精品解析：2024年上海市彭浦第三中学中考模拟数学试题

上海市彭浦第三中学九年级假期中考强化训练卷5 测试说明：本卷难度较大，考试时间：120分钟 一.选择题（共24分） 1. 一个角（大于小于）一定有（ ） A. 余角 B. 正切 C. 对顶角 D. 余切 2. 如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的数量为（ ） （1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等 （2）一组对边平行的四边形是梯形 （3）垂直平分弦直径垂直平分弦所对的弧 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知野豪猪内卷会成员年龄的平均数为a，方差为b，则x年后，成员年龄的平均数和方差的中位数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（　　） A. AC=BD=BC B. AB=AD=CD C. OB=OC，AB=CD D. OB=OC，OA=OD 二.填空题（共48分） 7. 解方程：的解为________． 8. 若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为______． 9. 一次函数与坐标轴围成三角形面积为________． 10. 设等腰直角三角形的边长为n，则面积与周长之比为_______________． 11. 解方程：的解为__________． 12. 如果，，则_________． 13. 在中，，的垂直平分线交延长线于E，则长为_______． 14. 将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为________． 15. 一组数据共4个数，众数为6，中位数为5，平均数为4，方差为_________． 16. 已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为________． 17. 已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为________． 18. 若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为_________． 三.解答题（共78分） 19. 求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 20. 已知 ，求值． 21. 如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， （1），求内切圆的面积； （2），求证：． 22. 如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 （1）求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 （2）求证：平分 （3）求的值 23. 已知正数a，b，c，d满足，菱形的边长为a，b，c，k的中位数，如图，点M从菱形的顶点B出发，沿边方向运动，到达点A时运动结束，如果设点M运动路径为x，的面积为y，y与x的函数图像如图所示的折线． （1）菱形的周长为______， ________； （2）求：的值； （3）如果点N是图中线段上一点，，那么点N的坐标为________； （4）当点M在边上运动时，y与x的函数关系式为_______，定义域为_______． 24. 如图，在中，，，点E边上一动点，连接，过C作，截取，连接． （1）在点E运动过程中，不变的角为_______，度数为________； （2）①设，为S，求S关于x的函数解析式及其定义域，并求出S的最大值 ； ②求点D运动路径长 ； ③设点D到线段距离为y，求y关于x的函数解析式及其与x轴夹角的正切值． 25. 如图，在正方形中，，点O是对角线与交点，M是边上一动点（不与B，C重合），与交于N，连接，设 （1）求面积的最小值； （2）设四边形的周长为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； （3）当为等腰三角形时，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市彭浦第三中学九年级假期中考强化训练卷5 测试说明：本卷难度较大，考试时间：120分钟 一.选择题（共24分） 1. 一个角（大于小于）一定有（ ） A. 余角 B. 正切 C. 对顶角 D. 余切 【答案】CD 【解析】 【分析】本题主要考查了余角，对顶角，正切和余切．熟练掌握余角，对顶角，正切和余切的定义，是解决问题的关键． 根据余角，对顶角，正切和余切的定义逐一判断，即得． 【详解】Ａ．余角． ∵两个角的和等于，这两个角称为互为余角， ∴大于等于小于的角没有余角， ∴大于小于的角不一定有余角； B．正切． 根据正切定义知，角的正切值不存在，或角的正切值为0， ∴大于小于的角不一定有正切值； C．对顶角． ∵大于小于的角都有对顶角， ∴大于小于的角一定有对顶角； D．余切． 根据余切定义知，角的余切值为0，或角的余切值不存在， ∴大于小于的角一定有余切值． 故选：CD． 2. 如果一次函数图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，k＞0，b＜0， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 3. 若，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，，故选项正确，不符合题意； B．若，，故选项正确，不符合题意； C．若，，故选项错误，符合题意； D．若，，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 4. 下列说法正确的数量为（ ） （1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等 （2）一组对边平行的四边形是梯形 （3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外心、梯形的定义、垂径定理及其推论，根据三角形外心、梯形的定义、垂径定理及其推论进行判断即可. 【详解】解：（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等，说法正确， （2）一组对边平行的四边形，另一组对边不平行的四边形是梯形，原说法错误， （3）垂直平分弦的直径平分弦所对的弧，原说法错误， 说法正确的数量1个， 故选：B 5. 已知野豪猪内卷会成员年龄的平均数为a，方差为b，则x年后，成员年龄的平均数和方差的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差、中位数、平均数，根据平均数和方差的变化规律得到x年后，成员年龄的平均数和方差分别为和b，根据中位数的定义即可求出答案. 【详解】解：野豪猪内卷会成员年龄的平均数为a，方差为b，则x年后，成员年龄的平均数和方差分别为和b， 则成员年龄的平均数和方差的中位数为， 故选：A 6. 已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（　　） A. AC=BD=BC B. AB=AD=CD C. OB=OC，AB=CD D. OB=OC，OA=OD 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； D、∵OB=OC，OA=OD， ∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA， 在△AOB和△DOC中， OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴∠ABO=∠DCO，AB=CD， 同理：∠OAB=∠ODC， ∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∴， ∴四边形ABCD是梯形， ∵AB=CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形． 故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的应用，解此题的关键是求出，题目的综合性较强，难度中等. 二.填空题（共48分） 7. 解方程：的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了无理方程，两边平方后化为一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 即 ∵ ∴ ∴（经检验，不合题意，舍去）， 故答案为： 8. 若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 9. 一次函数与坐标轴围成三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，先求出一次函数与轴交点为，与轴交点为，再利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】当时，， 当时，，解得 ∴一次函数与轴交点为，与轴交点为， 根据三角形的面积公式得到与坐标轴围成三角形的面积为 故答案为：． 10. 设等腰直角三角形的边长为n，则面积与周长之比为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及分母有理化．分两种情况：n为直角边和斜边，分别求出面积与周长再化简即可． 【详解】解：①当n为直角边时，斜边为， 此时面积为：，周长为：， 面积与周长之比为：； ②当n为斜边时，直角边为， 此时面积为：，周长为：，面积与周长之比为：； 综上所述，等腰直角三角形的边长为n时，面积与周长之比为或． 故答案为：或． 11. 解方程：的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：，， 检验：当时，，是增根，当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 12. 如果，，则_________． 【答案】8或##或8 【解析】 【分析】此题考查了代数式的求值，先根据，得到或，再代入代数式求值即可． 【详解】∵，， ∴或， ∴或， 故答案为：8或 13. 在中，，的垂直平分线交延长线于E，则长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，设为x，根据垂直平分线的性质可得，然后由勾股定理可列出方程，求解即可． 【详解】解：连接，设为x， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的性质，等边三角形的性质，三角函数值求特殊角度，设平移后的抛物线解析式为，由推出，得到是等边三角形，进而得到，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】设平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，设抛物线与x轴正半轴交点为B， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 将代入，得， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为， 故答案为． 15. 一组数据共4个数，众数为6，中位数为5，平均数为4，方差为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了方差、众数、中位数、平均数，先根据题意得到该组的四个数据为，再根据方差的定义进行解答即可． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，且平均数是4，则这组数总和为， ∴这组数据中有两个6， ∵中位数为5， ∴从小大排列后第三个数据为， ∴最小的数据为， 即这组数据为， ∴方差为 故答案为：6 16. 已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可． 【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上， 如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动， 当对称轴在点A左侧时，， 把代入得， 解得或 (舍去)， 时，抛物线与线段没有交点， 当对称轴点A右侧时，， 设线段所在直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为， 联立，得：， 抛物线与线段没有交点， ， ， 综上，当或，抛物线与线段没有交点， 故答案为：或． 17. 已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了素数，概率，标准差等知识．熟练掌握素数，概率，标准差是解题的关键． 由题意知，数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8，当数据个数为6时，设连续正整数为，可得平均数为，则标准差为，计算求解；同理可求当数据个数为8时的标准差，然后作答即可． 【详解】解：∵从中随机抽取一个数字，是素数的概率为， ∴数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8， 当数据个数为6时，设连续正整数为， 平均数为， ∴标准差为， 同理，当数据个数为8时，标准差为， 综上所述，标准差为或， 故答案为：或． 18. 若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．分两种情况画出图形，①当，时，设，得．．由，则，即可得到；②当，，时，设．得．则，则，得． ③当，，时．得到．由得到，则，即可得到 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图（1）， 当，时，设． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ②如图（2）， 当，，时，设． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ③如图（3）， 当，，时． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴ 则完美三角形的顶角度数为或或． 故答案为：或或 三.解答题（共78分） 19. 求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式解方程，换元法，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，分别求出两个方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 详解】解：由方程得，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴方程的解为； 令，则， ∴， ∴原方程变形为， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，均为原方程的解， ∴， ∴两个方程所有解的和的比． 20. 已知 ，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，取的中点D，连接，过点C作于点E，设，则，根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据，求出，得出，求出， ，根据，得出即可． 【详解】解：如图，在中，，取的中点D，连接，过点C作于点E， ∵， ∴设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 21. 如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， （1），求内切圆的面积； （2），求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、内切圆、圆周角定理、等边三角形判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）连接，证明，则是等边三角形，得到，点O是的内心，求出，即可得到内切圆的面积； （2）连接，根据（1）中的结论求出，即可证明． 【小问1详解】 解：连接， ∵是圆O直径，圆O周长为， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵是圆O直径，弦， ∴，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，点O是的内心， ∴， ∴ ∴内切圆的面积为； 【小问2详解】 如图，连接， ∵是等边三角形， ， ∴，， ∴， ∵点O是的内心， ∴， ∴ ∴． 22. 如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 （1）求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 （2）求证：平分 （3）求的值 【答案】（1）， （2）证明过程见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）作轴于点D，求出，，证明，得出，进而可求出，把代入，即可求出抛物线的解析式，令，，可得另一个交点的坐标为； （2）用勾股定理求出的长，用三角函数求出即可证明结论； （3）求出两个三角形的面积即可得结论． 【小问1详解】 解：作轴于点D， ， 当时，， ， 当时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入， 得， 解得， ， 令，， ， 另一个交点的坐标为； 【小问2详解】 证明：在，， ， ， 在，， ， ， ， 平分； 【小问3详解】 解：. 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，综合运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理、直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 已知正数a，b，c，d满足，菱形的边长为a，b，c，k的中位数，如图，点M从菱形的顶点B出发，沿边方向运动，到达点A时运动结束，如果设点M运动路径为x，的面积为y，y与x的函数图像如图所示的折线． （1）菱形的周长为______， ________； （2）求：的值； （3）如果点N是图中线段上一点，，那么点N的坐标为________； （4）当点M在边上运动时，y与x的函数关系式为_______，定义域为_______． 【答案】（1）， （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）由图可知，当时，，此时可求出菱形的边长为5，三角形的面积为10，作于E，求出即可求得； （2）由菱形的边长为a，b，c，k的中位数，菱形的边长为5，求得，化简代入即可求值； （3）在上取点N，作轴于F，得，由，得，由题意可知，，，求出，，，可得； （4）设直线为，将，代入，解出可得解析式，由图像可得定义域． 【小问1详解】 解：由图可知，当时，，此时点M与点C重合， 可得菱形的边长为5，周长为， 作于E， ，即， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：菱形的边长为a，b，c，k的中位数，菱形的边长为5， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，在上取点N，作轴于F， ， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：，， 设直线为， 得， 解得， ， 定义域为， 故答案为：，． 【点睛】此题是一次函数、动点、三角函数等综合题，主要考查待定系数法和中位数、三角函数问题，涉及到菱形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，求三角函数值等知识，解本题的关键是根据条件找出适合的数学模型． 24. 如图，在中，，，点E是边上一动点，连接，过C作，截取，连接． （1）在点E运动过程中，不变的角为_______，度数为________； （2）①设，为S，求S关于x的函数解析式及其定义域，并求出S的最大值 ； ②求点D运动路径长 ； ③设点D到线段距离为y，求y关于x的函数解析式及其与x轴夹角的正切值． 【答案】（1）， （2）①，，S的最大值为8；②；③， 【解析】 【分析】（1）证明，则，，由，可知在点E运动过程中，不变，由，点E运动过程中，变化，可知变化，则变化； （2）①由题意知，，如图1，作于，则，当时，，由勾股定理得，，则，即；当时，同理求解即可；进而可得，， 然后求最值即可；②由（1）知，在点E运动过程中，不变为，则在过点且垂直于的直线上运动，且点D运动路径长为；③如图2，延长交于点，过作的延长线于，则，由①②可知，，，则，，，则，即，可求直线与轴的交点分别为、，进而可得y关于x的函数解析式与x轴夹角的正切值为，计算求解即可． 小问1详解】 解：由题意知，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即在点E运动过程中，不变， ∵，点E运动过程中，变化， ∴变化， ∴变化， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①解：∵，， ∴， 如图1，作于， 图1 ∴， 当时，， 由勾股定理得，， ∴，即； 当时，， 由勾股定理得，， 同理可得，， 综上所述，，， ∵， ∴当或时，取最大值为8； ②解：由（1）知，在点E运动过程中，不变为， ∴在过点且垂直于的直线上运动， ∵，点E运动路径长为， ∴点D运动路径长为； ③解：如图2，延长交于点，过作的延长线于，则， 图2 由①②可知，，， ∴， ∴，， ∴，即， 当时，， 当时，， ∴直线与轴的交点分别为、， ∴y关于x的函数解析式与x轴夹角的正切值为， ∴y关于x的函数解析式为，其与x轴夹角的正切值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，勾股定理，余弦，正切，一次函数解析式等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，勾股定理，余弦，正切，一次函数解析式是解题的关键． 25. 如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，M是边上一动点（不与B，C重合），与交于N，连接，设 （1）求面积的最小值； （2）设四边形的周长为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； （3）当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】（1）2 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾 股定理以及二次函数的性质应用等知识 ： （1）根据证明根据，得四边形的面积的面积，当的面积最大时，的面积最小，由已知，则，求得，求出的面积最大值为2，则可得的面积最小值； （2）由（1）可得，，在中，，进一步求出四边形的周长为； （3）分，，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ∴， 又是正方形的对角线， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵∠CBN=∠DCM=90°， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴四边形的面积的面积， 当的面积最大时，的面积最小， ，则， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为2， ∴的面积最小值，为； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴ 在中， ∴ ∴四边形的周长为 ； M是边上一动点（不与B，C重合），且 ∴， ∴； 【小问3详解】 解：为等腰三角形，没有明确说明哪条边是腰，所以分三种情况， 当时，与重合， ∴的周长； 当时， ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴的周长； 当时，过点M作，如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴的周长, 综上，的周长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$