专题05 一次函数综合题存在性问题（精选30道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题05 一次函数综合题存在性问题 1．已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是等腰直角三角形，点C在直线上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且； ①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标； ②是否存在点D，使得点E落在直线上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．    (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．    4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 5．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 6．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 7．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点． (1)求的长和k的值； (2)当的面积是12时， 求出点A的坐标． (3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形?若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别交于点B，D，与直线交于点C．    (1)求k的值； (2)求的面积； (3)已知 是x轴上的一个动点，连接． ①当的周长最短时，求点Q的坐标； ②过点Q作y轴的平行线，分别与直线，交于点E， F，当与的面积之间存在2倍关系时，直接写出a的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点． (1)求点A的坐标； (2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式； (3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C． (1)直线的解析式为 ； (2)求点C的坐标； (3)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式． (2)如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 17．如图直线:经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集； (4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 19．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．    (1)A点坐标为____________ ，B点坐标为 ________________ (2)求直线的函数解析式． (3)在直线上找一点P，使得，请直接写出点P的坐标． (4)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．    (1)求点C的坐标，并求出直线的关系式； (2)如图2，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于点M，是线段上一点，在x轴上是否存在一点N，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E． (1)直接写出直线l对应的函数表达式； (2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，且线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．         (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处． (1)求证：； (2)求直线的函数表达式； (3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标； (2)轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过点的直线交轴正半轴于点，交轴于点，，直线交轴负半轴于点． (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______． (2)横坐标为的点在线段上（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式并直接写出相应的的取值范围． (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积； (3)在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题05 一次函数综合题存在性问题 1．已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是等腰直角三角形，点C在直线上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且； ①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标； ②是否存在点D，使得点E落在直线上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①证明，得到、两点关于轴对称，即可求解； ②当点在点的上方时，证明，即可求解；当点在点的下方时，同理可解． 【详解】（1）解∵，，点A和点B分别在x轴和y轴上 ∴点、的坐标分别为：、， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 则直线的表达式为； （2）解：①点在直线上，且横纵坐标相等，设点， 又点在直线上， ，即， 故点． 当点运动到原点时，由已知可知，， ， ， 轴平分， 又， 、两点关于轴对称． 点； ②存在这样的点，理由如下： 设点，过点作轴，垂足为点， 当点在点的上方时，过点作轴，垂足为点，作轴于点， 如图所示，由（1）可知点，， ，， ， ，， ． ，， ，即点， 点在直线上， ，即． 点； 当点在点的下方时，过点作轴，垂足为， 如图所示， 同理可得：点，． ，， ，即点， 点在直线上， ，即， 点， 综上所述，点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，且 (3)存在，或5 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再由题意求出，可求点坐标； （2）根据点的运动特点先求出点坐标为，再求三角形面积即可； （3）分两种情况讨论：当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，通过证明，可得，再将点代入直线的解析式：，求的值；当时，过点作轴交于点，同理可得，求出，即可求． 【详解】（1）当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ； （2），动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ，且； （3）存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或5． 3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．    (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．    【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）当时，得，进而可得，进而可得，再将代入即可求解； （2）联立方程组，解得，进而可得，过点作轴垂线交于点，设，则，根据得，进而可求解； （3）由（1）得：，令，则，进而可得，可得，进而可得，由，再根据勾股定理得，再利用直角三角形的特征得，再由平移的性质得出直线的解析式为，然后分两种情况分析：当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M；当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，分别利用一次函数的性质及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ， ， ， ， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：． （2）联立方程组：， 解得：， ∴， ， ∴， 过点作轴垂线交于点，如图：    设，则， ， ∴， 或， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（1）得：， 令，则， ， ， ， ， ， ， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ∵将直线平移过点得直线，直线的解析式， ∴设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为：． 当时，， ∴， 当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M，如图所示：    ∴， ∴， ∴，符合题意， 设直线的函数解析式为，将点B、M代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得：， ∴； 当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，如图所示：    ∵， ， ， ∵，直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， 综上可得：或 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，4 (2)，四边形E的面积 (3)点N坐标为或或或 【分析】（1）当，，得：，将代入得，，将代入，得； （2）①由（1）知，，证明出四边形为平行四边形，设，，则，解得①当为菱形的边时，设，由，得，解得，，从而求解；②当，为菱形的边时，③当为菱形的对角线时，利用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：当，， 解得：， 将代入得， ， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 故答案为：，，4； （2）解：由（1）知， ， ∵与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，， 则， 解得，， ∴； ∴点P是的中点 ∴四边形的面积=， （3）解：分为菱形的边与为菱形的对角线两种情况： ①当为菱形的边时， 设， 由，得， 解得，， 当时，， ∵且， ∴； ⅱ）当时，， 此时； ②当，为菱形的边时， 由，得， 解得，，（舍去）， ∴， 此时； ③当为菱形的对角线时， 由菱形的性质可知垂直平分， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 综上，符合条件的点N有四个，分别是或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，平行四边形的判定及性质等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 5．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 【答案】(1)6 (2)存在，点E的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等，分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解． 【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A，且经过定点， ∴， 解得：， ∴直线． ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴， 对于直线，令，得到， ∴， ∴． 对于直线，令，得到， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知的坐标为． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． （3）解：，，， ， 当为平行四边形的边时，， ∴ ∴点的横坐标为：或， 点Q的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， 点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A， 则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q， ∴点Q的坐标为，即； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的平移是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 7．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点． (1)求的长和k的值； (2)当的面积是12时， 求出点A的坐标． (3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形?若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点 P的坐标或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式中参数，一次函数点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想和分类思想解决问题是解本题的关键．解题的关键在于（3）根据等腰三角形的不同分情况讨论． （1）由得到，进而得到，以及点，将其代入解析式求解，即可解题； （2）利用的面积是12，得到，解出，将其代入一次函数求解，即可得到点A的坐标； （3）利用勾股定理得到，根据x轴上存在点P，使是等腰三角形分以下三种情况讨论①当时，点 P在、处，②当时，点 P在处，③当时，点 P在处，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴、y轴分别交于B、C两点， ，即， ， ，即， 有，解得， ，； （2）解： 的面积是12， ， 即，解得， 或， 由（1）知， 当时，，解得，有； 当时，，解得，有； 点A的坐标是或； （3）解：存在， 点A的横坐标为6， 点A的坐标是， x轴上是存在点P，使是等腰三角形，且， ①当时，点 P在、处， 点 P的坐标为或； ②当时，点 P在处， 点 P的坐标为； ③当时，点 P在处， 设点 P的坐标为，， 则，解得； 综上，点 P的坐标或或或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别交于点B，D，与直线交于点C．    (1)求k的值； (2)求的面积； (3)已知 是x轴上的一个动点，连接． ①当的周长最短时，求点Q的坐标； ②过点Q作y轴的平行线，分别与直线，交于点E， F，当与的面积之间存在2倍关系时，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)6 (3)①点Q的坐标为；②a的值为或 【分析】（1）将代入，可求； （2）由（1）可知，当时，可求，则，联立，可求，则，然后计算面积即可； （3）①如图，作点A于x的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，可知当三点共线时，最小，的周长最短，当时，，可得，待定系数法求直线的解析式为，令，计算求解，进而可得点Q的坐标；②令，则，，，， 由与的面积之间存在2倍关系，可知分和两种情况求解；当时，，则，计算求解即可；当时，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知， 当时， 解得， ∴， 联立， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为6； （3）①解：如图，作点A于x的对称点，连接交轴于点，连接，      ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，的周长最短， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点，D的坐标代入得，解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点Q的坐标为； ②解：令，则，，，， ∵与的面积之间存在2倍关系， ∴分和两种情况求解； 当时，， ∴， 当时，解得，； 当，解得； 当时，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得； 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程组，得， 故点； （2）∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得；    当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 10．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在t的值，使为等腰三角形，t的值为4或或或8 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当时；当时；当时；分别求出t的值即可． 【详解】（1）在中，当时，； 当时，； ∴； ∵点C在直线上， ∴， 又∵点也在直线上， ∴， 解得：； （2）①在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则，过C作于E，如图1所示： 则， ∵的面积为10， ∴， 解得：； ②存在，理由如下： 过C作于E，如图1所示： 则， ∴， ∴； a、当时，， ∴， ∴； b、当时，如图2所示： 则， ∴，， ∴，或； c、当时，如图3所示： 设，则，， ∴， 解得：， ∴P与E重合，， ∴， ∴； t的值为4或或或8． 12．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点． (1)求点A的坐标； (2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式； (3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标为或或或 【分析】（1）通过解方程确定点，再用待定系数法求直线表达式为，最后联立，解二元一次方程组即可； （2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解； （3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或， ∴， 将代入 得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴联立得：， 解得， ∴点； （2）解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F， 将代入得，∴， ①当点P在点E下方时，即，如图： ； 当点P在点E上方时，即，如图： ， 综上所述：的面积S与m的函数关系式为：； （3）解：令直线为，直线为， ，则， ， ①如图1，若，， 过点Q作， ∴点G为中点， ∴， 则有， ， 或， ，或， ②如图2，图3，若或， 则， ， 或， ，或． 综上所述，M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的存在性问题，考查了分类讨论思想． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C． (1)直线的解析式为 ； (2)求点C的坐标； (3)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数图像的平移，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”即可求解； （2）将直线与解析式联立，解二元一次方程组，即可得到点C的坐标； （3）设点N的坐标为，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：直线：向下平移4个单位长度得到直线：， 故答案为：； （2）解：将直线与解析式联立， 得：， 解得， 点C的坐标为； （3）解：存在，点N的坐标为或或． 理由如下： 直线：中，令，得， 解得， 点A的坐标为， 直线：中，令，得， 解得， 点B的坐标为． 设点N的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为； 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为； 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为． 综上可知，点N的坐标为或或． 14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②或 (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）联立，即可得到点的坐标； （2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度； ②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值； （3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点， 联立， 解得， 点的坐标为； （2）①轴， 点、、的横坐标相等， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ； ②若点是线段的中点， ，，， ，， 点是的中点， ， 即， 解得，； 若点时线段的中点， ，，， ，， 点时线段的中点， ， 即， 解得； 综上所述，或； （3）存在最小值， 在上取点，使得，连接， 由直线与直线， 得，，， ，， ， ， ， 点的坐标为， ， 轴， 是线段的垂直平分线， ，轴， ，轴， ， 轴， ， ， ，， ， ， ， 得当最小，即点、、三点共线时，取最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可； 其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【详解】（1）解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设,则, 在中，由勾股定理得：, 即, 解得, ． （2）过点作于点， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点的横坐标为， 即：， 正比例函数经过， ， ， ， ， ①当点在段时，即：， 如图：过点作于点， ， ， ， ②当点在段时，如下图，过点作于点， ， ，， ， 综上所述：． （3）由（2）知，点， 当时，则点， 而点,设点， ①当为边时， 点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点， 即且， 解得或， 故点的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点公式得且， 解得， 综上点的坐标为或或． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式． (2)如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，，，或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、以及平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，采用分类讨论的方法解决问题． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设点P的坐标为，求出，根据，得到，求出，由此得到点P的坐标； （3）设点N的坐标为，分别以的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式即可得到关于m，n的方程，解之即可求解. 【详解】（1）解：当，， ， 当，即，解得， 点M为线段的中点， ． 设直线的函数解析式为，将，代入得， ， 解得 直线的函数解析式为． （2）解：设点P的坐标为， ， ， ， 点P的坐标为或． （3）解：如图所示，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形存在以下三种情况，设N的坐标为 ① 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ② 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ③ 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， 综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为，，或． 17．如图直线:经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集； (4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点的坐标为 (3) (4)的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）与底边都是，根据的面积是面积的2倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，得， 点的坐标为； （3）把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为； （4）与底边都是，的面积是面积的2倍， 高就是点到直线的距离的2倍，即纵坐标的绝对值， 点纵坐标是， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)M的坐标为或 (3)的坐标为或或， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，； （3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，． 【详解】（1）在中，令得， ； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图： 设，则，， ， ， 或， 解得或， 的坐标为，或，； （3）在中，令得， ， ①当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 的坐标为； ②当为直角顶点时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 的坐标为； ③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， 设， ， 解得， 的坐标为，； 综上所述，的坐标为或或 19．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．    (1)A点坐标为____________ ，B点坐标为 ________________ (2)求直线的函数解析式． (3)在直线上找一点P，使得，请直接写出点P的坐标． (4)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)和 (4)或或 【分析】本题考查函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式，一次函数几何结合问题，平行四边形性质等． （1）根据题意令求出函数值即为点坐标，令求出自变量值即为点坐标； （2）由（1）中点坐标即可求出点M的坐标，设直线的函数解析式，代入点坐标和点M的坐标继而求出； （3）先求出，再设点，用含的代数式表示，再列等式即可得出点P的坐标，再根据对称性求出另一个； （4）利用对角线分情况讨论即可求出． 【详解】（1）解：∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴令，得，即：， 令，得，即：， 故答案为：，； （2）解：∵点M为线段的中点，， ∴， 设直线的函数解析式， 将和代入得：，解得：， ∴直线的函数解析式：； （3）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴满足条件的点坐标为：和； （4）解：存在点，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形， ∵，，， ①以为对角线， 根据平移的性质，点， ②以为对角线， 根据平移的性质，点， ③以为对角线， 根据平移的性质，点， 综上所述：点的坐标为或或． 20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，勾股定理等， （1）先求出点的坐标，再依据点是的中点，可求出点的坐标； （2）根据（1）中的结论得出，的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案； （3）存在，点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②；点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由勾股定理可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）∵，，， ∵，，， ∴， ∴， 即的面积为； （3）存在， 点在轴上时，设点的坐标为， ①时，点与原点重合，此时点坐标为； ②时，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 点在轴上时，设点的坐标为，， ①时，点与原点重合，此时点坐标为； ②时，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当点的坐标为或或时，是直角三角形． 22．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．    (1)求点C的坐标，并求出直线的关系式； (2)如图2，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于点M，是线段上一点，在x轴上是否存在一点N，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)存在，或． 【分析】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． （1）如图1，作轴，垂足为，利用等腰直角三角形的性质证明， 根据全等三角形的性质求，的长，确定点坐标，利用待定系数法求出直线的关系式即可； （2）同（1）的方法证明，再根据线段的相等关系证明，得出结论； （3）依题意确定点坐标，可知中边上的高，再由，求，进而得出． 【详解】（1）解：如图1，作轴，垂足为，    当，， 当，，解得 ∴点B的坐标是,点A的坐标是, ∴， ，， ， 又，， ， ，，， ， 设直线解析式为，由，可得， 解得 ∴直线解析式为； （2）证明：如图2，作轴于，轴于，轴于，    ，， ， ∵， ， ，    ， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∵，， ， ； （3）解：如图3，    设直线解析式为，由，可得， 解得 ∴直线的解析式是， ∵是线段上一点， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴， ，则． 设点，则， 假设存在点使面积等于面积的一半， 则， 或， 故点的坐标为：或． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E． (1)直接写出直线l对应的函数表达式； (2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式； （2）再联立两个直线解析式求出交点坐标，作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代入解析式求出F点纵坐标即可； （3）在y轴正半轴上取一点Q，使，利用等腰三角形的性质得，即可求出，再由勾股定理求出的长，得到点P坐标． 【详解】（1）正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度， 得； （2）联立两个直线解析式，得，解得， ∴， 如图，作轴于M，轴于N， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴； （3）由（2）知， ∵在中，当时，， ∴， ∴，， 如图，在y轴正半轴上取一点Q，使， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题． 24．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)存在一点，使的周长最短，； (3)存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴，， 故答案为：，4； （2）解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．    ∵， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴存在一点E，使的周长最短，； （3）解：∵点P在射线上从点D开始以每秒2个单位的速度运动，直线， ∴， ∵， ∴， ∵点P的运动时间为t秒， ∴， 分两种情况：①点P在线段上，    ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴   ∴； ②点P在线段的延长线上，      ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 25．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，且线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．         (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】此题考查了算术平方根及绝对值的非负性，求一次函数的解析式，平行线的性质， （1）根据算术平方根及绝对值的非负性得到，解方程组即可得到点A，B的坐标； （2）由得，根据角平分线得到，，过点M作，推出，，由此得到； （3）存在点P，分两种情况求出点P的坐标即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， 过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）存在点P， 当点P在x轴上时，设， ∵的面积和的面积相等， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在x轴上时，设， 设的解析式为， 则，解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 综上，点P的坐标为或或． 26．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标； ，， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 27．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处． (1)求证：； (2)求直线的函数表达式； (3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，，，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、一次函数与平行四边形的综合等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键． （1）先说明，由折叠可得，进而得出，最后根据等角对等边即可解答； （2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出，即，进而得到点E的坐标，最后用待定系数法求解即可； （3）①当为对角线时，于互相平分，即的中点也是的中点，再求出的中点坐标，设出点M，N的坐标，建立方程求解即可；②当EF为边时，a.为对角线时，先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立两直线的解析式即可解答；b.为对角线时，的中点，也是的中点，得出的中点在直线上，先求出的中点坐标，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴解得：， ∴， ∵点E在上， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为对角线时，于互相平分， ∴的中点也是的中点， 由（2）知，， ∵， ∴的中点坐标为， 设，， ∴，， ∴，， ∴，； ②当为边时， a.为对角线时，， 由（2）知，直线的解析式为， ∵点 ∴直线的解析式为， ∴， ∵，， 根据待定系数法可得：直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； ②为对角线时，的中点，也是的中点， ∴的中点在直线上， 设， ∵， ∴的中点坐标为， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， 设， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴满足条件的点，，． 28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标； (2)轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，由翻折可知，，得出，设，则．再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标； （2）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标． 【详解】（1）∵， 令得：， ∴． ∴ 令得：，解得：， ∴ ∴． 在中，， 由翻折可知，， ∴， ∴ 设，则． 在中，，即， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴． ∵点P在y轴上，， ∴，即， 解得：， ∴P点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过点的直线交轴正半轴于点，交轴于点，，直线交轴负半轴于点． (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______． (2)横坐标为的点在线段上（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式并直接写出相应的的取值范围． (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）先设出函数解析式，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设．可得点的纵坐标为．求解．可得．从而可得函数解析式； （3）分三种情况讨论：①如图1，当时，有，，，②如图2，当时，有，的长等于点的纵坐标，③如图3，当时，有，再利用等腰直角三角形的性质与方程思想解题即可． 【详解】（1）解：， ∴设直线的解析式为， ∵直线经过， ， ， ∴直线的解析式为， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：； （2）点在上，且横坐标为， ． ∵轴， 点的纵坐标为． 代入直线，得，解得． ． ． 即与之间的函数关系式为． （3）①如图1，当时，有，，，    ，解得． ． ②如图2，当时，有，的长等于点的纵坐标，    ． ， 解得． 点的横坐标为． ． ③如图3，当时，有，    ． ， ． 过点作于点， ． ，即． 同理可得． ． 点与点的纵坐标相同， ． ，解得． ． 点的横坐标为． ． 综上所述，在轴上存在点的坐标为或或，使为等腰直角三角形． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积； (3)在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由点B的坐标可求得m的值，然后根据直线的解析式可以求得A的坐标，再结合得到C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据直线的平移规律得到直线的解析式，从而求得D的坐标，然后根据即可求解； （3）先根据直线的解析式求出点E，根据勾股定理以及平行四边形的性质，分三种情况可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线， 得到， ∴直线， 令，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， （2）解：∵直线向上平移9个单位， ∴直线的解析式为， ∵平移后的直线与直线交于点D， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴ = =； （3）解：∵直线：与x轴交于点E， ∴点， ∴， 当时，过点N作x轴的垂线交x轴于一点F，如图所示： 设， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴或； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴点E为的中点， ∵，， ∴， 综上，存在，此时点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像的平移、平面直角坐标系中求图形的面积、求两直线交点坐标，分类讨论，数形结合是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$