专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量的有关概念】 2 【题型2 空间向量的加减运算】 3 【题型3 空间向量的线性运算】 4 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 5 【题型5 向量共线的判定及应用】 7 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 8 【题型7 向量共面的判定及应用】 8 【题型8 由空间向量共面求参数】 9 【知识点1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-1】（23-24高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-2】（23-24高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-3】（23-24高二上·北京·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（23-24高二上·海南·期中）在三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·北京西城·期中）空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（23-24高二·全国·课后作业）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（23-24高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式4-2】（2024高二·全国·课后作业）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【知识点3 共线向量与共面向量】 1．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【题型5 向量共线的判定及应用】 【例5】（23-24高二上·福建三明·开学考试）若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【变式5-1】（23-24高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【变式5-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【变式6-2】（23-24高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【题型7 向量共面的判定及应用】 【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（    ） A．A，B，C，D四点共线 B．A，B，C，D四点共面 C．A，B，C，D四点不共面 D．无法确定 【变式7-1】（2024高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【变式7-2】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式7-3】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（23-24高二上·河北·期中）已知是平面内不共线的四点，点为平面外一点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式8-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式8-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·江西·阶段练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量的有关概念】 2 【题型2 空间向量的加减运算】 4 【题型3 空间向量的线性运算】 5 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 8 【题型5 向量共线的判定及应用】 11 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 13 【题型7 向量共面的判定及应用】 14 【题型8 由空间向量共面求参数】 16 【知识点1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【解题思路】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【解答过程】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【解题思路】 根据向量的相关概念逐一判断即可. 【解答过程】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【解题思路】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断. 【解答过程】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高二上·北京·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】 根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【解答过程】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题； 对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题； 对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题. 对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题 故选：C. 【知识点2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（23-24高二上·海南·期中）在三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先计算向量的减法，然后再计算加法，由此可得结果. 【解答过程】因为， 所以， 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二上·北京西城·期中）空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的加减运算求解即可. 【解答过程】根据向量的加法、减法法则，得. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量加减运算，结合长方体的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【解答过程】原式 . 故选：B. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（23-24高二·全国·课后作业）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于，得是中点，，然后由向量的线性运算求解． 【解答过程】延长交于，如图，则是中点，， ， 故选：C． 【变式3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可判断各选项． 【解答过程】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：D． 【变式3-2】（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化简式子，即可得出结论. 【解答过程】由题意， 在三棱锥中，分别是棱的中点， , ∴ 故选：A. 【变式3-3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【解答过程】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（23-24高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解答过程】， 故，，，. 故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【解题思路】根据空间向量的线性运算即可得解. 【解答过程】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 【变式4-2】（2024高二·全国·课后作业）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】根据条件可得，对应建立方程求解即可. 【解答过程】， 即， 所以，解得，，， 故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【解题思路】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 【知识点3 共线向量与共面向量】 1．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【题型5 向量共线的判定及应用】 【例5】（23-24高二上·福建三明·开学考试）若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【解题思路】利用空间向量共线定理和共面定理判断. 【解答过程】因为，即，即， 又与不共线，所以共面，故D正确A错误； 因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误； 故选：D. 【变式5-1】（23-24高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 【解题思路】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【解答过程】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【解题思路】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案. 【解答过程】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【解题思路】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【解答过程】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【解题思路】利用共线向量定理解决即可. 【解答过程】因为且，则存在实数，使得，即 ， 又因为，，不共面，则，解得. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解. 【解答过程】由，， 得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得. 故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【解题思路】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【解答过程】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 【题型7 向量共面的判定及应用】 【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（    ） A．A，B，C，D四点共线 B．A，B，C，D四点共面 C．A，B，C，D四点不共面 D．无法确定 【解题思路】根据向量共面和共线的结论判断即可. 【解答过程】由， 则共面. 从而A，B，C，D四点共面. 故选：B. 【变式7-1】（2024高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【解题思路】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【解答过程】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【变式7-2】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【解答过程】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【变式7-3】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【解题思路】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，，不存在实数，使得成立， 与不共线，A错误； 对于B， ，， ， 又，不存在实数，使得成立， 与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（23-24高二上·河北·期中）已知是平面内不共线的四点，点为平面外一点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【解题思路】根据四点共面的性质求解即可. 【解答过程】因为四点共面，且， 所以，解得. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【解题思路】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【解答过程】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 【变式8-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案. 【解答过程】四点共面的充要条件是，，整理可得， 由，则，解得， 故选：A. 【变式8-3】（23-24高二上·江西·阶段练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果. 【解答过程】由题知， 四点共面, 根据平面向量基本定理, 不妨设,， 则 , ， , . 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$