三角形专题复习讲义九-2025届高三数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学-三角函数及解三角形专题九 知识点一 利用三角恒等变换判断三角形的形状,余弦定理解三角形,证明三角形中的恒等式或不等式 典例1、如图，在四边形ABCD中，为钝角，且． （1）求的大小； （2），，BD平分，且的面积为，求边CD的长． 随堂练习：已知的内角所对的对边分别为，周长为，且． （1）求的值； （2）若的面积为，求角的大小． 典例2、在中，. （1）求； （2）求边上的中线. 随堂练习：如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且. （1）求； （2）求的周长. 典例3、如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求. 随堂练习：中，已知． （1）求； （2）记边上的中线为．求和的长度． 知识点二 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,余弦定理边角互化的应用 典例4、在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 随堂练习：在①；②；③这 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，____________． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 典例5、已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分）， 求：（1）求角的大小；（2）求边中线长的最小值. 条件①：; 条件②：. 随堂练习：下面给出有关的四个论断：①；②；③或；④. 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若______，则_______（用序号表示）并给出证明过程： 典例6、在△中，内角对应的边分别为，请在①； ②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题： （1）求角的大小； （2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积. 随堂练习：设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有 （1）求角的大小； （2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积． 条件①：边上的高为； 条件②：，； 条件③：，． 人教A版数学-三角函数及解三角形专题九答案 典例1、答案：（1） （2） 解：（1）由条件可得 ，由正弦定理得 , 由题意， ； （2）在 中，由余弦定理得： ， ，解得BC=4， 由题意， ，， ， 在 中，由余弦定理得： ， ； 综上，， . 随堂练习：答案： （1）1 （2） 解：（1）因为三角形周长为，所以， 因为，所以由正弦定理可得， 所以 解得． （2）由的面积得， 由（1），由余弦定理得： 又 所以 典例2、答案： （1） （2） 解：（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， ，，， 故，解得，即边上的中线为. 随堂练习：答案： （1）； （2）30. 解：（1）在中，，，， 由正弦定理可得，故， 因为是锐角三角形，所以 . （2）由（1）得，所以. 在中，，，， 所以 所以的周长为. 典例3、答案：（1）（2） 解: （1）设，则，，， 由题意， 则，所以. （2）由正弦定理，中，，即① 中，，即② ①÷②得：，化简得：，所以. 随堂练习：答案：（1）1、 （2） 解：（1）依题意， ， , 由于，所以. （2）由三角形的面积公式得， 由余弦定理得. 由两边平方并化简得：， 所以. 典例4、答案： （1）； （2）. 解：（1）选①： ， 因为，所以，因此有， 因为，所以； 选②：由 ， 因为， 所以； （2）因为的面积为， 所以有，而， 解得：， 由余弦定理可知：， 所以的周长为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）若选①， 因为，所以， 所以，即， 所以. 因为，所以. 又因为，所以. 若选②， 因为， 所以，即， 所以. 因为，所以. 若选③， 因为，所以， 所以， 所以. 因为，所以. 又因为，所以. （2）因为，所以. 因为， 所以，即， 所以，即的周长为. 典例5、答案： （1） （2） 解：（1）选条件①：, 因为中，所以， 由正弦定理可得， 即，， 又,所以. 选条件②： 由余弦定理可得即， 由正弦定理可得， 因为，所以，所以，即， 又,所以. （2）由（1）知，的面积为，所以，解得， 由平面向量可知， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故边中线的最小值为. 随堂练习：答案： 见解析 解: 方案一：如果①②③，则④； 证明：由②得，得，即； 由①，得，且，得； 由③或，不仿取，联立，得，； 余弦定理：，得，④成立； 方案二：如果①②④，则③； 证明：由②得，得，即； 由①，得，且，得； 由④，且，得； 从而，； 得或，得或，③成立； 方案三：如果①③④，则②； 证明：由①，得， 由③或，不仿取，得，即； 由④，且，，得，从而； 同时，得，得或， 当时，得，由余弦定理得：，且，得， 即；即，②成立； 当时，得，由余弦定理得：，且，得， 即不成立；即不成立，②不成立； 方案四：如果②③④，则①； 证明：由②得，得，即； 由④，且，得； 由③或，不妨取，代入， 即，得，； 从而得，，①成立； 典例6、答案： （1）； （2）. 解：（1）选①，因为， 所以，得， 即， 由正弦定理得：， 因为，所以()，所以． 选②，因为，所以，() 得， 即， ， 所以()，所以． 选③，因为，所以， ， ， ，， ，即， 因为，所以，所以． （2）在△中，由余弦定理，则，那么； 由角平分线定理,则, 那么. 随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析. 解：（1）由题，因. 则，因A为三角形内角，所以A. （2）若选择①，设边上的高为， 则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定. 若选择②，由正弦定理及（1）， 有.因， 又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定. 若选择③，由正弦定理，及， 则.又由余弦定理及（1）， 有， 得，. 此时唯一确定，. 综上选择③时，唯一确定，此时的面积为 ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$