第06讲 待定系数法求一次函数、正比例函数解析式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 待定系数法求一次函数、正比例函数解析式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 【例1】（2023秋•瑶海区校级月考）已知函数，当时，，则的值是　　 A． B．3 C．7 D．11 【变式1】（2023秋•庐阳区校级月考）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，增加3个单位，则此函数表达式是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•长丰县期末）写一个图象与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式　　． 【变式3】（2023秋•贵池区期末）一次函数，当时，对应的函数值的取值范围为，求的值 　　． 【变式4】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．求的面积． 知识点2．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 【例2】 （2020秋•宣城校级期中）一个正比例函数的图象经过，则它的表达式为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•颍州区校级期末）点在正比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．15 C． D． 【变式2】（2023秋•埇桥区期中）已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 　　． 【变式3】（2021秋•潜山市期末）已知正比例函数图象经过点． （1）求此正比例函数的解析式； （2）点是否在此函数图象上？请说明理由． 【变式4】（2023秋•安庆期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 经典题型汇编 题型一．待定系数法求一次函数解析式 1．（2023秋•庐阳区校级月考）若点、、在同一条直线上，则的值是　　 A．6或 B．6 C． D．6和3 2．（2023秋•砀山县期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）直线的函数表达式为 　　． （2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点在轴上，点在轴上．当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的的取值范围是 　　． 3．（2023秋•包河区期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线经过，两点，点在直线上，的纵坐标为4． （1）求、的值及点坐标； （2）若点为直线上一动点，且的面积是面积的一半，试求点的坐标． 题型二．待定系数法求正比例函数解析式 4．（2022秋•大观区校级期中）一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•庐阳区校级月考）已知与成正比例，且当时，．则当时，　　． 6．（2023秋•庐阳区校级月考）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列各点中，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为(    ) A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若是y关于x的正比例函数，则k的值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为(    ) A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 7．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（    ） A． B．3 C． D． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若点，在同一个正比例函数图象上，则的值是（    ） A． B．－3 C．3 D． 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）画函数图像时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（    ） 0 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y的值随着x值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于y轴对称，则，． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）正比例函数经过第二、四象限，则k的取值范围是 ． 12．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）无论m为何实数，直线与的交点不可能在第 象限． 13．（八年级上·安徽·阶段练习）一次函数的图象与直线y=-3x+1平行，并且图象过点（-1，0），则这个函数的表达式为 ． 14．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）直线与正比例函数的图象相交于点，点M、N分别在直线和直线上，且轴． （1） ； （2）当时，点M的坐标是 ． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知y与成正比例，且时，，求y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数． 16．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数， (1)若y随x增大而减小，求m的取值范围． (2)若函数图象平行于，求这个函数的表达式． 17．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）将（1）所得的函数图象向下平移几个单位，能经过点(2，-1)？ 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数图像经过点． (1)求此正比例函数的解析式： (2)点是否在此函数图像上？请说明理由； 19．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知，与成正比，与x成正比．当时，；当时， (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值； 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 21．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数． (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 22．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，． (1)求直线的解析式； (2)一次函数（为常数）． ①求证：一次函数的图象一定经过点； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围． 23．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）在探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索的函数性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … … ②根据列表在下面平面直角坐标系中先描点，再连线． (2)①函数y的最小值为________；当y随x增大而减小时，x的取值范围是________； ②当时，x的取值范围是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 待定系数法求一次函数、正比例函数解析式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 【例1】（2023秋•瑶海区校级月考）已知函数，当时，，则的值是　　 A． B．3 C．7 D．11 【分析】把，代入，即可求解． 【解答】解：当时，， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键． 【变式1】（2023秋•庐阳区校级月考）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，增加3个单位，则此函数表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，进而待定系数即可求解． 【解答】解：一次函数的图象经过，每当增加1个单位时，增加3个单位， 一次函数的图象也经过点， ， 解得， 此函数表达式是． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，理解题意是解题的关键． 【变式2】（2023秋•长丰县期末）写一个图象与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式　（答案不唯一）　． 【分析】根据随增大而减小，即可得到函数关系式中的系数；依据图象与轴交于点，即可得到，据此可得结论． 【解答】解：与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降． 【变式3】（2023秋•贵池区期末）一次函数，当时，对应的函数值的取值范围为，求的值 　9或1　． 【分析】当时，随的增大而增大，则时，，据此可求出的一个值；当时，随的增大而减小，则时，，据此也可求出的一个值，从而解答题目． 【解答】解：由一次函数的增减性可知，若该一次函数的值随的增大而增大， 则有时，，时，； 故有， 解得， ． 若该一次函数的值随的增大而减小，则有时，，时，； 故， 解得， ， 综上可知，或1． 故答案为：9或1． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是要对进行分类讨论． 【变式4】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．求的面积． 【分析】（1）将点，代入解析式求出值即可，根据图像是直线确定两点坐标即可画出函数图象； （2）根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，依据三角形面积的计算公式计算即可． 【解答】解：（1）将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 令得，； 令得，； 所以一次函数的图象经过点和． 函数图象如图所示， ； （2）令时，， 令时，， 、，即，， ． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键． 知识点2．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 【例2】 （2020秋•宣城校级期中）一个正比例函数的图象经过，则它的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为， 正比例函数的图象经过点， ，解得， 这个正比例函数的表达式是． 故选：． 【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【变式1】（2023春•颍州区校级期末）点在正比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．15 C． D． 【分析】直接把已知点代入，进而求出的值． 【解答】解：点在正比例函数的图象上， ， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出的值是解题关键． 【变式2】（2023秋•埇桥区期中）已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 　6　． 【分析】设，把，代入并求得的值；然后求当时所对应的的值即可． 【解答】解：设， 把，代入，得． 解得． 所以当时，． 故答案为：6． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力． 【变式3】（2021秋•潜山市期末）已知正比例函数图象经过点． （1）求此正比例函数的解析式； （2）点是否在此函数图象上？请说明理由． 【分析】（1）设正比例函数解析式为，把已知点坐标代入求出的值，即可确定出解析式； （2）把代入解析式计算求出的值，即可作出判断． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：， 则正比例函数解析式为； （2）把代入得：， ， 点不在函数图象上． 【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式4】（2023秋•安庆期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【分析】根据题意设，，从而可得，然后把，和，代入联立方程组，进行计算即可解答． 【解答】解：设，， 则， 由题意得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：， 即， 与之间的函数关系式为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．待定系数法求一次函数解析式 1．（2023秋•庐阳区校级月考）若点、、在同一条直线上，则的值是　　 A．6或 B．6 C． D．6和3 【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为，然后把这三个点的坐标代入，解方程组，即可求出的值． 【解答】解：设一次函数的解析式为，把、、代入得 ， 解得． 的值是6． 故选：． 【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数． 2．（2023秋•砀山县期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）直线的函数表达式为 　　． （2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点在轴上，点在轴上．当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的的取值范围是 　　． 【分析】（1）设直线方程并利用待定系数法求得解析式即可； （2）求出当直线过点时和直线过点时的值，即可求得答案． 【解答】解：（1）设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为． 故答案为：； （2）当线段经过点时，，解得； 当线段经过点时，，解得， 当时，直线就会发红光． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求一次函数解析式和两直线的交点坐标，正确进行计算是解题关键． 3．（2023秋•包河区期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线经过，两点，点在直线上，的纵坐标为4． （1）求、的值及点坐标； （2）若点为直线上一动点，且的面积是面积的一半，试求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到、的值，然后计算函数值为4所对应的自变量的值得到点坐标； （2）设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得，， 一次函数解析式为， 当时，， 解得， 点坐标为； （2）设， 的面积是面积的一半， ， 解得或， 点坐标为或． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式． 题型二．待定系数法求正比例函数解析式 4．（2022秋•大观区校级期中）一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】本题可设该正比例函数的解析式为，然后根据该函数图象过点，由此可利用方程求出的值，进而解决问题． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为，根据题意，得 ， ． 则这个正比例函数的表达式是． 故选：． 【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 5．（2022秋•庐阳区校级月考）已知与成正比例，且当时，．则当时，　　． 【分析】设，把，代入，求出得到函数解析式，把代入函数解析式，求出即可． 【解答】解：根据题意，设， 把，代入得：， 解得：， 与的函数关系式为， 把代入， 得， 故答案为：． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求出函数的解析式是解此题的关键． 6．（2023秋•庐阳区校级月考）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的值． 【分析】（1）根据正比例的定义设，，，然后把两组对应值分别代入得到、的方程组，再解方程组求出、即可； （2）把代入（1）中所求的关系式计算对应的的值即可． 【解答】解：（1）设，， 所以， 把时，；当时，分别代入得， 解得， 所以与的函数关系式为，即； （2）当时，，即． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：先设，然后把一组对应值代入求出即可得到正比例函数解析式． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意； B．是一次函数，符合题意； C．不是一次函数，不符合题意； D．不是一次函数，不符合题意． 故选：B 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列各点中，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的特征，熟练掌握判断点在函数图象上的方法是解答本题的关键．将4个点分别代入函数关系式，并逐一计算验证即得答案． 【详解】选项A，当时，，所以点在函数图象上，符合题意； 选项B，当时，，所以点不在函数图象上，不符合题意； 选项C，当时，，所以点不在函数图象上，不符合题意； 选项D，当时，，所以点不在函数图象上，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴ 解得：， 故选：C． 4．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若是y关于x的正比例函数，则k的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义解题即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， 所以：且 ，解得： ，解得：， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象平行的问题、求一次函数的解析式．根据两直线平行，设一次函数解析式为，然后把代入求出，即可得到一次函数解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，设一次函数解析式为， 把代入得，， 解得，， 一次函数的解析式为：． 故选：C． 6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 7．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过，两点， ， ， ，， ， ， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若点，在同一个正比例函数图象上，则的值是（    ） A． B．－3 C．3 D． 【答案】A 【分析】设正比例函数解析式为将A，B两点代入可计算的值，再将原式化简后代入即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 将点，代入上式，得，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解的值是解题的关键． 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）画函数图像时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（    ） 0 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：∵时，；时，， ∴方程的根最精确的范围是． 故选D． 10．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y的值随着x值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于y轴对称，则，． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，平移的性质，对称的性质；由及一次函数的增减性质即可判断①；由一次函数平移的性质知，，从而可确定a与b的值，进而可判定②；把两点坐标代入函数式中，消去m即可得a与b的关系，进而可判定③；由对称知，是两对称直线的公共点，则可求得b；再在直线上取点，其对称点在上，则可求得a的值，从而可判定④，最后可确定正确选项． 【详解】解：当时，则，y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则， ∴，故②错误； 若点和均在该函数图象上，则有， 两式相减消去m，并整理得：，故③错误； 若该函数的图象与直线关于y轴对称，显然是两对称直线的公共点，则；在直线上取点，则它关于y轴的对称点在直线上，即，∴，故，，即④正确； ∴正确的有①④； 故选：． 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）正比例函数经过第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为： 12．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）无论m为何实数，直线与的交点不可能在第 象限． 【答案】一 【分析】分析的图象经过的象限即可． 【详解】解：∵是一次函数，， ∴图象过二、四象限， 又∵， ∴图象过第三象限， ∴一定不过第一象限， ∴直线与的交点不可能在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，解题的关键是找到一次函数不经过的象限，那么交点就一定不在那个象限． 13．（八年级上·安徽·阶段练习）一次函数的图象与直线y=-3x+1平行，并且图象过点（-1，0），则这个函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】由平行可知该一次函数k=-3，再代入点即可求解解析式. 【详解】解：设一次函数表达式为y=kx+b，由题意可得k=-3，代入点，则： 0=-3×(-1)+b，解得b=-3，则一次函数解析式为：. 【点睛】本题关键在理解平行的含义. 14．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）直线与正比例函数的图象相交于点，点M、N分别在直线和直线上，且轴． （1） ； （2）当时，点M的坐标是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是掌握用一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及平行于x轴的直线上的点纵坐标相等． （1）把代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，即可求出k的值； （2）设，则或，根据轴，得出或，求出t的值即可． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴正比例函数解析式为， 故答案为：2； （2）∵点M在直线上， ∴设， ∵， ∴点N的横坐标为或， ∵点N在直线上， ∴或， ∵轴， ∴或， 解得：或， ∴点M的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知y与成正比例，且时，，求y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数． 【答案】，y是x的一次函数 【分析】根据题意设，把，代入即可求解； 【详解】解：∵y与成正比例， ∴可设， 把，代入，得，   ∴， ∴y与x之间的函数关系式为，y是x的一次函数． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 16．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数， (1)若y随x增大而减小，求m的取值范围． (2)若函数图象平行于，求这个函数的表达式． 【答案】(1) (2)这个函数的表达式为 【分析】本题考查的是两条直线平行问题，一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x的增大而减小是解答此题的关键． （1）根据一次函数的性质求出m的取值范围． （2）根据互相平行的两条直线斜率相等求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， ∴， 解得． （2）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 解得 这个函数的表达式为 17．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）将（1）所得的函数图象向下平移几个单位，能经过点(2，-1)？ 【答案】（1）y=2x+3；（2）下移8个单位 【分析】（1）设，再把时，代入求出k的值即可； （2）设向下平移n个单位经过点（2，-1），再把点（2，-1）代入求出n的值即可． 【详解】解：（1）∵与成正比例， ∴设， ∴时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为：， （2）设向下平移n个单位经过点（2，-1）， ∵与的函数关系式为， ∴平移后的函数关系式为， ∴， 解得， 即下移8个单位． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解答此题的关键． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数图像经过点． (1)求此正比例函数的解析式： (2)点是否在此函数图像上？请说明理由； 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为， 把代入中得：， ∴此正比例函数的解析式为； （2）解：点不在此函数图像上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图像上． 19．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知，与成正比，与x成正比．当时，；当时， (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与成正比例，可设与x成正比例，设，利用待定系数法即可求解． （2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可． 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握要求y与x之间的关系，先找与x、与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 【详解】（1）解：依题意，设 则 ∵当时，；当时， ∴ 解得 （2）解：∵ ∴把代入中： 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 【答案】(1)；4 (2)2或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型： （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可； 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：； ∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”， ∴点到两坐标轴的距离之和等于， ∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”， 即． 故答案为：；4； （2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，， ∵一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为； 把代入得： ，解得：； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为， 把代入得： ，解得：； 综上，k的值为2或． 21．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数． (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键． （1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围； （2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围． 【详解】（1）∵函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得． 故当时，函数的图象经过一、三象限． （2）∵y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故当时，y随x的增大而减小． 22．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，． (1)求直线的解析式； (2)一次函数（为常数）． ①求证：一次函数的图象一定经过点； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②且 【分析】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解题的关键． （1）设过的直线的解析式为，再把A，B两点的坐标代入求出k，b的值即可； （2）①把代入一次函数，求出y的值即可得出结论；②分别把B，C两点的坐标代入一次函数，求出a的值，再把时代入函数，据此可直接得出结论． 【详解】（1）解：设过的直线的解析式为， ∵，， ∴，解得， 直线的解析式； （2）①证明：把代入得，， ∴图象必经过点； ②解：一次函数的图象与线段有交点， 把代入直线得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， 当时，不是一次函数， 综上：a的取值范围为：且． 23．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）在探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索的函数性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … … ②根据列表在下面平面直角坐标系中先描点，再连线． (2)①函数y的最小值为________；当y随x增大而减小时，x的取值范围是________； ②当时，x的取值范围是________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；；②或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． （1）根据解析式，列表画图即可； （2）①根据图像可得函数的最小值；根据图像当y随x增大而减小时可得x的取值范围；②根据图像当时，可得x的取值范围． 【详解】（1）完成下面列表：． x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 1 0 0 1 … （2）根据图像函数的最小值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是； 根据图像当时，x的取值范围是或． 故答案为：①；；②或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$