精品解析：暑假作业07 函数的基础（4个知识点+8个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 函数的基础 【知识点1 常量和变量】 1．变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量． 2．常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 【知识点2 函数的概念和函数值】 1．函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2．函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值． 【知识点3 函数自变量的取值范围】 1．自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义． 2．常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 ． ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 ． ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 ． ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 ． 3．在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义． 【知识点4 函数的表示方法】 1．解析式法： 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法． 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系． 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达． 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值． 2．列表法： 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法． 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值． 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系． 3．图像法： 定义：用图像来表示函数关系的方法． 优点：能直观形象的表达函数关系． 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系． 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值．即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 常量和变量的判断】 1. 对于圆的面积公式，下列说法中正确的是（ ） A. 是变量 B. 是常量 C. S，，r都变量 D. S，r是变量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量．根据常量与变量的定义解答即可． 【详解】解：对于圆的面积公式，是常量，S，r是变量． 故选D． 2. 某水库蓄满水时的水位高度为，现以每秒立方米的速度开闸放水．放水过程中，水库的水位高度为，放水时间为，则和t分别是（ ） A. 常量，常量 B. 变量，变量 C. 变量，常量 D. 常量，变量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查变量与常量判断，根据恒定不变的量叫常量，变化的量叫变量直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 不变，是常量；是变化的，是变量． 故选：D． 3. 在球的表面积公式中，下列说法正确的是（ ） A. V，，R是变量，4为常量 B. V，是变量，R为常量 C. V，R是变量，4，为常量 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 根据常量与变量的定义解答即可． 【详解】解：在球的表面积公式中，V、R是变量，4、为常量． 故选C． 【题型2 函数的判断】 4. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、的值与的值一一对应，是函数，符合题意； B、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； C、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； D、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意． 故选A． 5. 下列式子：①②③④⑤其中y是x的函数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数的概念，根据函数的定义进行判断即可，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①，是的函数； ②，不是的函数； ③，是的函数； ④，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数； ⑤．是的函数； 所以其中是的函数的个数是3， 故选：． 6. 下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 8 3 2 ④图中，曲线表示y是x的函数． A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念需要理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．根据函数的定义分别判断即可． 【详解】解：①∵，∴圆的周长是半径的函数，正确； ②表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，正确； ③是的函数，正确； ④如图中，对于的每一个取值，有不唯一确定的值与之对应，不是的函数． 故选：C． 【题型3 函数自变量的取值范围】 7. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且x≠1 D. 且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0且分母不能为0，列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，2x﹣1≥0， 解得x≥． x﹣1≠0， 解得x≠1， ∴x≥且x≠1， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 8. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 9. 函数的自变量x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，求函数的自变量取值范围，根据零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得且， 故答案为：且． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意，得，根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件解答即可． 本题考查了负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故自变量x的取值范围是且． 故答案为：且． 【题型4 求函数的解析式】 11. 某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列函数解析式，理解题意，根据题中等量关系列函数解析式即可． 【详解】解：由题意，乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为， 故答案为：． 12. 等腰三角形的周长是，底边长是，一腰长为，则与之间的函数解析式为________，自变量的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查函数关系式、函数的自变量的取值范围、三角形三边的关系，等腰三角形的性质，根据题意可以列出相应的函数解析式，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质可以确定的取值范围，从而本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， ， 即关于的函数解析式是，自变量的取值范围是， 故答案为，． 13. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 … 则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克，据此求解即可． 【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克， ∴， 故选：D． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，点D是AC边上的动点，且点D从点C向点A运动．若设CD=x，△ABD的面积为y，则y与x之间的关系式为______．(不必写x的取值范围)  【答案】y=9-x 【解析】 【分析】根据S△ABD=S△ABC-S△BCD，列式进行计算即可． 【详解】解∵∠C=90°，BC=3，AC=6， ∴S△ABC==9， 又∵CD=x， ∴S△BCD=， ∴S△ABD=S△ABC-S△BCD=9-， 即：y=9-， 故答案为y=9-． 【点睛】本题考查了三角形的面积，列函数解析式，结合图形得出S△ABD=S△ABC-S△BCD是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，点，第一象限内一点满足，设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式并直接写出自变量的x取值范围； （2）若，直接写出整数x的值为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，不等式组的应用； （1）由在第一象限，且，可得，再利用面积公式列函数关系式即可； （2）由可得，再解不等式组即可得到答案； 【小问1详解】 解：在第一象限，且， ， 且， ， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：； ∵为整数， ∴； 【题型5 根据情景确定函数的图象】 16. 同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为，则h与t关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象，根据液面面积的变化得到水上升高度的变化解答即可． 【详解】解：开始水面面积变大，上升速度逐渐变慢；后来水面面积变小，上升速度逐渐变快；然后到达瓶颈位置面积不变，直线上升， 故符合B图象， 故选：B． 17. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 18. 甲、乙两个杯子的容量都是，甲杯盛满水，乙杯是空杯．现用的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯．两个杯子的水量之差为V（单位：），倒水的时间记为t（单位：），则下列表示V与t之间函数关系的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， 当时，两个杯子的水量相差， 当时，两个杯子的水量相差， 当时，两个杯子的水量相差， 故选：A． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 20. 甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际情况分析结合图象即可得到答案，此题考查了函数图象，读懂题意，找出图象是解题关键． 【详解】根据题意可得：甲先步行到中点改骑自行车，即先慢后快； 乙先骑自行车到达中点后改为步行，即先快后慢．最后同时到达终点， 故选C． 21. 晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可． 【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加， 当时间为分钟时，路程保持不变， 当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合， 故选：D． 【题型6 根据函数图象获取信息】 22. 已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点B；④图中点Q的坐标为．则下列结论正确的有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象所给信息，结合一次函数的性质，逐一分析即可解答，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：乙用（分钟）追上了甲，则乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点表示乙到达中点，则点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的纵坐标为， ④不正确，不符合题意． 综上，①③正确． 故选：A． 23. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①普通列车的速度是（千米小时）， 设动车的速度为千米小时， 根据题意，得：， 解得：， 动车的速度为250千米小时， 故①错误； ②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点的实际意义是两车出发后3小时相遇， 故②正确； ③由时，知，甲地和乙地相距1000千米， 故③正确； ④由图象知时，动车到达乙地， 时，普通列车到达甲地， 即普通列车到达终点共需12小时， 故④错误； 故选：B． 24. 一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距,其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由图象可知两地相距300千米，且当时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程即可判断③． 【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当时，快车到达实验中学， ∴，故①正确； 快车的速度为，慢车的速度为， 相遇时，即， 解得：，故②正确； 当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为， ∴两车相距，故③正确； 综上可知①②③正确． 故选：D． 25. 小华和小明是同班同学，也是邻居．某天早晨，小明先出发去学校，走了一段时间后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校．小华离家后直接乘公共汽车到学校，如图反映了他们从家到学校已走的路程和所用时间之间的关系，则下列说法错误的是（ ） A. 小明家距离学校 B. 小华乘坐的公共汽车的平均速度是 C. 小华乘坐公共汽车后，在与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的从函数图像上获取信息的能力，根据已知信息和函数图象的数据，依次解答每个选项． 【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校，故A正确； 根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了，所以公共汽车的速度为，故B正确； 小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是，即相遇，即在与小明离学校的距离一致，故C正确． 小明从家到学校的平均速度为，故D错误， 故选：D 26. 小明坐车到甲地游玩，他从家出发0.8小时后先到达乙地，在乙地逗留一段时间后继续坐车到甲地，小明离家一段时间后，爸爸开始驾车沿相同的路线直接前往甲地．如图所示的是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）小明家到甲地的路程为______，小明在乙地逗留的时间为______h； （2）小明出发______h后爸爸驾车出发； （3）分别求出小明爸爸驾车前往甲地这一时间段内，小明和他爸爸的平均速度． 【答案】（1）， （2） （3）故小明的平均速度／，小明爸爸的平均速度／ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键．； （1）由图象即可求解； （2）由图象即可求解； （3）结合图象得小明的平均速度：小明爸爸的平均速度：，即可求解； 【小问1详解】 解：由图象得 小明家到甲地的路程为：， 小明在乙地逗留的时间为： （）， 故答案：，； 【小问2详解】 解：由图象得 小明出发h后爸爸驾车出发， 故答案：； 【小问3详解】 解：有图象得 小明的平均速度： （／）， 小明爸爸的平均速度： （／）， 故小明的平均速度／，小明爸爸的平均速度／． 【题型7 画函数图象】 27. 小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值．请直接写出：___________；___________； … -1 0 0.5 1 1.5 2 3 4 … … -6 -2.25 -2 -2.25 -3 5 … （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象： （3）由图象可知，当时，对应的自变量有___________个值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，，即， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：描点，连线，函数的图象如图所示： 【小问3详解】 解：如图，作一条直线，交函数的图象于点， 当时，对应的自变量有个． 28. 小贤同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小贤的探究过程，请完成相应的任务． （1）自变量的取值范围是______． （2）表格是与的几组对应值．表格中______． （3）如图，请描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． （4）结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是______． ②当时，的取值范围是______． ③写出这个函数的一条性质：______． 【答案】（1）任意实数 （2） （3）见解析 （4）①；②；③图象关于轴对称，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，画函数的图象； （1）根据函数解析式即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）根据描点法画出函数图象，即可求解； （4）①根据函数图象，即可求解； ②观察函数图象，即可求解； ③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解． 【小问1详解】 解：在函数中，自变量可以是任意实数； 【小问2详解】 当时， 【小问3详解】 如图所示， 【小问4详解】 ①根据函数图象可得，函数的最大值为； ②根据函数，可得时，或， 根据函数图象，当时，的取值范围是； ③函数的图象关于轴对称，当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小 29. 如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数是． 点是数轴上一动点，表示的数是，它与点之间的距离用表示． （1）填写下表，在平面直角坐标系内画出关于的图像； … 0 … … 2 1 ______ 1 2 ______ … （2）若，则的值是______； （3）下列说法正确的序号是______； ①变量是变量的函数； ②随的增大而减小； ③图像经过第一、二、三象限； ④当时，有最小值． （4）若，则的取值范围是______． 【答案】（1）0，3，画图见解析 （2）2或 （3）④ （4）或 【解析】 【分析】本题考查数轴动点问题，两点之间距离，图象及性质，一元一次不等式． （1）利用题意列出算式即可，描点画图； （2）当时，列式计算即可； （3）观察图象即可； （4）将距离代数式列出，计算一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：∵点是数轴上一动点，表示的数是，点表示的数是， ∴当时，，即：， ∴当时，，即：， 将表格中得坐标标出，画图如下： ； 【小问2详解】 解：∵，点表示的数是， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：∵变量取一个数值，变量有两个数值与之对应，不符合函数定义，故①不正确； ∵在所画图象中，随的增大而减小和增大而增大均有，故②不正确； ∵距离不为负数，即不经过第三象限，故③不正确； ∵通过观察图象可知，当时，有最小值，故④正确， ∴故答案为：④； 【小问4详解】 解：∵， ∴ 根据题意知：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【题型8 动点问题的函数图象】 30. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC， 由三角形面积公式得：y＝， 解得EH＝AB＝6， ∴BH=AE=8, 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合， ∴ED=4, ∴BC=AD＝12， ∴矩形的面积为12×6＝72． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 31. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动；第二P在AD，Q在CB；第三两者在DB运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可． 【详解】解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动 由图像可知，此过程运动时间为2s，运动完成P、Q两点相距cm ∴cm 由菱形性质得：c m，⊥ 同理第三个过程运动完成时P、Q两点相距2cm ∴cm ∴cm 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质． 32. 如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图1所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合， 则，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 故选：A． 33. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 34. 十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，理解新运算的形式，并正确的进行计算是解题的关键．根据题意把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意，， ， 故答案为：16． 35. 定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 36. 关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足的自变量的取值共有5个． 正确的个数有（ ） A. ①③④ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，弄清所给的函数的概念，结合不等式的知识进行推断是解题的关键． ①根据函数的定义求值即可； ②举一个反例说明即可； ③根据定义，由的值求出相应的值即可； ④根据范围，设，求出，再由的可能取值，确定的所有可能取值即可． 【详解】解：①是无理数， 当时，； 故①符合题意； ②、是互不相等且不为0的有理数， 设，则， 设，则， ，则， 故②不符合题意； ③时，或或， 故③不符合题意； ④， 一定是有理数，且， 设，则， ， ， 的可能取值为1，2，3， 当时，可以取2023，2024，共2个， 当时，可以取4047，共1个， 当时，可以取6070，6071，共2个， 的自变量的取值共有5个， 故④符合题意； 故选：C 37. 对于有理数、，定义了一种新运算“※”为：※，如：，． （1）计算：①________；②_________； （2）若，且，求的表达式． （3）若，，且，求的值． 【答案】（1）8， （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）由，判断出，根据新定义的运算得出※2的值，进而得出函数关系； （3）确定，的大小关系，再根据新定义的运算求出的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：①2※； ②※； 故答案为：8，； 【小问2详解】 ， ， ※， ※，且，的表达式为； 【小问3详解】 ， 则无论取何值，恒有，即， ※， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了新定义运算，函数表达式，理解新定义运算是正确解答的前提． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 函数的基础 【知识点1 常量和变量】 1．变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量． 2．常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 【知识点2 函数的概念和函数值】 1．函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2．函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值． 【知识点3 函数自变量的取值范围】 1．自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义． 2．常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 ． ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 ． ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 ． ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 ． 3．在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义． 【知识点4 函数的表示方法】 1．解析式法： 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法． 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系． 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达． 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值． 2．列表法： 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法． 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值． 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系． 3．图像法： 定义：用图像来表示函数关系的方法． 优点：能直观形象的表达函数关系． 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系． 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值．即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 常量和变量的判断】 1. 对于圆的面积公式，下列说法中正确的是（ ） A. 是变量 B. 是常量 C. S，，r都是变量 D. S，r是变量 2. 某水库蓄满水时的水位高度为，现以每秒立方米的速度开闸放水．放水过程中，水库的水位高度为，放水时间为，则和t分别是（ ） A. 常量，常量 B. 变量，变量 C. 变量，常量 D. 常量，变量 3. 在球的表面积公式中，下列说法正确的是（ ） A. V，，R变量，4为常量 B. V，是变量，R为常量 C. V，R是变量，4，为常量 D. 以上都不对 【题型2 函数的判断】 4. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子：①②③④⑤其中y是x的函数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 下列关于两个变量关系四种表达式中，正确的是（ ） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 8 3 2 ④图中，曲线表示y是x的函数． A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【题型3 函数自变量的取值范围】 7. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且x≠1 D. 且x≠1 8. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 9. 函数的自变量x的取值范围是__________． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【题型4 求函数的解析式】 11. 某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为________． 12. 等腰三角形的周长是，底边长是，一腰长为，则与之间的函数解析式为________，自变量的取值范围是________． 13. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 … 则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，点D是AC边上的动点，且点D从点C向点A运动．若设CD=x，△ABD的面积为y，则y与x之间的关系式为______．(不必写x的取值范围)  15. 在平面直角坐标系中，点，第一象限内一点满足，设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式并直接写出自变量的x取值范围； （2）若，直接写出整数x的值为______． 【题型5 根据情景确定函数的图象】 16. 同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为，则h与t关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 17. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A. B. C. D. 18. 甲、乙两个杯子的容量都是，甲杯盛满水，乙杯是空杯．现用的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯．两个杯子的水量之差为V（单位：），倒水的时间记为t（单位：），则下列表示V与t之间函数关系的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 19. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 20. 甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A. B. C. D. 21. 晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（ ）． A. B. C. D. 【题型6 根据函数图象获取信息】 22. 已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点B；④图中点Q的坐标为．则下列结论正确的有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 23. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 24. 一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距,其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 25. 小华和小明是同班同学，也是邻居．某天早晨，小明先出发去学校，走了一段时间后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校．小华离家后直接乘公共汽车到学校，如图反映了他们从家到学校已走的路程和所用时间之间的关系，则下列说法错误的是（ ） A. 小明家距离学校 B. 小华乘坐的公共汽车的平均速度是 C. 小华乘坐公共汽车后，在与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为 26. 小明坐车到甲地游玩，他从家出发0.8小时后先到达乙地，在乙地逗留一段时间后继续坐车到甲地，小明离家一段时间后，爸爸开始驾车沿相同的路线直接前往甲地．如图所示的是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）小明家到甲地的路程为______，小明在乙地逗留的时间为______h； （2）小明出发______h后爸爸驾车出发； （3）分别求出小明爸爸驾车前往甲地这一时间段内，小明和他爸爸的平均速度． 【题型7 画函数图象】 27. 小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值．请直接写出：___________；___________； … -1 0 0.5 1 1.5 2 3 4 … … -6 -2.25 -2 -2.25 -3 5 … （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象： （3）由图象可知，当时，对应的自变量有___________个值． 28. 小贤同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小贤的探究过程，请完成相应的任务． （1）自变量的取值范围是______． （2）表格是与的几组对应值．表格中______． （3）如图，请描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． （4）结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是______． ②当时，的取值范围是______． ③写出这个函数的一条性质：______． 29. 如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数是． 点是数轴上一动点，表示的数是，它与点之间的距离用表示． （1）填写下表，在平面直角坐标系内画出关于的图像； … 0 … … 2 1 ______ 1 2 ______ … （2）若，则的值是______； （3）下列说法正确的序号是______； ①变量是变量的函数； ②随的增大而减小； ③图像经过第一、二、三象限； ④当时，有最小值． （4）若，则的取值范围是______． 【题型8 动点问题的函数图象】 30. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 31. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 32. 如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图1所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 33. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 34. 十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，则______． 35. 定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（ ） A. B. C. D. 36. 关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足自变量的取值共有5个． 正确的个数有（ ） A. ①③④ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 37. 对于有理数、，定义了一种新运算“※”：※，如：，． （1）计算：①________；②_________； （2）若，且，求的表达式． （3）若，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $