（复习篇）第二讲 整式乘法与因式分解-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第二讲 整式乘法与因式分解 （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点02：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点04：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）下列运算中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2分）如图1是宽为，长为的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为，，若，且为定值，则，满足的数量关系　　 A． B． C． D． 3．（2分）已知，那么的值为　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 4．（2分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为　　 A． B． C． D． 6．（2分）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 7．（2分）已知是完全平方式，则的值为　　 A．6 B． C．12 D． 8．（2分）如图，长方形被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形，若小长方形的两边，，则大长方形的两边的值为　　 A． B． C． D． 9．（2分）下列能用平方差公式进行计算的式子，有　　个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2分）已知、，．，那么、的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都不对 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）如图1，有两个正方形，，现将放在的内部得到图2，图2中阴影部分的面积为4．将图1中的两个正方形，并排放置后构造新的正方形得到图3，图3中阴影部分的面积为30，则图1中两个正方形与的面积之和为 　　． 12．（2分）计算式子的结果用科学记数法表示为 　　． 13．（2分）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请猜想展开式中含项的系数是 　　． 14．（2分）已知，则代数式　　． 15．（2分）若，则　　． 16．（2分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了，2，3，4，的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 　　． 17．（2分）若，则　　． 18．（2分）关于的多项式的值与的取值无关，则　　． 19．（2分）若代数式是完全平方式，则　　． 20．（2分）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：⊕，下面给出了关于这种运算的几个结论： ①3⊕； ②⊕⊕； ③⊕⊕； ④⊕⊕⊕． 其中正确的是 　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）已知，． （1）求和； （2）若，求的代数式； （3）在（2）的条件下，当的代数式值为7时，求的值． 22．（6分）（1）若关于，的多项式中不含有项，则的值为 　　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： 如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为40，则的面积为 　　； 若，求的值． 23．（8分）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式的二次项系数乘以2作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项． 例如：，经过程序设置得到． 【知识应用】 关于的二次多项式经过程序设置得到一次多项式，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： （1）若，求，的值； （2）若的结果中不含一次项，求关于的方程的解； （3）某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 24．（8分）将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分和阴影部分．已知 ，，10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为 ． （1）每个小长方形纸片较长一边的长度是 　　（用含的式子表示）； （2）若图中阴影部分和阴影部分的周长相等． ①试求的值； ②若将的长增加，如图2，此时阴影部分增加的面积为，阴影部分增加的面积为，求的值． 25．（8分）对于一个各个数位上的数字均不相同且均不为零的三位正整数，若的十位数字分别小于其百位数字与个位数字，则称为“凹数”．当为“凹数”时，重新排列其各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，记． （1）写出十位数字为7的所有“凹数”； （2）若是最小的“凹数”，求； （3）已知是“凹数”，其百位、十位、个位上的数字分别是，，，且，若，求的最大值． 26．（8分）阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式　　； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 27．（8分）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，，所以3157是“亚运数”． （1）填空：①21 　　是“亚运数”（在横线上填上两个数字）； ②最小的四位“亚运数”是 　　； （2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”； （3）已知一个大于1的正整数可以分解成的形式，，，，均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：； 例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值． 28．（8分）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值． （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第二讲 整式乘法与因式分解 （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点02：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点04：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）下列运算中，计算正确的是　　 A． B． C． D． ．，此选项计算正确，故符合题意； ．，此选项计算错误，故不符合题意； ．，此选项计算错误，故不符合题意； ．，此选项计算错误，故不符合题意； 故选：． 2．（2分）如图1是宽为，长为的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为，，若，且为定值，则，满足的数量关系　　 A． B． C． D． 解：由题意知，面积为的长方形一边为，设另一边为；面积为的长方形一边为，设另一边为，则， 由图知：，即， ， 为定值， ， 即． 故选：． 3．（2分）已知，那么的值为　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 解：， ． 故选：． 4．（2分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 解：、，能用平方差公式计算，不符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意； 、，不能用平方差公式计算，符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：． 5．（2分）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为　　 A． B． C． D． 解：长方形的面积为， 故选：． 6．（2分）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 解：、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； 、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：． 7．（2分）已知是完全平方式，则的值为　　 A．6 B． C．12 D． 解：是完全平方式， 可设， ． 故选：． 8．（2分）如图，长方形被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形，若小长方形的两边，，则大长方形的两边的值为　　 A． B． C． D． 解：如图，设，则，，，， 在长方形内，， 即， 解得， ，， ， 故选：． 9．（2分）下列能用平方差公式进行计算的式子，有　　个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 解：①，则能用平方差公式进行计算； ②，则能用平方差公式进行计算； ③，则能用平方差公式进行计算； ④，则不能用平方差公式进行计算， 则能用平方差公式进行计算有3个， 故选：． 10． （2分）已知、， ．，那么、的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都不对 解：设，， 则， ， ， 又当时，， 当时，， 无法确定大于0还是小于0， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）如图1，有两个正方形，，现将放在的内部得到图2，图2中阴影部分的面积为4．将图1中的两个正方形，并排放置后构造新的正方形得到图3，图3中阴影部分的面积为30，则图1中两个正方形与的面积之和为 　34　． 解：设正方形，的边长分别为，， 由题意知，，， 即，， ， 故答案为：34． 12．（2分）计算式子的结果用科学记数法表示为 　　． 解： ， 故答案为：． 13．（2分）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请猜想展开式中含项的系数是 　　． 解：， ， ， ， ， ， ， 展开式中含项的系数为， 故答案为：． 14．（2分）已知，则代数式　　． 解：， 将代入得： 原式． 15．（2分）若，则　49　． 解：， ， ， ，即， 故答案为：49． 16．（2分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了，2，3，4，的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 　　． 解：根据已知条件可知： 展开式的系数为：1，5，10，10，5，1； 展开式的系数为：1，6，15，20，15，6，1； 展开式的系数为：1，7，21，35，35，21，7，1； 展开式的系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1； 展开式的系数是：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 展开式的系数是：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1； 的展开式中含项是第四项为， 的展开式中含项的系数是， 故答案为：． 17．（2分）若，则　6　． 解：已知等式整理得：， 可得，， 解得：，， ． 故答案为：6． 18．（2分）关于的多项式的值与的取值无关，则　1　． 解：， 多项式的值与的取值无关， ，， 即，， ， 故答案为：1． 19．（2分）若代数式是完全平方式，则　18或　． 解：是完全平方式， ， 或． 故答案为：18或． 20．（2分）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：⊕，下面给出了关于这种运算的几个结论： ①3⊕； ②⊕⊕； ③⊕⊕； ④⊕⊕⊕． 其中正确的是 　①②　． 解：⊕， ⊕ ，故①正确，符合题意； ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ，故②正确，符合题意； ⊕， 当时，⊕⊕，故③不符合题意； ⊕ ， ⊕⊕ ， 则⊕⊕⊕，故④不符合题意； 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）已知，． （1）求和； （2）若，求的代数式； （3）在（2）的条件下，当的代数式值为7时，求的值． 解：（1）， ． （2）， ． （3）由（2）得：， ， ， ， ． 22．（6分）（1）若关于，的多项式中不含有项，则的值为 　6　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： 如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为40，则的面积为 　　； 若，求的值． 解：（1） ， 不含有项， ， ， 故答案为：6． （2）设正方形和的边长分别为和，则的面积为． 根据题意，得，， ， ， ， 故答案为：6． 令，，则， ，， ， ， ． 23．（8分）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式的二次项系数乘以2作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项． 例如：，经过程序设置得到． 【知识应用】 关于的二次多项式经过程序设置得到一次多项式，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： （1）若，求，的值； （2）若的结果中不含一次项，求关于的方程的解； （3）某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 解：（1）， ． ， ，， ，； （2） ， 的结果中不含一次项， ， 解得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ． 24．（8分）将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分和阴影部分．已知 ，，10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为 ． （1）每个小长方形纸片较长一边的长度是 　　（用含的式子表示）； （2）若图中阴影部分和阴影部分的周长相等． ①试求的值； ②若将的长增加，如图2，此时阴影部分增加的面积为，阴影部分增加的面积为，求的值． 解：（1）， 由图知小长方形的长为， 故答案为：； （2）① ， 由图知长方形的长为，宽为； 长方形的长为 ，宽为， 由题意得：， 解得：； ②， 长方形的长为，宽为， 长方形的长为 ，宽为， ， ， ． 25．（8分）对于一个各个数位上的数字均不相同且均不为零的三位正整数，若的十位数字分别小于其百位数字与个位数字，则称为“凹数”．当为“凹数”时，重新排列其各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，记． （1）写出十位数字为7的所有“凹数”； （2）若是最小的“凹数”，求； （3）已知是“凹数”，其百位、十位、个位上的数字分别是，，，且，若，求的最大值． 解；（1） “凹数”的十位数字是7，比7大的数字是8和9， 十位数字为7的所有“凹数”为978，879． （2）是最小的“凹数”，每个数位上的数字均不为0， 的十位数字应该选1． 百位数字应该选2， 各个数位上的数字均不相同， 个位数字选3． ，． ． （3）是“凹数”，百位、十位、个位上的数字分别是，，， ，． ， ． 最大数， 最小数． ． ， ． ． ． ，为正整数， 符合题意的数字为：，，． ， ． 个位数字可选4或5． 个位数字最大选5． 的最大值为：． 26．（8分）阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式　　； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 解：（1）若，则它的导出多项式； 故答案为：． （2）①， ， ， ， 解得：； ②， ， ， ， ， 有整数解， ， 为整数， 为正整数， 的值为或1，即的值为2或3． 又因为是关于的二次多项式， 所以，的值是2． 27．（8分）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，，所以3157是“亚运数”． （1）填空：①21 　35　是“亚运数”（在横线上填上两个数字）； ②最小的四位“亚运数”是 　　； （2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”； （3）已知一个大于1的正整数可以分解成的形式，，，，均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：； 例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值． 解：（1）①35； ②由题意可知千位一定是1，百位取0， 则最小的四位“亚运数”是1022； 故答案为：35；1022； （2）设千位数字是，百位数字是，而且、不等于0，， 根据“亚运数”定义， 则有：十位数字是，个位数字是， 根据题意得： ， ， 被7除余3， ，是非负整数）， 当，时， 则不合题意舍去， 当，时， 则“冠军数”是2226， 当，时，则不合题意舍去， 当，时， 则“冠军数”是3066， “冠军数”是2226和3066； （3）所有的“冠军数”是：2226和3066， 的最小分解， ， 3066的最小分解， ， 故所有“冠军数”，的的最大值为． 28．（8分）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值． （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 解：（1）是多项式的一个因式 时， 的值为． （2）和是多项式的两个因式 和时， 解得 、的值分别为和0． （3），， 可化为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$