第十一章三角形同步培优第一课---三角形的三边关系和高、中线、角平分线2023-2024学年人教版数学八年级上册

三角形的三边关系和高、中线、角平分线 知识点一：三角形的分类 1．三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的构成： 顶点：A，B，C；角：∠A，∠B，∠C；边：边AB(c)，边BC(a)，边CA(b)． 3．三角形的分类： （1）按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形． （2）按边分类：不等边三角形和等腰三角形． 【典例精析】 例1．若一个三角形的三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 例2．已知三角形ABC三边a、b、c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对 例3．若几个能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”．下列各组量中一定能成为三角形的基本量的是(　　) 　 A.三个内角 B.两条边与一个内角 　 C.周长和两条边 D.面积与一条边 例4．用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是 . （2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？ . 例5．直角三角形的两锐角的关系 . 例6．已知等腰三角形的一边等于7，一边等于8，它的周长是 . 【随堂练习】 1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D.∠A＝2∠B＝2∠C 2．任何一个三角形的三个内角中至少有( ) A．一个角大于60° B．两个锐角 C．一个钝角 D．一个直角 3．在△ABC中，若3∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是　 　三角形． 知识点二：三角形的三边关系 三角形三边关系： 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边． 1．判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形 当a最长，且有b＋c＞a时，就可构成三角形． 2．确定三角形第三边的取值范围 |两边之差|＜第三边＜两边之和． 【典例精析】 例1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A．1、2、3 B．2、2、4 C．2、3、4 D．2、4、8 例2．三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的范围是 ． 例3．如图，线段AB、CD相交于点O，能否确定AB＋CD与AD＋BC的大小，试加以说明理由． 【随堂练习】 1．下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( ) A．2、3、5 B．3、5、10 C．5、4、6 D．8、4、4 2．已知小明家距离学校9千米，而小蓉家距离小明家4千米，如果小蓉家到学校的距离d满足( ) A．4＜d＜9 B．4≤d≤9 C．5＜d＜13 D．5≤d≤13 3．若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图：O为△ABC内一点，求证： OB＋OA＋OC＞(AB＋AC＋BC)． 5．如图、用钉子把木棒AB和BC、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮把AD连接起来。设橡皮筋AD的长是x，若AB=5，CD=3，BC=11，求x的最大值和最小值. 知识点三：三角形的三线 考点一：高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 几何语言表述： ∵ AD是△ ABC中BC边上的高 ∴ AD ⊥BC ★结论： 1．直角三角形有两条高是直角边； 2．锐角三角形三条高都在三角形内部； 3．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在内部． 【典例精析】 例1．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法不正确的是（　　） A．△ABC中，AC是BC边上的高 B．△BCD中，DE是BC边上的高 C．△ABE中，DE是BE边上的高 D．△ACD中，AD是CD边上的高 例2．如图，在△ABC中，∠ADC＝90°，则△ABC底边AB上的高为( ) A．CD B．AC C．BC D．BD 例3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高 上述说法中，正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【随堂练习】 1．如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是哪条垂线段( ) A．BF B．CD C．AE D．AF 2．下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部；③三角形的 三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知直角三角形ABC中，直角边AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，则斜边上的高长为 ． 考点二：中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 几何语言描述： ∵AD是△ ABC的中线 ∴BD＝CD＝BC或BC＝2BD＝2CD ★结论： 1．三角形有三条中线且都是线段； 2．三角形的三条中线都位于三角形内部并且三条中线相交于一点； 3．三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形． 【典例精析】 例1．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列说法错误的是（　　） A．AE＝AC B．AB＝2BF C．AD＝CF D．BD＝DC 例2．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是( ) A．BD＝CD B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC 例3．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且S△ABC＝8，则S阴影＝ ． 【随堂练习】 1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ． 题1图 题2图 2．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积等于( ) A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 3．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF的值是________． 考点三：角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线． 几何语言描述 ∵AD是△ ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC或∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD ★结论： 1．三角形有三条角平分线且都是线段； 2．三角形的三条角平分线都位于三角形内部，并且三条角平分线相交于一点． 【典例精析】 例1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝46°． （1）求∠DAE的度数； （2）你能发现∠DAE与∠B、∠C之间的关系吗？并说明理由； （3）若只知道∠B﹣∠C＝20°，求∠DAE的度数. 例2．如图，在△ABC中，角平分线 BD、CE相交于点O，计算： （1）当∠A＝50°时，求∠BOC； （2）当∠BOC＝130°时，求∠A； （3）如果设∠A为α，求∠BOC．(用β表示) 【随堂练习】 1．如图，在△ABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且 B＝50°， C＝60°，则 EAD的度数是 ． 2．直角三角形的两个锐角平分线的夹角是( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．由两个锐角的大小决定 3．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BD，CE相交于点O． （1）∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BOC的度数； （2）求∠A与∠BOC的数量关系． 4．如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D． （1）求∠BDC的度数； （2）在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F(如图2)，求证：BF是∠ABC的平分线． 【巩固练习】 1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知△ABC的三边长都是整数，且AB＝2，BC＝6，则AC的长可能是( ) A．4 B．6 C．8 D．9 3．如图，在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积 △ACD的面积(填“＞”“＜”“＝”)． 题3图 题4图 4．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则 ∠CDF＝ 度． 5．不一定在三角形内部的线段是( ) A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线 6．如图，在△ABC中，BAC是钝角，完成下列画图．(不写作法，保留作图痕迹) （1）AC边上的中线BE；（2）AC边上的高BF． 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$