8．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于、、、四点，已知点的横坐标为1，则点的横坐标　　 A． B． C． D． 【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于和对称． 【解答】解：把代入，得，故点坐标为； 、关于对称，则点坐标为； 又和关于原点对称， 点坐标为， 点的横坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要求同学们要熟练掌握，灵活运用． 9．直线与双曲线交于，、，两点，则　　． 【分析】根据直线与双曲线两交点，关于原点对称，求出，，代入解析式即可解答． 【解答】解：由题意知，直线过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点，则这两点关于原点对称， ，， 又点点在双曲线上， ，， 原式． 【点评】本题利用了过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称而求解的． 题型四．反比例函数的性质 10．（2024•合肥模拟）下列函数中，当时，的值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据解析式判断函数的类型及增减性即可． 【解答】解：、，随的增大而减小，不符合题意； 、，，随的增大而减小，不符合题意； 、，随的增大而增大，符合题意； 、，，随的增大而减小，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数性质、一次函数性质、二次函数性质，熟练掌握相关函数的性质是关键． 11．（2023秋•淮北月考）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 　　． 【分析】反比例函数的图象在二四象限，让比例系数小于0列式求值即可． 【解答】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 故答案为． 【点评】考查反比例函数的性质；用到的知识点为：对于反比例函数，，反比例函数图象在第二、四象限内． 12．如图，的斜边的两个顶点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，与轴平行，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）求点所在函数图象的解析式． 【分析】（1）先把点代入反比例函数确定过点与点的反比例函数解析式为，由于，与轴平行，平行轴，则可确定点的纵坐标为1，然后把代入得，于是得到点坐标； （2）把代入反比例函数求出，则可确定点所在函数图象的解析式． 【解答】解：（1）把点代入反比例函数得， 所以过点与点的反比例函数解析式为， 与轴平行， 点的纵坐标为3， 平行轴，， 点的纵坐标为1， 把代入得， 点坐标为； （2）把代入反比例函数得， 所以点所在函数图象的解析式为． 【点评】本题考查了反比例函数的性质：当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 题型五．反比例函数图象上点的坐标特征 13．（2021秋•瑶海区校级期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数，可得三个点的值，再通过横坐标的大小关系，即可得出纵坐标的大小关系． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数中值的运用，解题的关键在于熟练转化． 14．（2023秋•瑶海区校级期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值　　． 【分析】如图，点在函数上，证明，根据的几何意义即可求解． 【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为、，点在函数上，如图： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 点在第二象限， ， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键． 15．（2023秋•包河区校级期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若，此函数的图象过第一象限的两点，，，且，求的取值范围． 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过第一、三象限可得：，解此不等式可得的取值范围； （2）根据反比例函数的性质得，解此不等式求出的取值范围，再结合即可得出的取值范围． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 解得：． 的取值范围是：． （2）反比例函数图象过第一象限的两点，，，且， ， 解得：， 又， 的取值范围是：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽池州·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、， 点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； B、， 点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C、， 点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、， 点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上 C．y随x的增大而增大 D．该图象是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】解：A、，函数的图象在第二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、因为，所以点不在函数图象上，选项说法错误，不符合题意； C、，在每个象限内，y随着x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意； D、，函数的图象在第二、四象限，并且图象是轴对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在双曲线上，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故选：B． 4．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，依此列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵点、是反比例函数图象上的一点， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积都等于比例系数是解题的关键． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数解析式，求反比例函数值．熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数的图象经过点，求反比例函数解析式，然后对各选项的点坐标进行判断作答即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴， 当时，，图象不经过，一定经过，故A不符合要求，B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质：通过观察4个选项的共性：二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，即，结合，与的条件，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴， ∴， ∵ ∴排除选项； 当时， ∴，故错误； 当时，， 故选． 7．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一个等腰三角形的面积为，底边长为，底边上的高为，则与之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据题意有：，故底边与高之间的函数关系图象为反比例函数，即可得出答案． 【详解】解：， ， 又， ． 故选：D． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的识别．根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴y一定是x的反比例函数，故此选项符合题意； B、∵，∴y是x的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； C、∵，当时，y不是x的反比例函数，故此选项不符合题意； D、∵，∴y是x的二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由在每个象限内，都随的增大而增大，可知， ∴， ∴从选项中可以看出只有B选项符合题意； 故选B． 10．（20-21九年级上·安徽安庆·期中）正比例函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A． B两点，其中A的横坐标为−2，则满足的x的取值范围是（    ） A．x<−2或0<x<2 B．−2<x<0 C．x<−2或x>2 D．−2<x<0或x>2 【答案】A 【分析】根据反比例函数的对称性得到反比例函数与正比例函数另一个交点的横坐标，再根据数形结合的思想求得x的取值范围． 【详解】如图，令反比例函数与正比例函数的另一个交点为点B 根据反比例函数图像关于坐标原点对称，因为点A的横坐标为−2，则点B的横坐标为2 由，可知 由数形结合思想可知，当正比例函数图像位于反比例函数图像的上方时，x的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的关系以及反比例函数图像的性质，熟练掌握数形结合的思想解题是解决本题的关键． 二、填空题 11．（九年级上·安徽宿州·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：在函数中，， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比函数自变量取值范围，掌握反比例函数自变量不等于0，是解题的关键． 12．（22-23九年级上·安徽六安·期末）已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的形式可得的值． 【详解】解：是关于的反比例函数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 13．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数：①；②；③；④中，偶函数是 （填出所有偶函数的序号）． 【答案】④ 【分析】首先结合各个函数的性质确定各自的对称性，然后结合题目中给出的偶函数的定义作出回答即可得出答案． 【详解】解：①、②这两个图象都是直线，它们的图象不会关于y轴成轴对称图形，不符合偶函数的定义； ③是反比例函数，它是中心对称图形，关于原点对称，不符合偶函数的定义； ④是二次函数，它的图象关于y轴成轴对称图形，符合偶函数的定义． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质及反比例函数的性质，解题的关键是了解偶函数的定义． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的性质，坐标与图形等知识，求出的值是解题关键．过点作与点，设，则，得到，，由等边三角形的性质，得到，进而得出、两点的坐标，得到，然后由求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作与点， 双曲线过A、B两点，且过原点， 设，则， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， 轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 故答案为：6 三、解答题 15．（21-22九年级上·安徽淮南·阶段练习）若反比例函数的图象经过，，求抛物线的对称轴． 【答案】抛物线的对称轴为直线x=-2． 【分析】设出并求解反比例函数解析式，将代入反比例函数中求出的值，进而求出二次函数的解析式和对称轴． 【详解】解：设反比比例函数为，则， ∴ 反比例函数经过 故当时，，解得：， ∴，对称轴为：． 【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解反比例函数解析式以及二次函数的对称轴，熟练利用待定系数法求出反比例函数解析式，这是解决该题的关键． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得：； （2）解：∵反比例函数，， ∴在每一象限内，y随着x的增大而减小， ∵，且当时，，时，， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 17．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 18．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流I（A）与电阻R（）的关系图象，该图象经过点． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)当时，求I的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出最小电阻和最大电阻对应的电流，即可得出结果． 【详解】（1）解：设I与R之间的函数表达式：， 图象经过点， ， 解得：， I与R之间的函数表达式：； （2）解：当时，， 当时，， 当时，求I的取值范围． 19．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴， ∴的取值范围为． 21．（19-20九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知反比例函数y＝的图像经过点A（2，－4）． （1）求k的值； （2）它的图象在第 象限内，在各象限内，y随x增大而 （填变化情况）； （3）当≤x≤2时，求y的取值范围． 【答案】（1）9；（2）二、四，增大；（3） 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数关系式； （2）根据（1-k）的符号来确定函数图象的性质； （3）由函数图象的性质解答． 【详解】解：（1）依题意得：1﹣k＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k＝9； （2）∵1﹣k＝﹣8＜0， ∴反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，且在各象限内，y随x增大而增大； 故答案是：二、四，增大； （3）由（1）得反比例函数表达式为y＝−， 当x=2时，y=-4， 当x＝时，y= -16， 所以，当≤x≤2时，． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算得到k的值是解题的关键所在． 22．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式和n的值； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式是； (2)或 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值； （2）根据图象即可直接求解． 【详解】（1）解：，在的图象上， ， 反比例函数的解析式是． ； （2）解：由图象可得，当或时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，用图象法求不等式解集，熟练掌握用待定系数法求函数的解析式的方法和用图象法求不等式解集方法是解题的关键． 23．（19-20九年级上·安徽淮北·阶段练习）小田同学学习反比例函数的图象和性质后，对新函数的图象和性质进行了探究，以下是她的探究过程：. 第一步：在直角坐标系中，作出函数的图象； 第二步：通过列表、描点、连线，作出新函数的图象 ①列表： … -4 -2 -1 0 1 3 4 5 6 … … 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 … ②描点：如图所示. （1）请在图中，帮助小田同学完成连线的步骤； （2）观察图象，发现函数与函数的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变，由此可知，函数的图象可由函数的图象平移得到，请写出函数的图象是怎样平移得到的？ （3）若点，在函数图象上，且，则 （选填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见解析;(2)向右平移2个单位得到;(3) 【分析】（1）用平滑的曲线连接,不可与图中双曲线相交; （2）观察两个函数对应点的关系可知，将的图像向右平移2个单位可得到的图像; （3）根据图像找出，大致位置，即可判断. 【详解】如图所示, （2）由图像可知，将的图像向右平移2个单位可得到的图像; (3) 由图像可知，当时，函数图像在x轴下方，当时，函数图像在x轴上方，所以当时，. 【点睛】本题考查了函数的图像与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用掌握的知识解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$