第10讲 正多边形与圆（1大知识点+2大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第10讲 正多边形与圆（1大知识点+2大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 正多边形和圆的综合 知识点一 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【典型例题一 求正多边形的中心角】 1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 6．如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 7．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的中心角是 ． 8．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 9．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 10．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【典型例题二 正多边形和圆的综合】 1．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 3．如图，点是正六边形的中心，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为 ． 6．如图，五边形为的内接正五边形，则 ． 7．如图，正八边形的半径为4，则它的面积是 ． 8．如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为 ． 9．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 10．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【变式训练1 求正多边形的中心角】 1．如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形内接于，点G是弧上的一点，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．如果一个正多边形的内角和是，则它的中心角的度数为 度 4．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ． 5．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 6．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【变式训练2 正多边形和圆的综合】 1．下列四个命题不正确的是（   ） A．各角相等的圆内接五边形是正五边形 B．各边相等的圆内接五边形是正五边形 C．各角相等的圆内接六边形是正六边形 D．各边相等的圆内接六边形是正六边形 2．如图，正方形内接于，若是的周长为，则正方形的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 3．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ． 4．如图，边长为1的正六边形的对角线交于点，则四边形的周长为 ． 5．如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 6．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于正多边形说法正确的数量为（    ） （1）正多边形一定是轴对称图形   （2）正多边形一定是中心对称图形 （3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等 （4）正多边形的外角和与其边数成正比 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 5．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 8．（2024·上海·模拟预测）如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为 ． 10．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示，正六边形边长为，且各有一个顶点在直线上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，正六边形边直线．则 ． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 12．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 13．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）（1）解方程：． （2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长． 14．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 15．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 正多边形与圆（1大知识点+2大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 正多边形和圆的综合 知识点一 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【典型例题一 求正多边形的中心角】 1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 2．如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，，，先根据正五边形的性质，求出，从而求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，，如图，    ∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形是正五边形 ∴． 故答案为：A． 5．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 6．如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 【答案】/720度 【分析】本题考查了正多边形和圆，多边形内角与外角．先利用多边形的中心角为，计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 所以这个正多边形的内角和． 故答案为：． 7．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的中心角是 ． 【答案】30 【分析】 本题考查了多边形的内角与外角的关系．根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，再计算即可求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为：， 则这个正多边形的中心角是， 故答案为：30． 8．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质，先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形即可求解．熟知圆内接正n多边形的中心角公式是解答关键． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是， 故答案为：2． 9．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 10．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 【典型例题二 正多边形和圆的综合】 1．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可． 【详解】解：如图： 将正六边形可分为6个全等的三角形， ∵拼成的四边形的面积为2， ∴每一个三角形的面积为1， ∵剩余部分可分割为4个三角形， ∴原正六边形纸片的面积为6． 故选B． 2．如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 3．如图，点是正六边形的中心，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键．根据正六边形的性质可得，，从而求出． 【详解】解：连接， 点为正六边形的中心， ， 故选：B 4．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：B． 5．如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了六边形的性质，作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点C，结合正六边形可以看作是6个正三角形拼接而成，即可作答． 【详解】作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点C，为左边正六边形的边长， ∵正六边形可以看作是6个正三角形拼接而成， ∴， ∴， ∵正六边形的边长为2，， ∴， 故答案为：． 6．如图，五边形为的内接正五边形，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系是正确计算的前提． 【详解】解：如图，连接、， ∵五边形为的内接正五边形， ∴， 由圆周角定理可得：， 故答案为：． 7．如图，正八边形的半径为4，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，作，求出的面积，乘以8即可得出正八边形的面积． 【详解】解：连接，作， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为：； 故答案为：． 8．如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的内接四边形的性质，先求解正六边形的内角，再利用圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵P为上的一点（点P不与点A，B重合）， ∴， 故答案为： 9．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 10．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：    六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【变式训练1 求正多边形的中心角】 1．如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解， 本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接OB， ∵和是正五边形的中心角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．如图，正六边形内接于，点G是弧上的一点，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可． 本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算． 【详解】如图，连接、，    ∵正六边形是的内接正六边形， ， ， 故选：B． 3．如果一个正多边形的内角和是，则它的中心角的度数为 度 【答案】45 【分析】本题考查正多边形的内角和，以及正多边形的中心角，设此正多边形为边形，根据正多边形内角和公式算出正多边形边数，再利用除以边数，即可得到正多边形的中心角的度数． 【详解】解：设此多边形为边形， 根据题意得：， 解得：， 这个正多边形的中心角的度数为：． 故答案为：． 4．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ． 【答案】/72 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 6．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，） 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论． 【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE， ∵OE=OD，∠EOD=， ∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°， ∵OE＝2cm，∠OGE＝90°， ∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm， 点E的坐标为（1，）， 又由题意知点D的坐标为（2，0）， 由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）． 故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）． 【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 【变式训练2 正多边形和圆的综合】 1．下列四个命题不正确的是（   ） A．各角相等的圆内接五边形是正五边形 B．各边相等的圆内接五边形是正五边形 C．各角相等的圆内接六边形是正六边形 D．各边相等的圆内接六边形是正六边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形与圆的关系，根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：A、如图： ， ，即：， ， ， 同理可得：， 五边形是正五边形，则命题正确，故A不符合题意； B、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，可以证明该五边形的各角相等，因此命题正确，故B不符合题意； C、如图： ， ， ， ， 同理可得：，， 只能证明该六边形的隔边相等，因此命题不正确，故C符合题意； D、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系可以证明该六边形的各角相等，因此命题正确，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图，正方形内接于，若是的周长为，则正方形的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正多边形和圆．连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的周长为， ∴， 则，， 在中，． 正方形的边长是， 故选：B． 3．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ． 【答案】6或30 【分析】本题考查正多边形与圆，该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键． 如图，首先求出、的度数，进而求出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵是内接正十边形的一边， 是的内接正十五边形的一边， ∴，， 当点C在外时，； 当点C在上时，； 即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或． ∴多边形的边数为6或30． 故答案为：6或30． 4．如图，边长为1的正六边形的对角线交于点，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据题意可得是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵边长为1的正六边形的对角线交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴四边形的周长为 故答案为：． 5．如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案； （2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． （2）因为的半径为，四边形是正方形， 所以，， 所以． 故的内接正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键． 6．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于正多边形说法正确的数量为（    ） （1）正多边形一定是轴对称图形   （2）正多边形一定是中心对称图形 （3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等 （4）正多边形的外角和与其边数成正比 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形、中心对称图形、轴对称图形，根据正多边形的定义及性质、中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，即可求得答案． 【详解】（1）说法正确； （2）正多边形不一定是中心对称图形，例如正五边形不是中心对称图形，说法错误； （3）正边形的中心角与其一个外角的度数均为，说法正确； （4）正多边形的外角和为，与其边数不成正比，说法错误； 说法正确的为（1）（3）． 故选：B． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可． 【详解】解：如图： 将正六边形可分为6个全等的三角形， ∵拼成的四边形的面积为2， ∴每一个三角形的面积为1， ∵剩余部分可分割为4个三角形， ∴原正六边形纸片的面积为6． 故选B． 3．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ∴正六边形的边长为2， 故选：B． 4．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 5．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，，，先根据正五边形的性质，求出，从而求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，，如图，    ∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ． 【答案】6或30 【分析】本题考查正多边形与圆，该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键． 如图，首先求出、的度数，进而求出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵是内接正十边形的一边， 是的内接正十五边形的一边， ∴，， 当点C在外时，； 当点C在上时，； 即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或． ∴多边形的边数为6或30． 故答案为：6或30． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 8．（2024·上海·模拟预测）如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 【答案】/720度 【分析】本题考查了正多边形和圆，多边形内角与外角．先利用多边形的中心角为，计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 所以这个正多边形的内角和． 故答案为：． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了六边形的性质，作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点C，结合正六边形可以看作是6个正三角形拼接而成，即可作答． 【详解】作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点C，为左边正六边形的边长， ∵正六边形可以看作是6个正三角形拼接而成， ∴， ∴， ∵正六边形的边长为2，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示，正六边形边长为，且各有一个顶点在直线上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，正六边形边直线．则 ． 【答案】 【分析】本题考查正六边形的知识，解题的感觉是掌握正六边形的每个外角为，延长交直线于点，延长交于点，根据垂线的性质，则，根据平行线的性质，则，再根据正六边形的性质，即可． 【详解】延长交直线于点，延长交于点， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图形为正六边形， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 12．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 13．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）（1）解方程：． （2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长． 【答案】（1），  （2） 【分析】本题考查一元二次方程的解法，圆内接正六边形的边心距问题，掌握公式法解一元二次方程，正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）连接，证出，，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解： ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （2）连接， ∵是正六边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 15．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$