2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷（二）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷（二） 第Ⅰ卷 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则（    ） A． B． C．1 D．5 2．已知实数，若，且这四个数的中位数是3，则这四个数的平均数是（    ） A． B．3 C． D．4 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中“今有圆亭，下周五丈，上周四丈，高三丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长5丈，上底周长4丈，高3丈，则它的体积为（    ） A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈 5．已知在边长为3的等边中，，则在上的投影为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．饕餮(tāotiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 二、多选题 (本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数，则（    ） A．为纯虚数 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 10．已知一组正实数样本数据，满足，则（    ）． A．样本数据的第80百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍 11．如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上．若，则（    ） A． B．该多面体外接球的表面积为 C．直线MG与直线PQ的夹角为 D．二面角的余弦值为 第Ⅱ卷 三、填空题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知事件和事件互斥，若且，则 . 13．已知中，角的对边分别为，且的面积为，则 . 14．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的体积为 . 四、解答题 (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．锐角中，角所对的边分别为且． (1)证明:; (2)求的周长的取值范围． 16．某中学举行了一场诗词竞赛，组委会在赛后抽取了部分参赛选手的成绩(百分制)作为样本进行统计(每组为左闭、右开的区间)，作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图(中间三行污损，看不清数据). (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x+y的值； (2)分数在的参赛选手中，男生有3人，现从该组抽取3人“座谈”.请选择合适的表示方法写出样本空间，并求至少有1名女生的概率. 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. (1)求证：M，N，C，D四点共面； (2)求证：平面. 18．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：在棱上存在一点，使得平面平面； (3)求三棱锥的体积． 19．某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. (1)求该烟花的体积； (2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷（二） 第Ⅰ卷 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】先由求出复数，从而可求出，进而要求出. 【详解】由，得， 所以， 所以， 故选：A 2．已知实数，若，且这四个数的中位数是3，则这四个数的平均数是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】借助中位数与平均数定义结合题目所给条件计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 则. 故选：D. 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，，，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，又，所以. 故选：D 4．《九章算术》中“今有圆亭，下周五丈，上周四丈，高三丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长5丈，上底周长4丈，高3丈，则它的体积为（    ） A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈 【答案】A 【分析】求得圆台上下底面半径，由此求得圆台的体积. 【详解】圆台下底面周长5丈，下底面半径为，圆台上底面周长4丈，下底面半径为， 所以圆台的体积为立方丈. 故选：A. 5．已知在边长为3的等边中，，则在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得出，从而根据，进行数量积的运算即可求出的值，结合，根据投影的计算公式即可求出投影的值． 【详解】， ， 在上的投影为． 故选：． 6．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】构造正方体将所求解的二面角转化为平面与平面所成二面角，利用二面角的平面角的定义，找到对应的角，求解即可. 【详解】构造正方体如图所示，    因为平面与平面所成二面角就是平面与平面所成二面角， 又平面,平面, 所以又所以 又所以 所以就是面与平面所成二面角的平面角， 因为构造几何体为正方体，故 故选：B. 7．饕餮(tāotiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】有一点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，利用列举法求出基本事件总数和其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况的种数，由此能求出恰好是沿着饕餮纹路线到达的概率． 【详解】解：有一点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，基本事件总数有： 右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下， 下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，共10种， 其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种，右右下下下， 恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为． 故选：B． 【点睛】古典概型概率的计算，关键要弄清基本事件总数和要求的满足题设条件的事件数． 8．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 二、多选题 (本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数，则（    ） A．为纯虚数 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【分析】借助复数的加减、乘除运算法则，复数的几何意义与共轭复数的定义逐项判断即可得. 【详解】对于A：，故为纯虚数，故A正确； 对于B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误； 对于C：， ，故，故C错误； 对于D：令，，则由， 可得，即， 故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D 10．已知一组正实数样本数据，满足，则（    ）． A．样本数据的第80百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍 【答案】BC 【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断C；由方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误； 对于B，由题意存在这样一种可能，若， 则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确； 对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图， 由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处， 此时平均数大于中位数，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC． 11．如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上．若，则（    ） A． B．该多面体外接球的表面积为 C．直线MG与直线PQ的夹角为 D．二面角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】作出平面截面该多面体及对应的正方体截面，利用正八边形的性质，结合球的截面小圆性质、异面直线夹角、二面角逐项计算判断即可. 【详解】依题意，平面截该多面体得正八边形，截对应正方体得正方形，该正方形边长即为正方体的棱长，如图， 对于A，，A错误； 对于B，正方形的外接圆半径，显然该多面体外接球球心是对应正方体的中心， 球心到平面的距离，因此球半径，有， 所以该多面体外接球的表面积为，B正确； 对于C，显然，而，因此直线MG与PQ的夹角为直线FP与PQ的夹角，C正确； 对于D，显然，则是二面角的平面角， 且，其余弦值为. 故选：BCD 第Ⅱ卷 三、填空题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知事件和事件互斥，若且，则 . 【答案】/ 【分析】先求出，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以， 而， 所以. 故答案为： 13． 已知中，角的对边分别为，且的面积为，则 . 【答案】/ 【分析】先利用三角形的面积列方程求出，再利用余弦定理求出，从而可求出的值. 【详解】，解得， ， . 故答案为： 14． 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的体积为 . 【答案】 【分析】利用截面三角形是直角三角形，可得外接圆半径是斜边的一半，再由球心距，小圆半径和球的半径组成勾股定理来计算即可. 【详解】在中，由，得，则， 所以外接圆半径，设球半径为，依题意，， 即，，所以球的体积， 故答案为：. 四、解答题 (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．锐角中，角所对的边分别为且． (1)证明:; (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由两角和差以及正弦定理即可运算证明； （2）由正弦定理表示出，求出的范围，再结合三角函数性质即可得解. 【详解】（1）因为，， 则； （2）由，得， 故， 因为为锐角三角形，所以，即，所以， 则，所以周长的取值范围为. 16．某中学举行了一场诗词竞赛，组委会在赛后抽取了部分参赛选手的成绩(百分制)作为样本进行统计(每组为左闭、右开的区间)，作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图(中间三行污损，看不清数据). (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x+y的值； (2)分数在的参赛选手中，男生有3人，现从该组抽取3人“座谈”.请选择合适的表示方法写出样本空间，并求至少有1名女生的概率. 【答案】(1)50，0.056； (2)样本空间见解析； 【分析】（1）频率分布直方图和茎叶图相结合求出样本容量及x+y的值. （2）用列举法把所有情况列举出来，从中找到符合要求的情况，用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】（1）由茎叶图知，选手成绩在区间内有5个， 由频率分布直方图知，选手成绩在区间内的频率为， 所以样本容量； 又，所以. （2）分数在的参赛选手有5人，用 、、表示男生，，表示女生， 则试验的样本空间为， 共有个样本点， 至少有名女生包含的样本点：，有个， 所以至少有名女生的概率为. 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. (1)求证：M，N，C，D四点共面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意证明，即可证明M，N，C，D四点共面. （2）取中点，连，，证明，进而可证明平面. 【详解】（1）∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴. 又在平行四边形中，， ∴，∴，，，四点共面. （2）取中点，连，， ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴且， 又∵平行四边形中，∴且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 18．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：在棱上存在一点，使得平面平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由直三棱柱侧棱与底面垂直可得， 结合已知，得到平面，从而得到平面平面； （2）取的中点，连接，．由三角形中位线定理可得，且，得到四边形为平行四边形，进一步得到．取中点，连接，，则，由此能求出在棱上存在中点，使得平面平面． （3）由已知求解直角三角形得到，求得底面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积． 【详解】（1）在直三棱柱中 底面，底面,． 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面； （2）证明：取的中点，连接，． ，，分别是，，的中点， ，且，． ，且，，且， 四边形为平行四边形， ,平面,平面，所以平面， 取中点，连接，，则， 平面,平面，所以平面， 平面， 故平面平面． 在棱上存在中点，使得平面平面． （3），，，． 三棱锥为： ． 19．某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. (1)求该烟花的体积； (2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可； （2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解. 【详解】（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积. （2）①由图可知：，， 在梯形中，由，，易知，故， 则， 所以； ②由①可知：， 即， 令，则，上式即为， 又令，，则， 当时，，当时，， 当时， ， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$