第八章成对数据的统计分析测试题-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 测试题 一、单选题 1．下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 C．某正方形的边长与此正方形的面积 D．人的身高与体重 2．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的序号是（    ） A．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量会增加1.2个单位 B．利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理： C．已知，是两个分类变量，若随机变量的观测值越大，则结论“与有关系”的犯错概率越大； D．若、两组成对数据的相关系数分别为，则组数据的相关性更强 4．白术是常见的大宗药材，最早记载于《神龙本草经》，又叫于术、片术，具有补脾健胃，燥湿利水等功效．今年白术从1月份到5月份每公斤的平均价格（单位：元）的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 每公斤平均价格 77 109 137 168 199 根据上表可得回归方程，则实数的值为（    ） A．46 B．47 C．48 D．49 5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（    ） A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 6．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表： 使用手机情况 成绩 合计 及格 不及格 很少 20 5 25 经常 10 15 25 合计 30 20 50 参考公式：，其中. 附表： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关” B．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关” C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关” D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关” 7．已知5对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．甲袋中有个白球、个红球,乙袋中有个白球、个红球,从两个袋中任选一袋,从中任取一球,则取到的球是白球的概率为 B．件产品中有件正品,件次品,从中任取件,则至少取到件次品的概率为 C．已知变量线性相关,两个变量满足一元线性回归模型,则的最小二乘估计为 D．定义统计量,则的值越大,表示模型的拟合效果越好 10．下列结论正确的是（     ） A．若随机变量 ，且 ，则 B．若随机变量 满足，则 C．若样本数据 线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到 . 依据的独立性检验，可判断与有关 11．考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出： 其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（   ） A．分母中的和是和的标准差. B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 三、填空题 12．已知，之间的一组数据： 1 4 9 16 1 2.98 5.01 7.01 若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 . 13．若一组观测值之间满足，且恒为0，则为 ;（参考公式:） 14．为了解学生对科普的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有的男生“关注”，有的女生“关注”，若依据小概率值的独立性检验，认为学生对科普的关注度与性别有关联，则调查的总人数最少为 人. 参考公式： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 四、解答题 15．某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表． 红色 蓝色 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 (1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”； (2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， ①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率； ②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额： 月份 1 2 3 4 5 带货金额/万元 350 440 580 700 880 (1)计算变量，的相关系数（结果精确到0.01）． (2)求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额． (3)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 25 30 男性 10 总计 请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关． 参考数据：，，， ，． 参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 附：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 17．“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，. (1)（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 (2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大? 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：，，. 18．某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 19．当大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定限度时会影响人的身体健康．为了了解汽车的流量与空气中的浓度之间的关系，某科研小组在某城市的一个交通点建立监测站，连续记录了十天的汽车流量（单位：千辆）和相应每天该地空气中的平均浓度（单位：），得到如下数据表： 汽车流量 1.36 1.63 1.26 1.86 0.95 1.18 1.50 1.05 1.46 1.75 浓度 96 110 72 135 35 43 115 34 110 120 (1)求与的相关系数，并判断与之间的相关程度（精确到0.01）； (2)求关于的经验回归方程，并预测当汽车流量为2千辆时，该地空气中的平均浓度． 参考公式：，． 参考数据：． 2 学科网（北京）股份有限公司 第八章 成对数据的统计分析测试题参考答案 1．C 【分析】根据变量间的相关关系和函数关系判断即可. 【详解】C中的两个变量之间是确定的函数关系，A，B，D中的两个变量之间的关系都是相关关系. 故选：C 2．B 【分析】直接由等高条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小判断即可. 【详解】等高的条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小. 故选：B. 3．B 【分析】根据回归方程的定义和性质判断AB；随机变量的观测值越小，则“与有关系”的把握程度越小，C错误；相关系数如果大于零，正相关性更强，小于零，负相关性更强，D错误，得到答案. 【详解】对于选项A：在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均增加个单位，A错误； 对于选项B：用随机误差的平方和，即， 并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，由于平方又叫二乘， 所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理，B正确； 对于选项C：对分类变量与，对它们的随机变量的观测值越大， 则“与有关系”的把握程度越大，C错误； 对于选项D：样本相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，若，正相关性更强，若，负相关性更强，D错误. 故选：B. 4．C 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点计算可得. 【详解】依题意，， 又回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得. 故选：C 5．A 【分析】根据给定的散点图，结合相关性，即可求解. 【详解】根据给定的散点图，可得a中的数据分布在左下方到右上方的区域里，为正相关， b中的数据分布在左上方到右下方的区域里，为负相关， c中的数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关. 故选：A. 6．D 【分析】根据题中数据，计算的值，结合临界值表，即可得出结果. 【详解】由题中数据可得，， 所以有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”， 即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”. 所以C错误，D正确； 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，A错误； 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”，B错误. 故选：D 7．A 【分析】由散点图，以及样本中心，即可判断选项. 【详解】由题意可知，，， 所以样本点中心是，所以去掉样本点中心后， 由相关系数的公式得 故选：A 8．D 【分析】根据成绩优秀的概率求得，进而求得，结合比例判断出正确答案. 【详解】依题意，解得，由解得. 补全列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 甲班的优秀率为，乙班的优秀率为， ，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 9．BC 【分析】对于A,根据题意结合全概率公式分析求解;对于B,根据古典概型公式求解即可;对于C,根据关于的一元线性回归方程先判断,再利用样本中心点满足方程代入即可判断;对于D,根据决定系数公式进行判断即可. 【详解】对于A,设事件表示“选中甲袋”,表示“选中乙袋”,表示“取到的球是白球”, 则, 所以,故A错误; 对于B,至少取到1件次品的概率为,故B正确; 对于C,因为称为关于的一元线性回归方程, 本题中两个变量满足一元线性回归模型, 所以, 因为,所以, 即的最小二乘估计为,故C正确; 对于D,因为决定系数,当越大,越小时,模型的拟合效果越好,故D错误. 故选:BC. 10．ACD 【分析】根据正态分布的对称性判断A，根据方差性质判断B，根据回归直线方程过样本数据中心点判断C，根据判断D. 【详解】对A，根据正态分布的图象对称性可得，故 A 正确； 对B，由方差的性质可知，若随机变量 满足 ，则 ，故B不正确； 对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确； 对D ，由 可判断 与有关，故 D 正确. 故选：ACD 11．BD 【分析】根据标准差定义，判断A，根据相关系数的定义和性质，判断BCD. 【详解】A.和是和的标准差，故A错误； B.由相关系数的定义，可知B正确； C.样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越弱，故C错误； D.根据相关系数的演化过程，可知D正确. 故选：BD 12． 【分析】根据给定的数表，求出的平均数即可. 【详解】依题意，的平均数为，的平均数为， 所以此曲线必过点. 故答案为： 13．1 【分析】由恒为0，可得，再结合公式可求. 【详解】由恒为0，知恒成立，即恒成立，故. 故答案为：1 14．300 【分析】设出调查的男生人数，列出列联表，求出的观测值并建立不等式，再分析求解即得. 【详解】设男、女生人数均为，可得如下列联表： 关注 不关注 合计 男生 x 女生 x 合计 依题意，， 因此，显然x必须为6的整倍数，必须为12的整倍数， 则，所以调查的总人数最少为300. 故答案为：300 15．(1)有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”. (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论； （2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果； 【详解】（1）零假设:喜好红色或蓝色与性别无关， 因为， 所以，根据独立性检验，没有充分证据推断成立， 因此有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”. （2）①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数， 标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， 设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数， 则； ②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， 则选取4个箱子的所有情况有 记所选的箱子中有对相邻序号，可得则 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 因此数学期望. 16．(1)0.99 (2)，1118万元 (3)表格见解析，有 【分析】（1）直接代入求相关系数即可； （2）根据线性回归方程求解回归方程即可； （3）零假设之后计算，再比较大小判断零假设是否成立即可. 【详解】（1） （2）因为，，，， 所以，， 所以变量，之间的线性回归方程为， 当时，（万元）． 所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元． （3）补全完整的列联表如下． 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 25 5 30 男性 15 10 25 总计 40 15 55 零假设：参加直播带货与性别无关， 根据以上数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率不超过. 17．(1)（i）；（ii）答案见解析 (2) 【分析】（1）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将代入回归方程可得到预测值. （2）根据正态分布的对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为只，故，由间接法列式得到结果即可； 【详解】（1）（i）由， 有， 且， 所以模型②中关于的回归方程为. （ii）由表格中的数据，有，即， 模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． （2）由已知单个“南澳牡蛎”质量，则， 由正态分布的对称性可知， ， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只， 故， 所以， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于的牡蛎的可能性仅为． 18．(1)，14.99千人 (2) 【分析】（1）根据公式和已知的数据直接求解，从而可求得关于的回归直线方程，将代入回归方程可预测第10天入校参观的人数； （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）依题意，， ，所以． 当时，， 答：第10天入校参观的人数约为14.99千人． （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求． 则， ， 所以． 答：他们从不同门进校的概率为． 19．(1)，与线性相关程度很强 (2)，约为 【分析】（1）首先求出，，再根据所给公式及数据求出相关系数，即可判断；； （2）求出，，即可得到回归直线方程，再代入求出预测值. 【详解】（1）依题意，， 所以 ， 因为且接近，所以与线性相关程度很强. （2）因为， 所以， 所以关于的经验回归方程为， 当时， 即当汽车流量为2千辆时，该地空气中的平均浓度约为. 学科网（北京）股份有限公司 $$