专题06 一次函数综合题最值问题（精选30道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题06 一次函数综合题最值问题 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．    (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点． (1)求直线，函数关系式； (2)设点的横坐标为，若点在线段上． ①若，求四边形的面积； ②若点是线段的三等分点，求的值． (3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点． (1)求直线的表达式． (2)如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标． (3)如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形． (1)直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标； (2)动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒． ①若△NPH的面积为1，求t的值； ②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标和最小值；如果没有，请说明理由． 6．如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．    (1)连接，求证：； (2)利用你所学的数学知识求出折痕所在直线的函数解析式； (3)请问轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．    (1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标； (2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式； (3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．    (1)求直线的解析式； (2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标； (3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 9．如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为． (1)求点，，的坐标． (2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值． (3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 12．阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行．已知一次函数的图象为直线l，过点且与已知直线l平行的直线为．解答下面的问题： (1)直接写出直线的函数表达式； (2)设直线分别与轴、轴交于点，，过坐标原点作，垂足为点，求和两平行线之间的距离的长； (3)若为上一动点，求的最小值，并求取得最小值时点的坐标； (4)在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 13．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点． (1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________； (2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积． 14．在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，． (1)如图1，点C在线段AB上，点D在线段AO上，于点E，于点F，若，，求证：； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，若，点M，N分别是（2）中直线l和线段OB上的动点，求周长最小值的平方． 15．在平面直角坐标系中有两点，． (1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案） (2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）． (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，且．C为线段上一点，轴于点的平分线交x轴于点E． (1)直线的函数表达式为___________； (2)若，求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接，那么的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 17．如图，直线与、轴分别交于点、．为轴上的动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当点坐标为时，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．则的最小值为　　　　　　　（直接写结果） 18．如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点． (1)求点C的坐标及直线的函数表达式； (2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； (3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知，直线与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与直线交于点E． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值． 20．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，． (1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上； (2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标． 21．如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点．    (1)求的值和直线的函数表达式； (2)求的面积 (3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 22．如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴的夹角为，过点作直线，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)点在直线上，当时，求点坐标； (3)在（2）的条件下，设点的横坐标为，点在直线上，点为点关于轴的对称点，点在轴上，当取最大值时，求的最小值． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，直线与y轴相交于点C，与x轴的负半轴相交于点D，其中，直线与直线相交与点B． (1)填空： ①m＝______； ②直接写出不等式的解集：_______． (2)猜想的度数，并说明理由； (3)如图2，连接，在直线上有一点P，连接，若，求的最大值． 24．如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．    (1)当时，求直线的函数解析式． (2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．    (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 26．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 27．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．    (1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______． ②若，求的值； (2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值． 28．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点E为线段的中点，直线经过点E，且与x轴交于点，与y轴交于点D． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上一点且在E点的右侧，线段在x轴上移动且，点G在点F的左侧，当四边形的面积为时，求的最大值； (3)如图3，将沿着射线方向平移个单位长度，点A的对应点是M，点B的对应点是N，点K为直线上一点．在平面直角坐标系中是否存在点H，使以M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 30．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点． (1)请直接写出直线的关系式：_________ (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由； (3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题06 一次函数综合题最值问题 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①，理由见详解② 【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线． （1）将点E代入中即可得点E的坐标，将点E代入即可求解； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，可得，由此即可得 ，，将， ，代入即可求解； ②当时，，即可求得点，然后利用两点之间线段最短即可求得的最小值为． 【详解】（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为4， ， 点E在直线上， ， 直线与x轴交于点D， ； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴如图： ， 直线与x轴，y轴分别交于两点， ， ,, , ，， ， ， ， ， ， ②解：如图所示， 过点作轴于点， 则， ∴ ∴ 由①可得， ∴在上时， 设且， 依题意，当重合时，最小， 此时在原点，点，则的最小值为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．    (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点 ∴当则 ，故； 当，则，故； ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且 ∴当，则，解得 ∴，即； 过点C作    由（1）知， ∴ 根据等面积法， 得 ∴ 则 设直线的解析式为 把代入 解得 ∴直线的解析式为 则点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； （3）解：如图：在上取点，连接    ∵，，， ∴ ∵直线过点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵要求线段的最小值 ∴要求出最小值 则点三点共线时，则有最小值， 此时最小值 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算律大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点． (1)求直线，函数关系式； (2)设点的横坐标为，若点在线段上． ①若，求四边形的面积； ②若点是线段的三等分点，求的值． (3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) ； 或 (3) 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）过点作轴于点，求出点坐标，把四边形的面积转化为求解即可； 用表示出点的坐标，求出、，分两种情况解答即可求解； （）根据垂线段最短得：当直线时，线段最短，设，过点作轴，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， ， 直线经过点和点， ∴， 解得， ； （2）当时，代入函数，得， ，则，， 过点作轴于点， ， ，， ， ； 点在上， ， 点在上， ， 则，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述，点是线段的三等分点，则或； （3）解：根据轴对称性质得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短得：当直线时，线段最短， 设，过点作轴， 则，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，勾股定理，掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点． (1)求直线的表达式． (2)如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标． (3)如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据翻折可得，得到，进而得到，最后在中利用勾股定理列方程求出即可； （3）由可设解析式为，过作于，过作于，过作于，由即可得到等腰直角三角形，，设，由全等求出点坐标，最后求出点的轨迹方程即可求出最小值． 【详解】（1）设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折至， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得, ∴； （3）过作于，过作于，过作于， ∵ ∴设解析式为， ∴设，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至的位置， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得： ∴，解得 ∴ ∵ ∴令，整理得 ∴在直线上移动， ∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标， ∴， ∴， 过作于，则即为的最小值， ∴， ∴． ∴有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，点的轨迹方程，垂线段最短等知识点． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形． (1)直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标； (2)动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒． ①若△NPH的面积为1，求t的值； ②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标和最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①或2；②，最小值 【分析】（1）令可得，令可得，令可得； （2）①分两种情况讨论：的高是确定的，当N在的左侧即当 时；当N在PH的右侧即当时； ②当C、H、Q在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质即可． 【详解】（1）∴令得， 解得， ∴ ∴令，得， ∴． ∵点C为OB的中点，且四边形AOCD为矩形， ∴， 当时，， ∴， ∴ （2）①分两种情况讨论： 第一种情况当 时，如图1， 根据题意可知：经过t 秒，， ， ，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：当时，如图2， 根据题意可知：经过t 秒，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当或2时，存在△NPH的面积为1； ②如图，连接， 是的中点， ， ， 四边形是矩形，   ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 要使的值最小，只需、、三点共线即可， 点是点关于点的对称点，   ， 又点， ∴直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴ 令，得， ∴， ∴所求点P的坐标为， 根据勾股定理可得， 此时，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，矩形的判定及性质，三角形面积的求法和三点共线及最值，勾股定理，解题的关键是作辅助线进行求解． 6．如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．    (1)连接，求证：； (2)利用你所学的数学知识求出折痕所在直线的函数解析式； (3)请问轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由轴对称的性质，利用证明即可； （2）连接，求出，设点，，，，可得出，解方程可得解，得到点的坐标，设所在直线的函数解析式为，代入点坐标求出函数解析式即可； （3）可得出点关于轴的对称点是，求出直线的函数表达式为，代入求出，即可求出的周长最小时，点的坐标． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由轴对称的性质可知，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：连接，    ∵正方形的边长为，点是的中点， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， 设点设点，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设所在直线的函数解析式为，代入点坐标得：， 解得：， ∴OP所在直线的表达式是； （3）解：存在．若的周长为最小，长度固定不变， 即是要为最小， ∵记点关于轴的对称点是，由（2）得， ∴， 当、、三点在同一条直线上时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入点、坐标得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 代入，得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，最短路径，正方形的性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题． 7．如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．    (1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标； (2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式； (3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，直线的解析式为 (3) 【分析】（1）分别令，求得两个函数对应的x的值，即可求出点A、B的坐标，联立两个函数的解析式，即可求出点P的坐标； （2）连接OP，则点Q的坐标为，则四边形的面积＝的面积+的面积，根据已知的两个条件可得关于a、b的方程，解方程求出a、b，可得点P、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，的值最小，当点F与B重合时，的值最大，然后分别利用等面积法和两点间的距离公式求解即可得出答案． 【详解】（1）对于， 令，可得， ∴， 对于， 令，可得， ∴， 由，解得，， ∴； （2）连接OP，则点Q的坐标为，    ∵四边形的面积＝的面积+的面积， ∴， 整理得，①， ∵， ∴，即②， 把②代入①并整理得， ∴（负值舍去），， ∴，B， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为； （3）如图，    由题意，Q，B，， ∴的面积， ∴， ， ∵点F在线段上， ∴时，的值最小，最小值， 当点F与B重合时，的值最大，此时， ∴． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、勾股定理、方程组的求解等知识，熟练掌握一次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．    (1)求直线的解析式； (2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标； (3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由菱形的性质得出点C的坐标，再用待定系数法即可求出解析式； （2）先确定当取到最小值时点P的位置是直线与y轴的交点，即可根据、的解析式，求出点P的坐标，即可解答； （3）存在，设点Q的坐标为，先求出菱形的面积，根据面积相等，即可求出y，从而求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设的解析式为， 则，解得：， ∴； （2）连接，交于点P，连接，交于点N，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ， 由三角形三边关系可知：， ∴当A、P、D三点共线时，最小， 设的解析式为， 将、代入，得：， 解得：， ∴， 联立， 解得， ∴P点坐标为； （3）∵，， ∴， 如图，设交y轴于点E，则，设，    则 ， ∴， ∴或， ∴Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象性质和菱形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键． 9．如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为． (1)求点，，的坐标． (2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值． (3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式分别令求得的坐标，根据矩形的性质求得点的坐标； （2）根据轴对称的性质求线段和的最值，作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而求得周长最小值为，进而勾股定理，即可求解； （3）根据题意，观察坐标系中符合题意的4个点的位置，进而根据临界位置求得的值． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为 当时，，当时， ∴，，即 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ （2）解：如图所示， 作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴，则的周长最小 ∵，是的交点， ∴， ∴的周长为 （3）解：如图所示， 设平移后的解析式为 当在上时， ∴， 解得：， ∵当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点 ∴ 当经过点时，，解得： 综上所述，的取值范围为 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何图形，轴对称的性质，勾股定理求两点距离，一次函数的平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解求出菱形的边长，即可得出答案； （2）y轴垂直平分线段，可得，当A，P，C共线时等号成立，作轴于点H，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再求出直线的解析式，可得点P的坐标； （3）分、两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 设菱形的边长为a， 即， ， ， 顶点D的坐标为， ， ， ， ，顶点A在x轴上， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知， y轴垂直平分线段， ， ，当A，P，C共线时等号成立，如图，作轴于点H， ，， ， 的最小值为4； 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点P的坐标为； （3）解：以点B、D、Q为等腰三角形时,有两种情况： 当时，如图： 此时点Q与点A重合，坐标为； 当时，如图： ，， ， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，求一次函数的解析式等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 12．阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行．已知一次函数的图象为直线l，过点且与已知直线l平行的直线为．解答下面的问题： (1)直接写出直线的函数表达式； (2)设直线分别与轴、轴交于点，，过坐标原点作，垂足为点，求和两平行线之间的距离的长； (3)若为上一动点，求的最小值，并求取得最小值时点的坐标； (4)在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； (4)或， 【分析】（1）依题意，直线的解析式为，把点代入即可求得的值，则函数的解析式即可求解； （2）首先求得、的长度，依据，即可求得的长度； （3）关于轴的对称点，连结 交轴于，则勾股定理求得的最小值为，待定系数法求解析式直线的解析式为，得出； （4）分当时，当时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由 当时，，当时，， ∴则， ∵， ∴ （3）∵关于轴的对称点，连结 交轴于， ∴的最小值为 ， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ∴． （4）解：∵ ∴, ∵为以为腰的等腰三角形， 当时，或， 当时，设，则 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直角三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的综合应用，正确确定的位置，理解平行的条件是关键． 13．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点． (1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________； (2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图所示，过点F作交延长线于G，利用证明∴，得到，进而证明，得到，则； （2）如图所示，在上取一点M使得，先证明，然后利用证明，即可证明； （3）先利用一线三垂直模型分图1和图2两种情况，证明，推出，即点F在直线上运动；如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则，则当三点共线时，最小，即最小，求出直线解析式为，联立，求出，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点F作交延长线于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示，在上取一点M使得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图1所示，当点E在右侧时，过点F作交延长线于G，以B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动； 如图2所示，当点E在左侧时， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动； 综上所述，点F的运动轨迹即为直线； 如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，． (1)如图1，点C在线段AB上，点D在线段AO上，于点E，于点F，若，，求证：； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，若，点M，N分别是（2）中直线l和线段OB上的动点，求周长最小值的平方． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）证明，，即可求解； （2）设，得到，，，利用，求解a值，进而求解； （3）分别作点P关于直线l和y轴的对称点、，连接分别交直线l和y轴于点M、N，则此时周长最小，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， ∵，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 在等腰中，由得：， 在等腰中，由得：， 则，， 在等腰中，，即， 解得：，则， 则直线的表达式为：； （3）解：如图2，分别作点P关于直线l和y轴的对称点、，连接分别交直线l和y轴于点M、N，则此时周长最小，理由： 由对称性知，，，则周长为最小， ∵在直线l和x轴的夹角为，，则， ∴为等腰直角三角形，则轴， 由（2）知，，则，， 则， 即周长最小值的平方为：． 【点睛】本题是一次函数的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，点的对称性、三角形全等等，其中（1），证明三角形全等是本题解题的关键． 15．在平面直角坐标系中有两点，． (1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案） (2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）． (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有最小值，继而求出答案； （2）将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，由平行四边形性质和对称轴性质可得此时最小，求出直线解析式为，即可得点的坐标； （3）过点作轴的垂线，分别交轴于两点，证明，设，则，再设点关于直线对称点是，与对称点连线与交点是使为最小值的点，继而求出答案． 【详解】（1）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ∵， ∴最小， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴点坐标为：， 故答案为：； （2）解：将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，如下图： ， 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由关于轴对称可得， ∴， ∴，即最小， 设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为：， 故答案为：； （3）解：设点，过点作轴的垂线，分别交轴于两点， ， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线：上运动， 设点且点关于的对称点是， ∴三点共线时使为最小值的点，此时点为直线与直线的交点， ∴，解得：， ∴点， ∵点的坐标为， ∴直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴点． 【点睛】本题考查最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，解分式方程，一次函数图象及性质等． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，且．C为线段上一点，轴于点的平分线交x轴于点E． (1)直线的函数表达式为___________； (2)若，求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接，那么的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求解，再利用30度角的直角三角形的性质与勾股定理求解，可得，可得直线的解析式； （2）设，证明，，由，可得，可得，再求解即可； （3）如图，取的中点，连接，，作关于轴的对称点，连接，证明，可得，当，，，四点共线时，取最小值，即的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为． （2）∵直线为．轴，设， ∴，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）如图，取的中点，连接，，作关于轴的对称点，连接， ∴，， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴， 当，，，四点共线时，取最小值，即的长， ∵， ∴， ∵，，为的中点， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，化为最简二次根式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 17．如图，直线与、轴分别交于点、．为轴上的动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当点坐标为时，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．则的最小值为　　　　　　　（直接写结果） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求的解析式即可； （2）设证明可得，的边上的高为8，由勾股定理求出，分两种情况由面积关系可得结论， （3）设点P的坐标为，则可得，，得出点C在直线上运动，设直线交轴于点，，作点关于直线的对称点，连接，得出当三点共线时，此时，的值最小，最小值为根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把.代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为； （2）解：过点C作轴于点F，如图， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， 设点D的坐标为， ①当点D在点B下方时， ∴， 解得，， ∴ ②当点D 在点B上方时，同理可求出， ∴, 综上，点D 的坐标为：或； （3）解：作点关于直线的对称点，连接， 由（2）知， ∴ 设点P的坐标为，则 ∴， ∴， ∴点C在直线上运动， 设直线交轴于点， 令则解得，； 令则 ∴，点在直线上， ∵ ∴ ∵与关于轴对称， ∴ ∴ ∴ ∴点在直线上， ∵与关于直线对称， ∴ ∴ ∴， 在中，由三边关系得 当三点共线时，此时，的值最小，最小值为 ∵ ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与性质，待定系数法、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键． 18．如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点． (1)求点C的坐标及直线的函数表达式； (2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； (3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线的函数表达式为 (2) (3)在y轴上存在点使得的值最小，最小值为 【分析】本题主要考查直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称-最短路线问题： （1）把点代入，求得点C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k，b的值； （2）求出点A的坐标，得出，根据点D在直线上可得，再根据三角形面积公式可得结论； （3）如图，作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为P点，此时，的值最小；由勾股定理可求出的最小值为，再运用待定系数法求出直线的函数表达式为，令，求出，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：直线过点 ， ． 直线过， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：直线与x轴交于点A， 令，则， ， ∵， ． 点D在线段上． ． ． （3）解：在y轴上存在点P，使得的值最小，理由如下： 如图，作点B关于y轴的对称点，连接， 与y轴的交点即为P点，此时，的值最小， ，则， ， 即的最小值为． 设直线的函数表达式为， ， 解得 直线的函数表达式为． 令，则， ． 故在y轴上存在点使得的值最小，最小值为． 19．如图，已知，直线与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与直线交于点E． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 (3)最小值为5 【分析】本题考查一次函数的综合应用，求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可； （3）作点关于轴的对称点，得到，求出的长即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把代入，得：， 把代入，得：， 故直线的解析式为：； （2）令，解得：， 点， ； （3），作点关于轴的对称点， ∴， ∴当，三点共线时，，值最小， 作轴，连接，与轴交于点， ∴ 的最小值为5． 20．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，． (1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上； (2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标． 【答案】(1)，在 (2)存在，最小值为， 【分析】（1）用待定系数法求解即可；把横坐标的值代入函数解析式中，求出函数值，是否等于点的纵坐标，即可判断； （2）取点C关于x轴的对称点，连接，则的最小值为长度；求出直线的解析式，即可求得它与x轴的交点，此点即为点P的坐标；由勾股定理可求得的长度，从而求得的最小值． 【详解】（1）解：∵过， ∴将点A，B的坐标代入得，解得：， ∴解析式为：； 当时，，所以点在函数图象上 （2）解：存在一点P，使最小； ∵，，且C为BO的中点， ∴点C的坐标为， 如图，作C关于x轴对称点，则，连接， 则， 即当三点共线时，取得最小值，且最小值为长度； 又∵，且D为AB的中点， ∴点D的坐标为 连接，设的解析式为， 把点代入得， 把点代入，得， ∴是的解析式， ∵， ∴， 即， ∵的最小值， ∴由勾股定理得． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，最短距离，对称性，勾股定理，直线与坐标轴的交点等知识，正确求出函数解析式是关键． 21．如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点．    (1)求的值和直线的函数表达式； (2)求的面积 (3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）将代入，求出的值，设直线：，待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）将转化为的一次函数，进行求解即可． 解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 【详解】（1）解：将代入，得：； ∴， ∵， ∴设直线：，将，代入，得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）∵点在线段上，点在直线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为． 22．如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴的夹角为，过点作直线，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)点在直线上，当时，求点坐标； (3)在（2）的条件下，设点的横坐标为，点在直线上，点为点关于轴的对称点，点在轴上，当取最大值时，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，求出、，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况，作出图形，由平行线间的两个三角形同底等高得到，再由含的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长即可得到答案； （3）根据题意，作出图形，由三角形三边关系分析动点运动情况，得到当在同一直线，且时，取到最小值，最小值为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ，即， ， ∴在中，，则，即， ∴设直线解析式为：， 将点代入上式得，解得， ； （2）解：如图，过点作的平行线交于点，过点作轴垂线，垂足为点， 由平行线的性质可知，当时，两个三角形边上的高， 在中，，则， ，由勾股定理可得， ， ， ， ， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， ， ； 当点在第三象限时，如图所示： 同理可得，， ， ； 综上所述，或； （3）解：根据题意，点在上，连接，如图所示： 在中，， 当点为延长线上与交点时，达到最大，如图所示： 此时， 、， 设直线解析式为：， 将点代入上式得，解得， ； 点，则 当在同一直线，且时，取到最小值，最小值为，如图所示： 在中，，则 ． 【点睛】本题考查直线综合，涉及待定系数法确定函数表达式、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、动点最值问题-点到直线距离等知识，熟练掌握直线图象与性质、直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，直线与y轴相交于点C，与x轴的负半轴相交于点D，其中，直线与直线相交与点B． (1)填空： ①m＝______； ②直接写出不等式的解集：_______． (2)猜想的度数，并说明理由； (3)如图2，连接，在直线上有一点P，连接，若，求的最大值． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、两条直线交点问题，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质， （1）①先求出，再代入求得m的值即可；②先联立方程组求得点B坐标，再通过数形结合回答即可； （2）先求出，再通过勾股定理的逆定理求解即可； （3）先求出直线的函数关系式为：，设，只有当时，有最大值，求出的值即可． 【详解】（1）①将代入直线中得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入直线中得： ， 解得：， 故答案为：； ②联立方程组得： ，解得， ∴不等式的解集为：， 故答案为：； （2），理由如下： 将代入直线中得：， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）设直线的函数关系式为：， 由题意得：，解得：， ∴直线的函数关系式为：， 设， ∵， ∴， ∴只有当时，有最大值， ∴， ∴直线的函数关系式为， 联立方程组得：，解得：， ∴， ∴， ∴的最大值为， 24．如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．    (1)当时，求直线的函数解析式． (2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长． 【答案】(1)y=-x (2)①，理由见解析；②，当面积取到最大值时，的长为 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明（），可得，，设，即则，利用待定系数法即可求解． （2）①过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论． ②过点作于点，过点作于点，证明（），，利用三角形的面积公式可得，由可得当为的边上的高（）时，最大，即可得的长 【详解】（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据    轴，轴， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，直线解析式为， 设，即，， ，， 点在第四象限，，， 设直线解析式为， 将代入得，解得， 故直线解析式为； （2）①，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，    点、的纵坐标相等， 轴，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当为的边上的高时，最大， 当面积取到最大值时，的长为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．    (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值 【分析】 （1）首先把点代入直线得出的值， 再进一步代入直线求得的值即可； （2）当直线时, 线段最短，进而得出的坐标即可； （3）由三角形的三边关系得，,当三点共线时, ，, 即最大, 即为,进而解答即可. 【详解】（1）把点代入直线， 解得：， 把代入， 解得：， ∴，； （2）当垂直于直线时，线段最短，把直线与y轴的交点标记为E，    当时，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点B作于点M， ∴， ∴， ∴B； （3） 在轴上取点，由三角形的三边关系得，, 当三点共线时, ，, 即最大, 即为, 所以点在上, 把代入中, 得, 得, ∴, ∵, 过点作于点， ， 【点睛】 本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题. 26．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 【详解】（1）解：直线过点， ， ； （2）解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； （3）解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． 27．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．    (1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______． ②若，求的值； (2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值． 【答案】(1)①、、；②或3； (2)当时，最大，最大值． 【分析】（1）①令函数值等于0，可求与x轴交点坐标，联立函数解析式解方程组可得函数图像交点坐标； ②设点，则点，则，即可求解； （2）设点，则点，求出点．进而用t表示出、长，根据t的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出的最大值． 【详解】（1）解：①对于直线①， 令，解得，故点， 对于，同理可得：点， 则，解得， 故点的坐标为， 故答案为：、、； ②点在直线上，则设点，同理点， 则，即： 解得或3； （2）点在直线上，则设点，同理点， ∵， ∴， ∴点F的纵坐标为，解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长． 28．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点E为线段的中点，直线经过点E，且与x轴交于点，与y轴交于点D． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上一点且在E点的右侧，线段在x轴上移动且，点G在点F的左侧，当四边形的面积为时，求的最大值； (3)如图3，将沿着射线方向平移个单位长度，点A的对应点是M，点B的对应点是N，点K为直线上一点．在平面直角坐标系中是否存在点H，使以M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）先求出，，由点E为的中点，得到，设的解析式为，代入，即可求解； （2）过P点作轴交于Q点，根据题意得到，设，则，进而得，求出，得到，将P点水平向左平移2个单位长度，得到点，连接并延长交轴于点G，将G点水平向右平移2个单位长度得到点F，连接，此时取到最大值，最大值为的长度．利用勾股定理即可求解； （3）根据点E为线段的中点，由，，得到，点A的对应点是M，点B的对应点是N，设点E的对应点是，设，根据沿着射线方向平移个单位长度，得到，利用勾股定理求得，由点E平移到点，得到平移方式，即可得到，，由点K为直线上，设，根据M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形，利用勾股定理求得，根据菱形的性质，分类讨论，即可得到点H的横坐标． 【详解】（1）解：中，当时，；当时，． ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴设的解析式为， ∴， 解得：， ∴的解析式为：； （2）解：过P点作轴交于Q点，    ∵，， ∴ 设， ， ∴， ∵， ∴，则． 将P点水平向左平移2个单位长度，得到点，连接并延长交轴于点G，将G点水平向右平移2个单位长度得到点F，连接，此时取到最大值，最大值为的长度． ，， ， ∴的最大值为； （3）解：存在，点H的横坐标为：，，，， 理由如下： 点E为线段的中点，，， ，点A的对应点是M，点B的对应点是N， 设点E的对应点是，， 沿着射线方向平移个单位长度， ， ，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 点E向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点， ，， ， 点K为直线上， 设，M、N、K、H四点构成的四边形是以为边的菱形， 根据菱形的性质，分类讨论， 当，即， 整理得：， 解得：或， 当时，点M的横坐标到点K的横坐标变化为：， 点N经过同样的变化得到点H的横坐标为：， 当时，点M的横坐标到点K的横坐标变化为：， 点N经过同样的变化得到点H的横坐标为：， 当，即， 整理得：， 解得：或， 当时，点N的横坐标到点K的横坐标变化为：， 点M经过同样的变化得到点H的横坐标为：， 当时，点N的横坐标到点K的横坐标变化为：， 点M经过同样的变化得到点H的横坐标为：， 综上所述，点H的横坐标为：，，，． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 29．如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)不发生变化，总是等于8，理由见详解 (2)即当点位于时，四边形的面积取得最大值，最大值为4 【分析】（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，从而可得出矩形的周长，继而可作出判断； （2）求出关于的表达式，利用配方法确定最值即可． 【详解】（1）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 则，， ， 当点在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）解：根据直线的解析式可得，点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，取得最大值，最大值为4． 即当点位于时，取得最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，解答本题的关键是熟练点的坐标与线段长度之间的转化，掌握三角形及矩形的面积计算公式，总体来说本题难度不大． 30．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点． (1)请直接写出直线的关系式：_________ (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由； (3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________． 【答案】(1) (2)当或时， (3) 【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解； （3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴交于两点，令，则， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 故答案为：． （2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为， ∴， ∴， 如图所示，点在直线上，过点作轴于， ∴设，， ∴，，， ①当，即时，， 若，则，解得， 则； ②当，即时， ， 若，则，解得，（舍去）； ③当，即时， ， 若，则，解得， 则； 综上所述，当或时，； （3）解：已知，设， ∴在中，， ∵是等腰直角三角形，， ∴； 如图所示，过点作轴于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，且轴， ∴是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上， 如图所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，， ∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ∴， ∴轴，且， ∴，则， 如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； ∴由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$