第二讲 与三角形的有关线段（3个知识点5大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第二讲 与三角形的有关线段 知识点梳理 知识点1 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 知识点2 三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图2，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图2 图3 要点诠释： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 知识点3 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 要点诠释： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 典例精讲 题型1 画三角形的高 例1．．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 名师支招 三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段 变式训练 1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 2．嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 题型2 根据三角形的高进行计算 例2．如图，线段在轴上，将线段平移，得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，连接，，若点，，，． (1)求点的坐标； (2)点在轴上，若三角形的面积等于18，求点的坐标； (3)点是线段的中点，连接，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，点，的对应点分别是，，若三角形的面积等于8，求的值． 名师支招 1.已知底和面积求高：这是最直接的方法，适用于已知三角形底边长度和面积的情况 2.已知边长和角度求高:适用于已知三角形两边及夹角或三边长度的情况 变式训练 1．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 题型3 根据三角形的中线求长度 例3．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 名师支招 中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 变式训练 1．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 2．如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 3．如图，是的中线，的周长为，求的长． 题型4 根据三角形的中线求面积 例4 .【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 名师支招 三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心 变式训练 1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 2．如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 3．如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 题型5 三角形的角平分线 例5 .如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.    (1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？ (2)若，且的面积为3，求出的面积. 名师支招 1.一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； 2.可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 变式训练 1．已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 2．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 3．完成下面的证明过程． 已知：如图，，求证：平分． 证明：（已知）， （ ）， （ ）， 又（已知）， （ ）， 平分（ ） 创新拓展能力提升 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标_______； (2)若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为_______； (3)求的面积． 2．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 3．阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中满足，将点向左平移16个单位长度得到点．当线段上的动点从点以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点同时从点以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为．问： (1)求点的坐标． (2)点，点在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由． (3)是否存在某个时间，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第二讲 与三角形的有关线段（解析版）知识点梳理 知识点1 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 知识点2 三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图2，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图2 图3 要点诠释： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 知识点3 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 要点诠释： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 典例精讲 题型1 画三角形的高 例1．．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 名师支招 三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段 【答案】D 【解析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知． 解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D． 故选：D． 变式训练 1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边的高的图是 故选：A． 2．嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键． 【详解】 解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 3．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 题型2 根据三角形的高进行计算 例2．如图，线段在轴上，将线段平移，得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，连接，，若点，，，． (1)求点的坐标； (2)点在轴上，若三角形的面积等于18，求点的坐标； (3)点是线段的中点，连接，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，点，的对应点分别是，，若三角形的面积等于8，求的值． 名师支招 1.已知底和面积求高：这是最直接的方法，适用于已知三角形底边长度和面积的情况 2.已知边长和角度求高:适用于已知三角形两边及夹角或三边长度的情况 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，三角形面积的计算，熟练掌握平移规律，是解题的关键． （1）根据平移得出轴且，根据点，求出，根据，求出点C的坐标即可； （2）设，根据三角形面积，得出，求出n的值，即可得出答案； （3）根据是中点，得出，根据平移得出，，过作轴于点，即轴，根据三角形面积梯形面积三角形面积三角形面积，列出方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵线段在轴上，线段平移，得到线段， ∴轴且， 又∵点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点在轴上， ∴设， ∴三角形面积， 即， 解得或， ∴或； （3）解：∵，，是中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为0， ∴即， ∵线段向下平移5个单位长度得到线段， ∴，， 过作轴于点，即轴， ∴，，，， ∴三角形面积梯形面积三角形面积三角形面积， 即， ∴， 解得：． 变式训练 1．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 6 // 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可． 【详解】解：（1）， 点B到的距离是； （2）当时，线段的值最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值是， 故答案为：6；． 3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 题型3 根据三角形的中线求长度 例3．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 名师支招 中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 变式训练 1．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 2．如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，， ∴． 3．如图，是的中线，的周长为，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键． 根据三角形的周长得到，由中点的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的周长为，， ∴， 又∵是的中线， ∴点是的中点， ∴， ∴． 题型4 根据三角形的中线求面积 例4 .【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 名师支招 三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 变式训练 1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， ． 2．如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 【答案】三角形的面积是45 ． 【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 设面积为s（），由，，可得，， 继而推导出， ，由四边形的面积为22，即可解答． 【详解】连接，如图 设面积为s（）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形的面积为22cm2， ∴， ， ∵+=， ∴， ∴s=45（） 答：三角形的面积是45． 3．如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 题型5 三角形的角平分线 例5 .如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.    (1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？ (2)若，且的面积为3，求出的面积. 名师支招 1.一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； 2.可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 【答案】(1)是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线 (2)18 【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线． （2）解：的面积为3，E是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形有关的线段，三角形中线的性质，解题的关键是掌握“等高三角形的面积比等于底边长度之比”． 变式训练 1．已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高线、中线和角平分线， （1）先找出的中点，连接即可得出的中线；画出的平分线即可； （2）过点作，垂足为点，延长，过点作，垂足为点，即可得出高线． 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 2．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 3．完成下面的证明过程． 已知：如图，，求证：平分． 证明：（已知）， （ ）， （ ）， 又（已知）， （ ）， 平分（ ） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行同位角，内错角相等，通过等量代换可得，根据角平分线定义即可得出结论． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， 平分（角平分线定义）， 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义． 创新拓展能力提升 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标_______； (2)若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为_______； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键： （1）根据点和点的坐标，确定平移规则，进而画出，再写出点的坐标即可； （2）根据平移规则确定点P的坐标即可； （3）分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，如图： 由图可知： （2）解：由题意，点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴； （3）解：的面积为：． 2．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 3．阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) (3)75 【分析】本题是四边形综合题目，考查了三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识，本题综合性强，得出一般探究中的面积关系是解题的关键，属于中考常考题型． （1）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，根据，，，，，则，； （2）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，由模型得，，再由，，即可陈经理； （3）连接、、，由（2）得：，同理，，，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的三等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ∴ ． （2）解：如图，连接，，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ， 即． 故答案为：． （3）解：如图，连接、、， 由（2）得：， 同理，，，， ， ， 故答案为：75． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中满足，将点向左平移16个单位长度得到点．当线段上的动点从点以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点同时从点以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为．问： (1)求点的坐标． (2)点，点在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由． (3)是否存在某个时间，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)和的面积比不会改变，始终等于 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题． （2）分别求出和的面积即可解决问题． （3）根据四边形的面积小于四边形面积的一半，构建不等式解决问题即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ，， ∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C， ； （2）解：， ∴点 M，N 始终在，上运动， 当运动时间为 t 时，，， 则， ， 由图可知：， ， 和的面积比不会改变，始终等于． （3）解：由图可知， ，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$