第2节 基本不等式（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第2节 基本不等式 1．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 6．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 7．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 8．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·湖南·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．6 11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 12．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为 ． 13．（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）若，则的最小值是 . 14．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 15．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 16．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 17．（23-24高三下·海南·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 18．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为 19．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 20．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 21．（2022·全国·模拟预测）已知，，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 22．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三下·北京·阶段练习）（多选题）已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 24．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．的最小值为 25．（2024·河北保定·二模）（多选题）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 26．（23-24高二上·云南昆明·期末）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足. (1)若，求的最小值； (2)证明：. 28．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2节 基本不等式 1．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 5．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 6．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】由题意，，，利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立， 所以函数有最大值. 故选：D. 7．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 8．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 9．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，则， 当且仅当时等号成立. 故选：B 10．（23-24高二下·湖南·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】C 【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值． 【详解】根据题意， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 12．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求和式的最值即可得结论. 【详解】因为所以， 当且仅当，即且时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】 由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是. 【详解】 因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 14．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 15．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【详解】因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为： 16．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 17．（23-24高三下·海南·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】根据常值代换法，妙用“1”，构造基本不等式的条件，即可求得所求式的最小值. 【详解】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 故答案为：16. 18．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为 【答案】6 【分析】先把已知变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：6. 19．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）5；（2）9 【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求解可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为5； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 20．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）  ；（3）． 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件. （2）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可． （3）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号． 故取得最大值时，的值为． （2） ．（） 当且仅当，即时取等号． 故函数的最小值为． （3）x，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 21．（2022·全国·模拟预测）已知，，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故选:D. 22．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 23．（23-24高三下·北京·阶段练习）（多选题）已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断. 【详解】因为正实数满足， 对于选项A：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 故选：ACD. 24．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断各选项. 【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确； B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确； C选项：由，得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故C选项错误； D选项：由A的分析知且，时取等号， 所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确； 故选：ABD． 25．（2024·河北保定·二模）（多选题）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】借助基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 26．（23-24高二上·云南昆明·期末）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由基本不等式，将等式转化为关于的不等式，求解即可. 【详解】因为， 对于选项A，， 当且仅当 时等号成立； 得，解得或（舍去） 故，选项A正确； 对于选项B，，当且仅当时等号成立； 得，且，解得， 故，选项B正确； 对于选项C，，且， 得， 结合选项A中正确结果， 得，当且仅当时等号成立； 选项C不正确； 对于选项D，，且， 所以，结合选项B中正确结果，则， 所以，当且仅当时等号成立，选项D正确； 故选：ABD. 27．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足. (1)若，求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，再由，即可得证. 【详解】（1）解：当时，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. （2）证明：因为，可得, 所以， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 所以. 28．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$