第2节 基本不等式（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第2节 基本不等式 【基本不等式(或)均值不等式】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 重难点题型突破1 基本不等式的简单应用 例1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 例2．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 【变式训练1】、（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【变式训练2】、（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 重难点题型突破2 利用基本不等式求最值 例3．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 【变式训练3】、（2024高一上·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【变式训练4】、（2024·河北沧州·二模）（多选题）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 不等式变形技巧：“1”的代换 例5．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 例6．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【变式训练5】、（23-24高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【变式训练6】、（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 重难点题型突破4 不等式的证明技巧 例7．（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 例8．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知，，均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则. 【变式训练7】、（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【变式训练8】、（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知正实数，，满足． (1)若，证明：． (2)求的最大值． 重难点题型突破5 综合处理技巧 例9．（22-23高一上·重庆北碚·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 【变式训练9】、（23-24高三上·山东青岛·期末）（多选题）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】、（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2节 基本不等式 【基本不等式(或)均值不等式】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 重难点题型突破1 基本不等式的简单应用 例1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 例2．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【分析】根据基本不等式易得. 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 【变式训练1】、（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式先求的最小值，然后可得. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 即的最大值为0. 故选：B 【变式训练2】、（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：4 重难点题型突破2 利用基本不等式求最值 例3．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 例4．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为4. 故答案为：4 【变式训练3】、（2024高一上·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】求出的范围，根据基本不等式求解. 【详解】由且，即且，可得， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式训练4】、（2024·河北沧州·二模）（多选题）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 重难点题型突破3 不等式变形技巧：“1”的代换 例5．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 例6．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【变式训练5】、（23-24高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【答案】D 【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【变式训练6】、（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 重难点题型突破4 不等式的证明技巧 例7．（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 例8．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知，，均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由展开，结合已知条件，利用基本不等式计算即可得出结果； （2）由，将，化简可得，借助“1”的替换，利用基本不等式即可得出结果. 【详解】（1）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 又因为，，均为正数，所以. （2）因为，由条件可得，即， 所以 ， 当且仅当时取等号，此时，解得， 把和，代入，求得， 所以当且仅当，，时，取得等号. 【变式训练7】、（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为； （2）由，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练8】、（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知正实数，，满足． (1)若，证明：． (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）由基本不等式和乘“”法证明即可； （2）由基本不等式变形求解即可 【详解】（1）证明：由，得， 则， 当且仅当时，等号成立，证毕． （2）因为，，， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为3． 重难点题型突破5 综合处理技巧 例9．（22-23高一上·重庆北碚·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以 即 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以 故选:D. 例10．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将变为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x，y，z均为正实数， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 【变式训练9】、（23-24高三上·山东青岛·期末）（多选题）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 【变式训练10】、（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$