1.3 等比数列（课时1 等比数列及其通项公式、等比数列与指数函数）课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第三节 等比数列 课时1 等比数列及其通项公式、等比数列与 指数函数 过基础 教材必备知识精练 1 知识点1 等比数列的判定 1.下列数列不是等比数列的是( ) B A.，，，，为常数, B.,,,， C.1，，，， D.，，，， 【解析】 A选项中的数列为非零常数列，公比为1，所以该数列是等比数 列；B选项中， ，所以该数列不是等比数列；C选项中的数列是首 项为1，公比为的等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为 的等 比数列.故选B. 2 2.数列中，“,,3,4, ”是“ 是公比为2的等比数列” 的( ) B A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】 若是公比为2的等比数列，则一定有,,3,4, ； 若,,3,4, ,则不一定为等比数列，例如当 时,满 足，,3,4, ，但此时该数列不是等比数列.因此“ ,,3,4, ”是“ 是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件. 3 3.（多选）已知数列 是等比数列，则( ) ABC A.是等比数列 B. 是等比数列 C.{}是等比数列 D.{ 是等比数列 4 【解析】 设数列的公比为，则， . A √ ，故 是等比数列. B √ ，故 是等比数列. C √ ，故{ }是等比数列. D 当时， ，显然不是等比数列. 4.已知数列的通项公式为，则数列 中能构成等比数列 的三项可以为_____________________. 2,8,32（答案不唯一） 【解析】 因为数列的通项公式为,所以数列 中的项依 次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32,35, ,显然 ，所 以2，8，32能构成等比数列.（注：满足题意的三项均可.） 6 知识点2 等比数列的通项公式及其应用 4年9考 5.已知是等比数列，,，则公比 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题意可得，解得或 . 7 6.在等比数列中，首项，公比，若，则 ( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 因为，所以 ，所以 .故选D. 8 7.已知数列满足，若，则 ( ) D A. B.1 C.6 D.12 【解析】 由,知.因为，所以数列 是公比 的等比数列，所以 ，解得 . 9 8.[2024河北衡水二中期中]在数列中，且,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 由,,得,所以,所以 为等 比数列，公比,所以 . 10 9.已知等比数列中，，,则 ( ) A A. B. C. D.4 【解析】 由题意得两式相除，得,所以 , ，所以 . 11 10.[2024河南南阳一中期中]已知直角三角形的斜边边长为 ，两条直角边 边长分别为和，且，，成等比数列，则 _ ____. 【解析】 设等比数列，，的公比为，则， .因 为，所以，整理得 ，得 ，所以 . 12 知识点3 等比数列的性质 11.公比不为1的等比数列满足.若，则实数 的值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】 由等比数列的性质得.又 ，所以 ，解得 . 13 12.易错题在等比数列中，,,则 ( ) C A.5 B. C.4 D. 【解析】 因为,所以,又 ， （易忽略此步骤而错选D）所以 .故选C. 14 13.已知各项均为正数的等比数列中， ,则 ( ) A A.5 B.10 C.15 D.20 【解析】 由等比数列的性质可得, ,所以 ,又等比数列 各项均为正数，所以 . 15 14.在等比数列中，已知,，则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.5 16 【解析】 方法一（性质法） 因为数列是等比数列，所以 , ,，成等比数列，且公比为 ，所以 . 方法二（通项公式法） 设等比数列的公比为，则 ， ，所以 ，所以 . 15.已知各项均为正数的等比数列中，， ，则 ( ) A A. B.7 C.6 D. 18 【解析】 方法一 因为数列 是等比数列，所以 .又 ，，且数列 的各项均为正数，所以 . 方法二 因为数列是等比数列，所以 ， ，.由等比数列的性质，得，， 构成 等比数列，所以.又数列 的各项均为正数，所以 ，即 . 19 方法三 因为数列是等比数列，所以，， 构成等 比数列，所以，即，即 .又数 列的各项均为正数，所以 . 16.已知等比数列的各项均为正数，且 ，则 ( ) A A.10 B.12 C. D. 【解析】 因为,，所以 ，所以 . 21 17.[2024北京高二期中]在1和9之间插入三个数,使这五个数组成正项等比 数列，则中间三个数的积等于____. 27 【解析】 依题意,,所以,所以 或 （舍去），所以 . 22 知识点4 构造等比数列求通项公式 18.在数列中，， ，则( ) C A.数列的通项公式为 B.数列 为等比数列 C.数列{为等比数列 D.数列{ 为等差数列 【解析】 由，，得， ， A，B不正确；依题意知，，对 两边取对数得， ，因此数列{是首项为 ，公比为2的等比数列， C正确，D不正确. 23 【名师点评】 构造等比数列求数列通项公式的方法 （1）已知（，， 为常数）,一般取倒数构造等比数列. （2）已知 为常数）,一般取对数构造等比数列. （3）已知（， 为常数），则常变形为 为常数），构造等比数列. （4）已知（，， 为常数）,则常变形为 （ 为常数），构造等比数列. 24 19.[2024湖北襄阳一中高二期末]已知数列满足 ， ，则 _____. 【解析】 由，得 .又 ，所以}是首项为 ，公比为3的等比数列，所以 ，因此数列的通项公式为 . 25 20.已知各项都为正数的数列满足 . （1）证明：数列 为等比数列； 【解析】 由 ，得 . 因为数列的各项都为正数，所以 , 所以 是公比为3的等比数列. 26 （2）若,，求 的通项公式. 【解析】 由（1）得 ,整理得 . 又,所以，所以 ， 所以是以 为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为 . 27 知识点5 等比数列与指数函数 21.[2024北京理工大学附属中学高二期中]设 是等比数列，则“ ”是“数列 是递减数列”的( ) C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】 设数列的公比为.因为,所以 ， 得或故数列是递减数列;反之，若数列 是递减 数列，则,所以“”是“数列 是递减数列”的充 要条件. 28 22.已知数列是公差不为零的等差数列，数列 是各项均为正数的等 比数列，若, ,则( ) D A. B. C. D. 29 【解析】 由题意知等差数列 的图象是一条直线上孤立的点，等比数 列的图象是指数型函数图象上孤立的点.设数列的公差为 ,则当 时，如图1所示，当公差时,如图2所示.由图可知当 , 时，,,, .故选D. 图1 图2 30 23.已知数列的前项和为 ，在平面直角坐标系中，下列说法正确的 是______（填序号）. ①若为等差数列，则点 一定在某个一次函数 的图象上； ②若为等差数列，则点 一定在某个一次函数 的图象上； ③若为公比大于0的等比数列，则点 一定在某个指数型函数 的图象上. ①③ 31 【解析】 由等差数列的通项公式知①正确； 对于②,因为 为等差数列,所以 （为公差），当 时，显然点 一定不在一次函数 的图象上，故②错误; 对于③,因为为公比大于0的等比数列，所以为公比且 ，对于函数,当时， ,因此当,时，点在函数 的 图象上,故③正确. 32 24.[2024陕西咸阳高二质检]在各项为正的递增等比数列 中， ， . 33 （1）求数列 的通项公式； 【解析】 因为数列是各项为正的递增等比数列，所以设公比为 ，且 ， . 因为，所以，所以 . 因为，所以 ， 即 . 又,所以 ， 所以 , 所以 . 34 （2）证明：数列 中的任意不同的三项均不能构成等差数列. 【解析】 假设数列中存在三项，，（其中,, , ）成等差数列，则 . 由（1）得，即 . 两边同时除以，得， 因为 式右边为奇数，左边为偶数， 所以 式不成立，即假设不成立. 所以数列 中的任意不同的三项均不能构成等差数列. 35 第三节 等比数列 课时1 等比数列及其通项公式、等比数列与 指数函数 过能力 学科关键能力构建 36 1.等比数列中，,且,,成等差数列，若 ，则 ( ) D A.4 B.8 C.32 D.64 【解析】 因为,,成等差数列，所以 ,即 ,所以,解得或 （舍去）， 所以, . 37 2.[2024江西五市九校协作体联考]已知等比数列 满足 ,,则 的值为( ) B A.8 B.10 C.12 D.16 【解析】 因为为等比数列,所以 , . 38 3.已知等比数列满足，且（其中， ），则 的最小值为( ) D A.6 B.16 C. D.2 【解析】 因为等比数列满足 ,所以由等比数列的性质，可 得 ,所以 ，当且仅当,时，等号成立， 所以 的最小值为2. 39 4.如图，已知的面积为4，连接 三边的 中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的 中点构成第3个三角形，以此类推，第2 022个三角 形的面积为( ) B A. B. C. D. 40 【解析】 由三角形相似可知后一个三角形的面积是前一个的，设第 个 三角形的面积为，则数列是首项，公比 的等比数列， 所以 ，所以第2 022个三角形的面积为 .故选B. 5.新情境中国明代著名律学家朱载堉在 《律学新说》中提出了十二平均律，钢琴 是根据十二平均律来定音的.在钢琴的键盘 上，音,,,,,,,, , ,,,（如图）的频率（单位： ） 恰好构成一个等比数列， 的频率正好是 D A. B. C. D. 的2倍.已知的频率为，那么频率为 的音是( ) 42 【解析】 设各音的频率构成的等比数列为，则的频率和 的频率 对应的项分别为，.因为,,所以,得 . 设，又,所以 ，解得 ，所以频率为的音是 ，故选D. 43 6.已知数列满足，，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为，，，所以数列{ }是首项为 ，公比为4的等比数列，所以，当 时， （累乘法求通项） . 因为时，，所以 ， 所以 . 44 7.（多选）已知等比数列的公比为，其前项的积为 ，且满足 ，， ，则( ) ABD A. B. C.的值是 中最大的 D.使成立的最大正整数 的值为198 45 【解析】 因为,所以，所以 .因为 ，所以,又，所以 ，故A 正确.由A选项的分析可知,,所以 ， 所以, ，故B正确，C错误.因为 ， , 所以使成立的最大正整数 的值为198，故D正确. 46 8.[2024重庆巴蜀中学月考]已知在等比数列中，， 是方程 的两个实数根，则 __________. 【解析】 由题得，，故， .根据等 比数列的性质知且 （在等比数列中,所有 序号为奇数的项的符号相同,所有序号为偶数的项的符号相同,所以也可由此结论及 得,），故， ，所以 . 47 9.数列满足， （1）求， ； 【解析】 由数列的递推关系,知， . 48 （2）设，求证：数列 是等比数列，并求其通项公式. 【解析】 . 因为，所以数列 的各项均不为0， 所以，即数列是首项为,公比为 的等比数列， 所以 . 49 $$