精品解析：2024年山西省太原市中考三模数学试题

太原市2024年初中学业水平模拟考试（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成。试卷上答题无效． 3．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应的位置里． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中，最小数是（　　） A. π B. 1 C. 0 D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是3D打印机的一个模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 太原市解放路某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 6. “哈尔滨冰雪旅游”无疑是年舆论场上热度最高的话题之一，不仅带动当地旅游业持续火热，还掀起多次网络狂欢，哈尔滨凭借此次流量成功跻身“网红城市”行列．据中国新闻网1月4日报道，年元旦假期，哈尔滨累计接待游客万人次，旅游总收入亿元，超高流盘带来的经济效益再次引发网民惊叹．数据亿用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 7. 小明同学解方程的过程中，下面说法正确的是（ ） A. 从第一步开始出现错误 B. 从第二步开始出现错误 C. 从第三步开始出现错误 D. 从第四步开始出现错误 8. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 9. 小华在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验；如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数、当斜面水平放置在地面上时．弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，扇形的半径为3，菱形的顶点、、分别在、、上，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 十边形的外角和是_____°． 12. 不等式组的整数解为______． 13. 如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为______． 14. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为______． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2）已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是 ． 请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数解析式． （2）点P是y轴一个动点，且是为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 18. 山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，有极高的审美价值，体现出了中国传统文化中优美、对称静穆以及崇尚自然和谐的美学思想，作为一种镂空艺术，山西剪纸在视觉上给，人以透空的感觉和艺术享受其载体可以是纸张金银箔、树皮、树叶、布、皮革等片状材料．为弘扬中华民族传统文化，展现对祖国和家乡的热爱之情，某学校组织了有关山西剪纸非物质文化遗产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了以下的调查报告，请根据报告中提供的信息，解答下列问题： 课题 山西剪纸知识竞答成绩调查报告 问题展示 山西剪纸的工艺特征是什么？ 山西剪纸有哪些工艺流程？ 山西民间剪纸有哪些传承模式？ …… 数据整理与描述 成绩/分 频数/人 频率 成绩/分 频数/人 频率 第1组 12 0.2 第4组 m 0.15 第2组 21 0.35 第5组 3 0.05 第3组 15 0.25 调查意义 了解山西剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们的家乡的热爱． 调查结果 （1）形成调查报告的数据收集方法是 ．（用“普查”或“抽样调查”） （2）调查报告中的m值是 在调查得到的数据中，中位数应该在第 组； （3）将拍摄到的“广灵剪纸”、“浮山剪纸”、“晋城剪纸”“中阳剪纸”四张照片（除正面图案不同外，其余都相同）背面朝上洗匀，甲，乙两同学随机各抽一张照片（抽好放回）做相关的知识介绍．请用树状图或列表的方式，求甲，乙两人恰好有一人抽到“晋城剪纸”的概率． 19. 第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； （2）经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 20. 小东同学在学习中感悟到学好数学可以解决很多实际问题，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处（），小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点B的仰角为．测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为．此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是．小东通过计算塔吊的高度，并根据此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），做出了是否违规的判断．亲爱的同学，请利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．）（参考数据：，，，，，） 21. 自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④作直线．则直线即为所求． （1）请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合图形；写出：是切线的理由； （3）若半径为2，，交于点D．求四边形的周长． 22. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题； ②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 23 综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市2024年初中学业水平模拟考试（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成。试卷上答题无效． 3．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应的位置里． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中，最小的数是（　　） A. π B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键． 【详解】解：是负数，其他三个数均是非负数，故是最小的数，故D正确． 故选：D． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，异分母分式的加法等知识．根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，异分母分式的加法对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，正确，故符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：B． 3. 如图是3D打印机的一个模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可. 【详解】解：左视图是 故选：D 4. 太原市解放路某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量． 利用众数的意义得出答案． 【详解】解：由题意可知，销量最多的是， 所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是． 故选：C． 5. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 6. “哈尔滨冰雪旅游”无疑是年舆论场上热度最高的话题之一，不仅带动当地旅游业持续火热，还掀起多次网络狂欢，哈尔滨凭借此次流量成功跻身“网红城市”行列．据中国新闻网1月4日报道，年元旦假期，哈尔滨累计接待游客万人次，旅游总收入亿元，超高流盘带来的经济效益再次引发网民惊叹．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：亿，即大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 7. 小明同学解方程的过程中，下面说法正确的是（ ） A. 从第一步开始出现错误 B. 从第二步开始出现错误 C. 从第三步开始出现错误 D. 从第四步开始出现错误 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，按照正确的步骤解分式方程后即可得到答案. 【详解】解： 方程两边同时乘得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项得， 系数化1得， 从解方程过程可知，从第二步开始出现错误， 故选：B 8. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位得到抛物线y=-3（x-1）2-2． 故选D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题． 9. 小华在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验；如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数、当斜面水平放置在地面上时．弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，由题意求出一次函数解析式，求出当弹簧测力计的最大量程是时的h的值，即可得到答案. 【详解】解：由题意可得，， 弹簧测力计的最大量程是，此时，解得， 即装置高度h的取值范围为 故选：A 10. 如图，扇形的半径为3，菱形的顶点、、分别在、、上，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，结合三角函数关系得出，从而求得的长度，然后根据即可求得． 【详解】连接，交于 四边形是菱形 ，， 扇形的半径为3， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 十边形的外角和是_____°． 【答案】360 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于解答． 【详解】解：十边形的外角和是． 故答案为：360． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于，解题的关键是掌握多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． 12. 不等式组的整数解为______． 【答案】2，3 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．正确的解一元一次不等式组是解题的关键． 先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后求整数解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，； ， ， 解得，； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为2，3， 故答案为：2，3． 13. 如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴，， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，余弦，正弦，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 14. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，先求出，，，过点D作于点G，证明，则，，得到，即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是中点； ∴， ∵于点F， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点G， ∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2）已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是 ． 请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值． 【答案】（1） （2）①和③，化简结果为，多项式A的值为23 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，算术平方根和零指数幂，再进行四则运算即可； （2）由解题步骤可知①一次项系数应为4，③去括号时未变号；根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将整体代入化简后的式子求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①应为，③应为． 故答案为：①和③； ． 当时，原式． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P是y轴一个动点，且是为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点，代入得到， 解得 ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 18. 山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，有极高的审美价值，体现出了中国传统文化中优美、对称静穆以及崇尚自然和谐的美学思想，作为一种镂空艺术，山西剪纸在视觉上给，人以透空的感觉和艺术享受其载体可以是纸张金银箔、树皮、树叶、布、皮革等片状材料．为弘扬中华民族传统文化，展现对祖国和家乡的热爱之情，某学校组织了有关山西剪纸非物质文化遗产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了以下的调查报告，请根据报告中提供的信息，解答下列问题： 课题 山西剪纸知识竞答成绩调查报告 问题展示 山西剪纸的工艺特征是什么？ 山西剪纸有哪些工艺流程？ 山西民间剪纸有哪些传承模式？ …… 数据整理与描述 成绩/分 频数/人 频率 成绩/分 频数/人 频率 第1组 12 0.2 第4组 m 0.15 第2组 21 0.35 第5组 3 0.05 第3组 15 0.25 调查意义 了解山西剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们的家乡的热爱． 调查结果 （1）形成调查报告的数据收集方法是 ．（用“普查”或“抽样调查”） （2）调查报告中的m值是 在调查得到的数据中，中位数应该在第 组； （3）将拍摄到的“广灵剪纸”、“浮山剪纸”、“晋城剪纸”“中阳剪纸”四张照片（除正面图案不同外，其余都相同）背面朝上洗匀，甲，乙两同学随机各抽一张照片（抽好放回）做相关的知识介绍．请用树状图或列表的方式，求甲，乙两人恰好有一人抽到“晋城剪纸”的概率． 【答案】（1）抽样调查 （2）9，2 （3） 【解析】 【分析】此题考查了频数和频率、中位数、树状图或列表求概率、调查方法等知识，读懂题意是解题的关键． （1）根据实际情况进行解答即可； （2）先求出总人数，再用总人数减去其他人即可得到m的值，按照中位数的定义进行判断即可； （3）列表后用概率公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取了八年级若干名同学的成绩， ∴调查报告的数据收集方法是抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 由题意得，调查的人数为（人）， ∴， 将调查得到的数据按照从大到小的顺序排列，在第30和31位的数据都在第二组， ∴中位数应该在第2组， 故答案为：9，2 【小问3详解】 设“广灵剪纸”、“浮山剪纸”、“晋城剪纸”“中阳剪纸”四张照片分别为A、B、C、D, 列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共有16种等可能结果，其中甲，乙两人恰好有一人抽到“晋城剪纸”C的结果数为6种， ∴甲，乙两人恰好有一人抽到“晋城剪纸”的概率为 19. 第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； （2）经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 【答案】（1）； （2）元． 【解析】 【分析】（）设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：每件售价定为元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 20. 小东同学在学习中感悟到学好数学可以解决很多实际问题，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处（），小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点B的仰角为．测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为．此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是．小东通过计算塔吊的高度，并根据此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），做出了是否违规的判断．亲爱的同学，请利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．）（参考数据：，，，，，） 【答案】吊塔没有违规 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 过点作于点于点，则，在中，，解得，则，可得，在中，，解得，由即可得出答案． 【详解】解：过点作于点于点， 则，， ， 在中，， 解得， ， ， 在中，， 解得， ， ∴塔吊的高度为． ， ∴吊塔没有违规． 21. 自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④作直线．则直线即为所求． （1）请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合图形；写出：是切线的理由； （3）若半径为2，，交于点D．求四边形的周长． 【答案】（1）作图见解答过程 （2）证明见解答过程 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，先根据圆周角定理的推论得到，然后根据切线的判定定理得到直线为切线； （3）由勾股定理求出，设，则，由勾股定理可得．由，得到，求得，然后利用四边形的周长解答即可． 【小问1详解】 解：按照步骤完成作图如下． 【小问2详解】 证明：由题意得：为的直径， ∴(直径所对的圆周角为)， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线． 【小问3详解】 解：连接． ， ， 在中，， 由图知为的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ，即， ， ∴四边形的周长为：． 22. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题； ②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）是平行四边形，理由见解析 （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）证明两组对边分别平行即可得到结论； （2）①连接，由旋转可得，，然后利用勾股定理解题即可； ②过点作于点，先根据三角形的面积得到，求出长，然后利用解题即可． 【详解】解：（1）∵是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是平行四边形； （2）① 如图，连接， 由旋转可得，， ∴， 又∵M是的中点， ∴； ②过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得： 23. 综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 【答案】（1），点 （2）① ②的最大值为，点D的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题. （1）由待定系数法即可求解； （2）①由、求出点，即可利用待定系数法求解； ②证明 ，即可求解. 【小问1详解】 由题意得： ∴解得： 则抛物线的表达式为：， 当时，， ∴点； 【小问2详解】 ①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 设交抛物线的对称轴于点，如图， 设点、的坐标分别为：， 则，， ， 解得： ， 则点， 设直线的解析式为 把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：； ②过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作轴的平行线交于点， 则 ∴， 由点的坐标得，直线的表达式为： 当时，， ∴点 ，即， 设点则点则 则 ， ∴的最大值为，这时，点D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $