专题1.5 充分条件与必要条件（5类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.5 充分条件与必要条件 【考点1：充分条件、必要条件的判断及应用】 1 【考点2：充要条件的判断及应用】 2 【考点3：充分不必要条件的判断及应用】 3 【考点4：必要不充分条件的判断及应用】 4 【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】 5 【考点1：充分条件、必要条件的判断及应用】 【知识点：充分条件、必要条件】 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 4．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 5．（多选）（2024高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024高一上·福建厦门·阶段练习）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点2：充要条件的判断及应用】 【知识点：充要条件】 若p⇔q，则p是q的充要条件． 1．（2024高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( ) （2）若和有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( ) （3）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．( ) （4）的充要条件是且．( ) 2．（2024高一上·重庆南岸·阶段练习）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024高一·全国·课后作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A．p：，q： B．p：，q： C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：，q：关于x的方程有唯一解 4．（多选）（2024高一·江苏·假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．是的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．是的充要条件 D．是的必要条件 5．（2024高一上·河北·阶段练习）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 6．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）若集合，集合，则“”的充要条件是 7．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是 “”． 【考点3：充分不必要条件的判断及应用】 【知识点：充分不必要条件】 若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件． 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列条件中，是的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·全国·专题练习）命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南南阳·期中）已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（多选）（2024高一上·山东德州·阶段练习）“”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【考点4：必要不充分条件的判断及应用】 【知识点：必要不充分条件】 若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件． 1．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·假期作业） “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高二下·安徽·阶段练习）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·浙江·期末）若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高三上·天津·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·上海·假期作业）指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】 【知识点：充分、必要、充要条件与集合的关系】 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 1．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 8．（2024高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 充分条件与必要条件 【考点1：充分条件、必要条件的判断及应用】 1 【考点2：充要条件的判断及应用】 3 【考点3：充分不必要条件的判断及应用】 6 【考点4：必要不充分条件的判断及应用】 8 【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】 12 【考点1：充分条件、必要条件的判断及应用】 【知识点：充分条件、必要条件】 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件定义即得. 【详解】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 2．（2024高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 3．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 4．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 5．（多选）（2024高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 6．（多选）（2024高一上·福建厦门·阶段练习）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据必要条件的基本概念逐项判断即可得到答案. 【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项B，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项C，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 对于选项D，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 故选：AB. 【考点2：充要条件的判断及应用】 【知识点：充要条件】 若p⇔q，则p是q的充要条件． 1．（2024高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( ) （2）若和有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( ) （3）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．( ) （4）的充要条件是且．( ) 【答案】 正确 正确 正确 错误 【分析】（1）根据充要条件的定义可得此说法正确；（2）转化为p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，说法正确；（3）根据题目条件得到，正确；（4）解方程得到充要条件. 【详解】（1）当p是q的充要条件时，且，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确． （2）若或，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确． （3）因为，，所以，所以p是r的充要条件，正确． （4），解得或，故的充要条件是或，此说法错误. 故答案为：正确，正确，正确，错误. 2．（2024高一上·重庆南岸·阶段练习）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的判定逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D 3．（2024高一·全国·课后作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A．p：，q： B．p：，q： C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：，q：关于x的方程有唯一解 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p， 所以p是q既不充分也不必要条件； 对于B，；当时，满足，但q推不出p， 故p是q的充分不必要条件； 对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”； 反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件； 对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则， 所以，故p是q的充分必要条件. 故选：D. 4．（多选）（2024高一·江苏·假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．是的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．是的充要条件 D．是的必要条件 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断即可判. 【详解】∵若则，但当c＝0时，“”⇒“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题； ∵“是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题； ∵“”不一定得到“”，“”也不一定得到“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件，故C为假命题； ∵，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题． 故选：BD. 5．（2024高一上·河北·阶段练习）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用等边三角形的性质可知充分性和必要性都成立，即可得出答案. 【详解】易知，“的每个内角都是”可推出“是等边三角形”，既满足充分性； 若“是等边三角形”，则“的每个内角都是”，即满足必要性； 所以“的每个内角都是”是“是等边三角形”的充要条件. 故答案为：充要 6．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）若集合，集合，则“”的充要条件是 【答案】 【分析】先由交集运算可得关于的方程，解出；再由代入集合，由交集运算得. 【详解】（1），，又， 故，解得. 即. （2）当时，， 所以，，则. 即， 综上所述，“”的充要条件是. 故答案为： . 7．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【考点3：充分不必要条件的判断及应用】 【知识点：充分不必要条件】 若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件． 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列条件中，是的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义与集合间的关系判断即可. 【详解】因为不是的真子集，所以选项A不符合题意； 因为不是的真子集，所以选项B不符合题意； 因为⫋，所以选项C符合题意； 因为不是的真子集，所以选项D不符合题意. 故选：C. 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可. 【详解】由题意可得， 又因为， 所以的一个充分不必要条件可以是D选项， 故选：D. 3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念得答案即可. 【详解】由方程有两个不等实数根可得， 解得， 观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是， 故选：C. 4．（2024高三上·全国·专题练习）命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式求的解，根据充分、必要性定义判断的充分不必要条件. 【详解】由，解得或， 要成为命题“”的一个充分不必要条件， 则其对应的集合是或的真子集， 所以、、均不是的充分不必要条件， 是的一个充分不必要条件. 故选：D. 5．（23-24高一上·河南南阳·期中）已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可 【详解】因为且不能推出，所以且不是的充分条件，A错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，C错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，D错； 对于B，由且可得，充分性成立，若不能推出且，例如时，满足，而且，必要性不成立，所以且是成立的一个充分不必要条件，B符合题意． 故选：B. 6．（多选）（2024高一上·山东德州·阶段练习）“”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据充分、必要性的定义判断“”的充分不必要条件. 【详解】由充分、必要性的定义：、是的必要不充分条件，、是的充分不必要条件. 故选：CD 【考点4：必要不充分条件的判断及应用】 【知识点：必要不充分条件】 若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件． 1．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·假期作业） “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据⫋，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为⫋， 所以“”是“”的的必要不充分条件， 故选：C 3．（2024高二下·安徽·阶段练习）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】取，，则可知由“”无法推出“”． ，，两边平方化简得； 则，“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 4．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义求解 【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 5．（23-24高一上·浙江·期末）若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 6．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】当,取,可得,充分条件不成立; ,必要条件成立; 故选：B. 7．（23-24高三上·天津·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要条件和充分条件的性质化简得到. 【详解】因为，解得或， 当时，； 当时，； 所以不是的充分条件； 当时，即， 所以必要性成立， 故若，则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 8．（24-25高一上·上海·假期作业）指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)充要条件 (3)既非充分也非必要条件 (4)充分非必要条件 【分析】（1）（2）（3）（4）根据，的关系逐一求解. 【详解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件. 【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】 【知识点：充分、必要、充要条件与集合的关系】 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 1．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 4．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用并集概念及运算即可得到结果； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，列出条件即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又或， 所以或； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以或， 所以或． 5．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：. 6．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为或. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为或. 7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得. 8．（2024高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$