专题1.2 空间向量的数量积运算【六大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2 空间向量的数量积运算【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 2 【题型3 求空间向量的夹角（余弦值）】 3 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 4 【题型5 空间向量数量积的应用】 5 【题型6 投影向量的求解】 7 【知识点1 空间向量的数量积与夹角】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（23-24高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【变式1-2】（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（    ）组. A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-3】（23-24高二上·北京·期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 【题型2 求空间向量的数量积】 【例2】（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【变式2-1】（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【变式2-3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 求空间向量的夹角（余弦值）】 【例3】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式3-1】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求： (1)； (2)向量与的夹角. 【变式3-3】（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·湖南·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 【变式4-2】（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体中，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【题型5 空间向量数量积的应用】 【例5】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【变式5-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【变式5-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【变式5-3】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【知识点2 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型6 投影向量的求解】 【例6】（23-24高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 空间向量的数量积运算【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 3 【题型3 求空间向量的夹角（余弦值）】 6 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 8 【题型5 空间向量数量积的应用】 11 【题型6 投影向量的求解】 15 【知识点1 空间向量的数量积与夹角】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（23-24高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【解答过程】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【解题思路】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【解答过程】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B. 【变式1-2】（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（    ）组. A．3 B．2 C．1 D．0 【解题思路】根据已知条件进行分类讨论，列举出A,B,D三个选项的可能情况即可. 【解答过程】若向量，，均为非零向量，则向量，，共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线的有0组或3组，故A和D错误； 若其中一个为零向量，则另外两个向量一定不共线，则，零向量和另外两个向量组成两组共线向量，故B错误. 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高二上·北京·期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 【解题思路】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【解答过程】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对； 对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 【题型2 求空间向量的数量积】 【例2】（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【解题思路】根据空间数量积的运算性质求解． 【解答过程】． 故选：D． 【变式2-1】（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算得出，，根据正四面体的性质得出，且、、三向量两两夹角为，即可通过向量数量积的运算率得出答案. 【解答过程】 四面体ABCD是正四面体， ，且、、三向量两两夹角为， 点E，F分别是BC，AD的中点， ，， 则， 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【解答过程】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案. 【解答过程】对于A，因为底面，所以底面， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以为等边三角形，所以， 所以 ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 故D错误. 故选：C. 【题型3 求空间向量的夹角（余弦值）】 【例3】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【解题思路】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【解答过程】由，， 所以， 又，， 所以，而， ， 综上，直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求： (1)； (2)向量与的夹角. 【解题思路】（1）由题知，进而根据数量积的运算律得计算即可得答案； （2）由向量模的计算公式得，，进而根据夹角公式即可求得答案. 【解答过程】（1）解：因为，是两个空间单位向量，它们的夹角为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以，， 又因为 所以， 因为，所以，即向量与的夹角为. 【变式3-3】（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【解题思路】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量数量积的定义与运算性质可求得的值. 【解答过程】因为、、均为单位向量，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 所以，， 因此，. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·湖南·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 【解题思路】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【解答过程】由，又底面是正方形，，且， 所以 ， 故. 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体中，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果. 【解答过程】 ， ， ，即线段的长度为. 故选：D. 【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可. 【解答过程】 取一三棱锥，， 且，，所以， ， 设， 因为，所以，即， 所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 球心距，所以两球相交，即点与点可以重合， 又， 所以. 故选：C. 【题型5 空间向量数量积的应用】 【例5】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【解题思路】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【解答过程】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 【变式5-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【解题思路】（1）根据向量的数量积运算即可证明. （2）利用向量的夹角公式即可计算. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 所以，即． （2）因为， 所以，， 所以． 所以，． 所以． 【变式5-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【解题思路】 （1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【解答过程】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 【变式5-3】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【解题思路】 （1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【知识点2 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型6 投影向量的求解】 【例6】（23-24高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【解答过程】 ，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 【变式6-1】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【解答过程】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【解题思路】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【解答过程】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$