第十一章三角形期末复习　讲义　2024—2025学年人教版数学八年级上册

三角形复习 本章节思维导图： 知识点一：三角形概念 【定义】三角形——由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形用“△” 符号表示，如图三角形ABC记作：“△ABC”，读作：“三角形ABC” 【典例精析】 例1．如图1，所示图中共有____个三角形，其中以BC为边的三角形是 ． 例2．如图2，点A、B、C、D是直线L上的四点．已知点E是直线L外的一点．则图中的线段有 条， 三角形有 个． 图1 图2 【随堂练习】 1.如图3中三角形的个数为 ，在如图4中共有 个三角形，在如图5中三角形的个数是 . 图3 图4 图5 2．如图，以BC为边的三角形有_________个，分别是____________________；以点A为顶点的三角形有__________个，分别是____________． 知识点二：三角形的分类 ① 按角分类：锐角三角形(三个角都＜90°) 直角三角形(有一个角＝90°) 钝角三角形(有一个角＞90°) ② 按边分类：普通三角形(三边都不相等的三角形) 等腰三角形(两边相等的三角形) 等边三角形(三边都相等的三角形) 【典例精析】 例1．已知三角形ABC三边a、b、c满足(a﹣b)2+|b﹣c|=0，则△ABC的形状是 (　 　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对 例2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　 　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【随堂练习】 1．适合条件的三角形是(　 　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．如图1，图形中一共有 个三角形；锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有 个. 3．如图2，图中锐角三角形的个数有 个． 图 1 图2 知识点三：三角形三边关系 1．三角形三边关系 （1）三角形两边的和大于第三边 （2）三角形两边的差小于第三边 如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？ 路线1:由点B到点C 路线2:由点B到点A，再由点A到点C 两条路线长分别是BC，AB+AC. 由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC＞BC，同理可得：AC+BC＞AB, AB+BC＞AC 结论:三角形的三边有这样的关系——三角形的两边之和大于第三边 2. 判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形. 当a最长，且有b+c＞a时，就可构成三角形. 3. 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差＜第三边＜两边之和. 【典例精析】 例1．下列条件中能组成三角形的是(　 ) A.5cm，13cm，7cm　 B.3cm，5cm，9cm C.14cm，9cm，6cm　 D.5cm，6cm，11cm 例2．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有(　 　) A.1种　 B.2种 C.3种 D.4种 例3．已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是(　　) A.4＜c＜7 B.7＜c＜10 C.4＜c＜10 D.7＜c＜13 例4．三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的范围是 ． 【随堂练习】 1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是(　 　) A．2 ,3 ,5 B．3 ,3 ,3 C．3 ,3 ,6 D．3 ,2 ,7 2．如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和50 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条长为x，则x的取值范围是(　 　) A．10 cm＜x＜90 cm B．20 cm＜x＜100 cm C．40 cm＜x＜50 cm D．90 cm＜x＜200 cm 4．两根木棒长分别为6cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有(　 　)种． A．3 B．4 C．5 D．6 5.如图：O为△ABC内一点，求证： （1）OB+OA+OC﹥(AB+AC+BC) （2）OA+OB+OC＜AB+BC+AC 知识点四：三角形三线 高线 中线 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线 图形 几何表达 ∵ AD是△ ABC中BC边上的高 ∴ AD ⊥BC ∴∠ADC＝ ∠ADB ＝90° ∵AD是△ ABC的 中线 ∴BD =CD =BC或 BC=2BD=2CD ∵AD是△ ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 结论 1．锐角三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，锐角三角形的三条高相交于同一点 2．直角三角形的三条高：直角三角形的三条高交于直角顶点 3．钝角三角形的三条高：有两条高在三角形外面，交于三角形外面一点 1．三角形有三条中线且都是线段。 2．三角形的三条中线都位于三角形内部并且三条中线相交于一点。 3．三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 1．三角形有三条角平分线且都是线段。 2．三角形的三条角平分线都位于三角形内部,并且三条角平分线相交于一点。 【高线】【典例精析】 例1．以下3幅图中图 的AD是三角形ABC中BC边上的高． 1 ② ③ 例2．下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部；③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．如图1，AD是几个三角形的高(　 　) A．4 B．5 C．6 D．7 例4．如图2，已知直角三角形ABC中，直角边AC=3，BC=4，斜边AB=5，则斜边上的高长为 ． 图1 图2 【随堂练习】 1．如图3，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A，则△ABC中，AC边上的高为(　 　) A．AD B．GA C．BE D．CF 2．如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长 ②点A到直线CD的距离是线段AD的长 ③线段CD是△ABC边AB上的高 ④线段CD是△BCD边BD上的高 上述说法中，正确的个数为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图5，AD和AE分别是△ABC的中线和高，且BD=4， AE=3，则S△ABC= ． 图3 图4 图5 【中线】【典型例题】 例1．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　 　） A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线 例2．如图1所示，D，E分别为△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是(　 　) A．DE是△BDC的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．图中∠C的对边是DE 例3．已知BM是ΔABC的中线，AB=6，BC=8，那么△MBC的周长与ΔABM的周长相差 ． 例4．在△ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边 长 ． 图1 图2 图3 【随堂练习】 1．如图2，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=3cm，AC=5cm，BE=4cm，则△ABE的周长 为 . 2．如图3，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是 . 3．如图，在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则有BD= = ，若过点A作BC边上的高AE，利用三角形的面积公式可求得= =. 请你任意画一个三角形，将这个三角形的面积四等分. 【角平分线】【典例精析】 例1．如图1，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线(　 　) A．①②都正确 B．①②都不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 例2．如图2，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= . 图1 图2 例3．如图，在△ABC中，角平分线 BD，CE相交于点O，计算： （1）当∠A=50°时，求∠BOC； （2）当∠BOC=130°时，求∠A； （3）如果设∠A为α，求∠BOC．(用β表示) 【随堂练习】 1．下列说法错误的是(　 　) A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分 B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点 C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点 D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部 2．如图，在△ABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且 B=50°， C=60°，则 EAD的度数是 知识点五：三角形的稳定性 思考？四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗? 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 思考？日常生活中四边形不稳定性的应用．日常生活中三角形稳定性有什么应用？ 【典例精析】 例1．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的(　 　) A．全等性 B．灵活性 C．稳定性 D．对称性 【随堂练习】 1．下列图形中具有稳定性的是(　 　) A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形 2．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了 ． 3．三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【高线、中线、角平分线综合练习巩固】 1．对于下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高． 2．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出两种划分方案供选择，画图说明． 3．△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O； （1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=　_________　； （2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=　_________　； （3）若∠A=76°，则∠BOC=　_________　； （4）若∠BOC=120°，则∠A=　_________　； （5）若∠A=x°，求∠BOC的度数（用x的代数式表示）． 知识点六：三角形的内角、外角 三角形的内角：三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论1：直角三角形的两个锐角互余 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 归纳： 1．每一个三角形都有6个外角． 2．每一个顶点相对应的外角都有2个． 3．一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 【典例精析】 例1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　 　) A．30° B．40° C．50° D．60° 例2．△ABC的内角和为(　 　) A．180° B．360° C．540° D．720° 例3．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是(　 　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 例4．三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是(　 　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 例5．三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形是 三角形． 例6．如图，△ABC中，AB=AC，∠CAD＝100°，求∠B的度数． 【随堂练习】 1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝ ，∠C＝ ． 2．已知一个三角形三个内角度数的比是2:3:4，则这个三角形最大角是 度． 3．三角形一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是 三角形． 4．如果一个三角形的外角等于与它相邻内角的3倍，另有一内角为32°，求这个三角形的各内角度数． 5．如图，在△ABC中，O是内角平分线AD、BE、CF的交点． （1）求证：∠BOC=90°+； （2）求证：∠1+∠2+∠3=90°； （3）过O作OG⊥BC于G，求证：∠DOB=∠GOC． 知识点七：多边形内角和 多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）·180°． 推导多边形的外角和定理： n边形的外角和等于360°。 【典例精析】 例1．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为(　 　) A.6 B.7 C.8 D.9 例2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是(　 　) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 例3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加(　 　) A.180° B.360° C.(n-2)·180° D.n·180° 例4．(n＋1)边形的内角和比n边形的内角和多(　 　) A．180° B．360° C．n·180° D．n·360° 【课后作业】 一、选择题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　 　) A．3，4，8 B．5，6，11 C．1，2，3 D．5，6，10 2．等腰三角形的两边长分别为6cm，3cm，则该等腰三角形的周长是(　 　) A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm 3．现有长3cm，4cm，7cm，9cm四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，可以组成的三角形的个数是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，是三角形外角的是(　 　) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 5．对于三角形的三个外角，下面结论中正确的是(　 　) A．可能有两个直角 B．最少有一个锐角 C．不可能有三个钝角 D．最多有一个锐角 6．若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是(　 　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 7．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形(　 　) A．是直角三角形 B．是锐角三角形 C．是钝角三角形 D．属于哪一类不能确定 8.下列可能是n边形内角和的是(　 　) A.300° B.550° C.720° D.960° 9.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是(　 　) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 10.用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是(　 　) A.正三角形 B.正六边形 C.正五边形 D.正四边形 2、 填空题 1．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为__________边形． 2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，那么∠C＝__________. 3．如图1，在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积 △ACD的面积.（填“＞”“＜”“＝”）． 4．如图2，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝ 度． 5．如图3，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ． 图1 图2 图3 6．如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1＝120°，则∠2的度数是______． 7．把一副三角板按如图所示的方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝__________． 图4 图5 三、解答题 1．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm两部分，求三角形的三边长. 2．如图，把一张三角形纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，探索∠A、∠1、∠2之间的关系． 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$