（复习篇）第四讲 二元一次方程组-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第四讲 二元一次方程组 知识点01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点03：实际问题与二元一次方程组 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】 理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）已知，则等于　　 A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2分）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解： ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则．其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 3．（2分）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为　　 A． B． C． D． 5．（2分）若关于，的方程组没有实数解，则　　 A． B．且 C． D．且 6．（2分）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 7．（2分）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则． 正确的有几个　　 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2分）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶　　 A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米 9．（2分）商家常将单价不同的、两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：、两种糖的总价与、两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的种糖和种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的种糖和种糖混合而成的“什锦糖”乙．若种糖比种糖的单价贵40元千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元千克，则种糖的单价为　　 A．50元千克 B．60元千克 C．70元千克 D．80元千克 10．（2分）如图，长方形被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形的周长为，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为，则标号为①的正方形的边长为　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）已知实数，满足，那么　　． 12．（2分）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 　　元． 13．（2分）《孙子算经》中记载了一道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的一半，甲就有了48钱，若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．设甲、乙各带了钱、钱，则可列二元一次方程为 　　． 14．（2分）年级花费120元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 　　种． 15．（2分）二元一次方程组的解为，则的解为 　　． 16．（2分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，十位数字与个位数字互换后，所得的新两位数比原来的两位数小18，则原来的两位数是 　　． 17．（2分）已知关于，的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则　　． 18．（2分）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为 　　单． 19．（2分）五羊公共汽车公司的555路车在，两个总站间往返行驶，来回均为每隔分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则　　分钟． 20．（2分）为丰富学生课余文化生活，学校举行了缤纷节．今年的“财商体验”活动中，初一（1）班摊位推出了、、三种食品，每种食品的成本分别为10.5元．13.5元．7元．在八点至九点期间，为了吸引人流量，亏本促销，、、三种食品的单价之比为，销量之比为；由于味道太好，供不应求、故在九点到十点期间，初一（1）班摊位适当调整了价格，、、三种食品的单价均有所上调，其中食品的单价上调，但三种食品的销量之比不变，同时三种食品的销售额比之前有所增加，其中、增加的销售额之比为，且、食品在九点到十点期间的销售额之比为．若九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多9.9元，最后初一（1）班的摊位不赔不赚，则九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为 　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）解二元一次方程组： （1）； （2）． 22．（6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元 （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23．（8分）足球是世界第一运动，2022年世界杯足球赛再一次点燃了人们对足球运动的热情．世界杯期间光明区某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价（元个） 80 60 标价（元个） 120 90 （1）求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ （2）该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 24．（8分）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息： 数量 方式 购买笔的数量（本 大本子的数量（本 小本子的数量（本 所剩的钱数（元 方式一 36 0 0 2 方式二 38 0 0 方式三 0 12 8 0 方式四 0 10 10 10 注意是负数 （1）求小文所带班费的数量； （2）求大、小本子每本的售价； （3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元） 25．（8分）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是，人步行的速度是（上、下车时间忽略不计）． （1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案： 老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场． 学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场． 他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明． 26． （8分）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料600米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？ 27．（8分）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ （2）甲，乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家裔场买6个水瓶和30个水杯，请问选择哪家商场更合算？请设计出所有方案且选择出最佳方案，并说明理由． 28．（8分）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第四讲 二元一次方程组 知识点01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点03：实际问题与二元一次方程组 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】 理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）已知，则等于　　 A．5 B．4 C．3 D．2 解：， ，得． 故选：． 2．（2分）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解： ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则．其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 解：①当时，原方程组的解为，将它代入， 左边为，右边为， ①正确； ②解原方程组，得， 当，的值互为相反数时，得，即， 解得， 当时，当，的值互为相反数， ②不正确； ③原方程组的解为，且，都为自然数， ，其解集为， ，0，1，2，将它们分别代入，得，，，． ③正确； ④原方程组的解为， 若，得，解得， ④正确． 综上，①③④正确． 故选：． 3．（2分）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 解：由题意可得， ． 故选：． 4．（2分）关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为　　 A． B． C． D． 解：设，， 则关于，的二元一次方程组可以转化为， 关于、的二元一次方程组的解为， 关于、的二元一次方程组的解， ， ①②得：，解得， 将代入①得：， ． 故选：． 5．（2分）若关于，的方程组没有实数解，则　　 A． B．且 C． D．且 解：， 由①得，， 代入②得，， 即， 因为此方程组没有实数根，所以，． 故选：． 6．（2分）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 解：关于，的二元一次方程组， ①②得，， 即：， （1）①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确， （2）②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，代入方程②得， ， 即； 因此④是正确的， 故选：． 7．（2分）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则． 正确的有几个　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：①将代入原方程组，得解得 将，，代入方程的左右两边， 左边，右边， 当时，方程组的解也是的解； ②解原方程组，得 ， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③ 、为自然数的解有，，，． ④，， 解得． 故选：． 8．（2分）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶　　 A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为， 则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了 ，交换位置后走了 ， 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程， ， 两式相加，得， 则（千米）． 故选：． 9．（2分）商家常将单价不同的、两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：、两种糖的总价与、两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的种糖和种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的种糖和种糖混合而成的“什锦糖”乙．若种糖比种糖的单价贵40元千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元千克，则种糖的单价为　　 A．50元千克 B．60元千克 C．70元千克 D．80元千克 解：设种糖的单价为元千克，则种糖的单价为元千克， “什锦糖”甲的单价为元千克， “什锦糖”乙的单价为元千克， 根据题意，得 ， 解得， 经检验是分式方程的解，也符合题意， 所以种糖的单价为60元千克． 故选：． 10．（2分）如图，长方形被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形的周长为，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为，则标号为①的正方形的边长为　　 A． B． C． D． 解：长方形被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形， 两个大正方形相同、2个长方形相同． 设两个大正方形边长为，小正方形的边长为， 小长方形的边长分别为、，大长方形边长为、， 大长方形周长，即：， ， 个正方形和2个长方形的周长和为， 即：， ， ， 则标号为①的正方形的边长为， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）已知实数，满足，那么　7　． 解： ①②得：， 故答案为：7． 12．（2分）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 　600　元． 解：设甲、乙、丙的单价分别为元，元，元， 由题意知：， ①②得， 因此， （元， 即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元． 故答案为：600． 13．（2分）《孙子算经》中记载了一道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的一半，甲就有了48钱，若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．设甲、乙各带了钱、钱，则可列二元一次方程为 　　． 解：由题意得：． 故答案为：． 14．（2分）年级花费120元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 　3　种． 解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ， 又、均为正整数， 或或， 共有3种购买方案． 故答案为：3． 15．（2分）二元一次方程组的解为，则的解为 　　． 解：我们将方程组，变形为， 二元一次方程组的解为， 方程组，有， 解方程组得， 方程组的解为． 16．（2分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，十位数字与个位数字互换后，所得的新两位数比原来的两位数小18，则原来的两位数是 　53　． 解：设原来两位数的个位数字是，十位数字是， 根据题意得：， 解得： 则原来的两位数是53． 故答案为：53． 17．（2分）已知关于，的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则　　． 解：把代入关于，的二元一次方程组得： ， 由②得：， 把代入得：③， ①③得：， 把代入③得：， ． 18．（2分）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为 　1233　单． 解：设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元， 第一周，甲、乙、丙的配送量之比为， 设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单， ， ①， 设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单， 甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的， 甲增大的配送量为单，则甲第二周的配送量为单， 丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的， ， 整理得，， 甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍， ， 整理得，， 第二周丙的配送量为单，甲的配送量为单， 他们共获得配送费7660元， ， 整理得，②， 联立①②可得， 丁每单配送费高于4元且不超过8元， ， ， 配送费且均为整数， 或， 当时，，解得（舍； 当时，，解得， 第二周四位外卖员配送量之和为：（单， 故答案为：1233． 19．（2分）五羊公共汽车公司的555路车在，两个总站间往返行驶，来回均为每隔分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则　4　分钟． 解：设路车的速度为，小宏的速度为． ， 解得， 代入第2个方程得， 故答案为4． 20．（2分）为丰富学生课余文化生活，学校举行了缤纷节．今年的“财商体验”活动中，初一（1）班摊位推出了、、三种食品，每种食品的成本分别为10.5元．13.5元．7元．在八点至九点期间，为了吸引人流量，亏本促销，、、三种食品的单价之比为，销量之比为；由于味道太好，供不应求、故在九点到十点期间，初一（1）班摊位适当调整了价格，、、三种食品的单价均有所上调，其中食品的单价上调，但三种食品的销量之比不变，同时三种食品的销售额比之前有所增加，其中、增加的销售额之比为，且、食品在九点到十点期间的销售额之比为．若九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多9.9元，最后初一（1）班的摊位不赔不赚，则九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为 　　． 解：由题意设在八点至九点期间，，，三种食品的单价分别为元，元，元，销量分别为，，， 在九点到十点期间的三种食品的销量之比不变， 设在九点到十点期间的三种食品的销量分别为，，， 在九点到十点期间食品的单价上调， 在九点到十点期间食品的单价为（元， 在九点到十点期间，食品的销售额之比为， 在九点到十点期间食品的销售额为，食品的销售额为， 在九点到十点期间食品的单价为（元， 在九点到十点期间，食品增加的销售额之比为， 食品增加的销售额为：， 食品增加的销售额为：， 在九点到十点期间食品的单价为：（元， 在九点到十点期间三种食品的单价之和比在八点至九点期间三种食品的单价之和多9.9元， ， ， 在九点到十点期间的利润率为：． 在九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）解二元一次方程组： （1）； （2）． （1）； ②，得： ③ ①③，得， ， 将 代入③得： ， 解此一元一次方程得，， 故原方程组的解为：； （2）， ①，得： ， ③， ③②，得， 将代入③，得， ． 故原方程组的解为． 22．（6分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元 （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 解：（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元． （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆． （3）方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 23．（8分）足球是世界第一运动，2022年世界杯足球赛再一次点燃了人们对足球运动的热情．世界杯期间光明区某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价（元个） 80 60 标价（元个） 120 90 （1）求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ （2）该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 解：（1）设该文具店的甲款足球购进个，乙款足球购进个， 由题意得：， 解得：， 答：该文具店的甲款足球购进120个，乙款足球购进80个； （2）（元， 答：该文具店能获利3600元． 24．（8分）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息： 数量 方式 购买笔的数量（本 大本子的数量（本 小本子的数量（本 所剩的钱数（元 方式一 36 0 0 2 方式二 38 0 0 方式三 0 12 8 0 方式四 0 10 10 10 注意是负数 （1）求小文所带班费的数量； （2）求大、小本子每本的售价； （3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元） 解：（1）（元， （元， 答：小文所带班费为200元； （2）设大本子和小本子的价格分别为，， ， 解得， 答：大本子和小本子的价格分别为12元和7元； （3）设大本子、小本子的成本分别为，， ， 解得：， （元， 答：小文实际购买文具的成本为126元． 25．（8分）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是，人步行的速度是（上、下车时间忽略不计）． （1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案： 老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场． 学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场． 他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明． 解：（1）（分钟）， ， 不能在限定时间内到达考场． （2）解：老师方案： 设汽车将第一批送到考场再返回与第二批学生相遇所用时间为小时，根据题意得：， 解得：， 则将所有学生都送到考场所用的总时间为：（分钟）， ， 这8个人能在截止进考场的时刻前赶到． 学生方案： 两批学生步行速度相等， 设第一批学生行驶的路程为，第二批学生行驶的路程为，汽车开始行驶到接上第二批学生则汽车在此过程中行驶的路程为：， 根据题意得：， 解得：， 则将所有学生都送到考场所用的总时间为：（分钟）， 他们也能在截止进考场的时刻前到达考场． 26．（8分）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料600米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？ 解：做上衣的布料用，做裤子的布料用， 由题意得，， 解得：． 则． 答：做上衣的布料用，做裤子的布料用． 27．（8分）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ （2）甲，乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家裔场买6个水瓶和30个水杯，请问选择哪家商场更合算？请设计出所有方案且选择出最佳方案，并说明理由． 解：（1）设一个水瓶元，表示出一个水杯为元， 根据题意得：， 解得：， （元， 答：一个水瓶40元，一个水杯是10元； （2）方案一：甲商场所需费用为（元； 方案二：乙商场所需费用为（元； 选择乙商场购买更合算； 方案三：乙商场购买6个水瓶送12个水杯；剩下的18个水杯去甲商场购买， （元； ， 乙商场购买6个水瓶送12个水杯；剩下的18个水杯去甲商场购买，最合算． 28．（8分）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　64　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以， 解得 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