第1节 等式与不等式的性质（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1节 等式与不等式的性质 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一下·上海·开学考试）对于实数，，，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（23-24高一上·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知、、，则“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 6．（22-23高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南长沙·二模）（多选题）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·浙江·期中）（多选题）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（多选题）若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选题）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选题）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）． 13．（22-23高一·全国·单元测试）若，，则 0．（填“”、“”或“”） 14．（22-23高一上·海南儋州·期中）如果，，那么 (填“”或“”) 15．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 16．（23-24高一上·重庆·期中）已知． (1)比较与的大小． (2)试问“”是“”的什么条件？说明你的理由． 17．（19-20高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 18．（2018高三下·浙江·学业考试）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 20．（2020·山东威海·一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为 种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为 万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 等式与不等式的性质 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·开学考试）对于实数，，，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用不等式的性质及充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】显然时，则，满足充分性， 而当时，若，则不成立，不满足必要性. 故选：A 4．（23-24高一上·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质一一判断各选项中的不等式是否成立，即得答案. 【详解】由于，故，，A错误，B正确； 由，不能确定与的大小关系，比如取， 则，C错误； 由，可得，D错误， 故选：B 5．（23-24高一上·上海·期末）已知、、，则“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、、，当时，则，即“”“”， 若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”， 因此，“”是“”的必要非充分条件. 故选：C. 6．（22-23高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，解得，则，结合的范围即可求得． 【详解】解：令，， 则 ， 则， ∵ ， ∴ ． 又， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 7．（2024·湖南长沙·二模）（多选题）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 8．（23-24高一下·浙江·期中）（多选题）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 9．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（多选题）若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】 根据题意，举出反例即可判断ABC，由作差法即可判断D 【详解】令，满足，但是，故A错误； 令，满足，但是，故B错误； 令，满足，但是，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABC 10．（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选题）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D． 【详解】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确； 对B, ，,则，故B正确； 对C, ，，由不等式性质易知，故C错误； 对D, 若，则, 故D正确. 故选：ABD. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选题）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）． 【答案】 【分析】根据不等式的性质转化为比较与的大小关系，即可求解. 【详解】要比较与的大小关系，即比较与的大小关系， ， 即， 所以. 故答案为： 13．（22-23高一·全国·单元测试）若，，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】因为,所以,又因为,所以, 故答案为: . 14．（22-23高一上·海南儋州·期中）如果，，那么 (填“”或“”) 【答案】 【分析】根据不等式的性质，可直接得出. 【详解】因为，，根据不等式的性质可得，. 故答案为：. 15．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质推理即得. （2）由（1）的结论，结合不等式的性质推理即得. 【详解】（1）， 由，得，而，，，则， 所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 16．（23-24高一上·重庆·期中）已知． (1)比较与的大小． (2)试问“”是“”的什么条件？说明你的理由． 【答案】(1) (2)“”是“”的充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）利用作差法进行判断即可； （2）利用作差法，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】（1）由题意可得，． 因为，所以，所以 （2）“”是“”的充分不必要条件． 理由如下： 由，得，则，即． 反之，由，得，推不出． 故“”是“”的充分不必要条件 17．（19-20高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 18．（2018高三下·浙江·学业考试）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】特殊化的方法，取可判断A，取，可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确. 【详解】对于A，取，该不等式成立，但不满足； 对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足； 对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足； 下面证明B 法一 不等式等价于，而. 函数在上单增，故. 法二 若，则，故，矛盾. 故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题. 19．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 20．（2020·山东威海·一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为 种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为 万元． 【答案】 16 1 【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数； （2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可. 【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为, （1）由题意知，， 化简得：， 又， 所以， 解得：， 共种； （2）由题意知， ， ， ， ， 即的最大值为1万元， 故答案为：16；1 【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$