专题十六 空间向量和立体几何专练-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十六 知识点：证明线面平行,面面角的向量求法 典例1、如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点． （1）证明：面ABCD； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 随堂练习：已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 典例2、如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是 的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 随堂练习：如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点． （1）求证：； （2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求． 典例3、如图，已知在长方体中，，，点E是的中点. （1）求证：平面EBD； （2）求三棱锥的体积. 随堂练习：如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 典例4、如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，， M为PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，，，为 中点，___. （1）求证：四边形是直角梯形； （2）并求直线与平面所成角的正弦值. 从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 典例5、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形． （1）求二面角的大小； （2）在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由． 随堂练习：如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知， ，，为棱上的一点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 2025高考--空间向量和立体几何（一轮复习）专题十六答案 典例1、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC， 因为，平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD， 因为，，所以四边形AGFC是平行四边形， ，又平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD， 因为，平面, 所以平面平面ABCD， 因为平面ABCD，所以平面ABCD． （2）设， 由，得，且， 由题意知CA，CB，两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由得，取，得， 连接BD，因为，，，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：由题意知，又，所以H为的中点． 连接，因为为的中点，所以． 又平面, 平面, 所以平面； 易知，又平面, 平面, 所以平面 又平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． （2）连接，由题意知平面，故以F为坐标原点， 以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知， 所以． 设平面的法向量为． 则即，得，令，则，所以． 设平面的法向量为， 则，即，得，令，则，所以． 故． 所以平面与平面所成角的余弦值． 典例2、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形，∴. 又平面，平面，∴， ∵平面，， ∴平面， 又平面， ∴ （2）易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，∴，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，得.设直线与平面所成角为，由图可知， 则 即直线与平面所成角的正弦值为. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：由题意知：， ∴PO⊥平面AOB， 又∵平面AOB，所以PO⊥AB． 又点C为的中点，所以OC⊥AB， ， 所以AB⊥平面POC， 又∵平面POC，所以PC⊥AB． （2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，， 所以，，． 设平面PAB的法向量为，则取，则 可得平面PAB的一个法向量为， 所以． 典例3、答案： （1）证明见解析 （2）1 解：（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，则， ∵平面EBD，平面EBD， 因此，平面EBD； （2）在长方体中，平面， 因此，. 随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2） 解：（1）取中点，连接，易得且，又，， 则， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； （2）取中点，连接，则，又， 则四边形为平行四边形，则， ，又，，则， 又平面，， 则平面，又，， 则. 典例4、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）取PD的中点E，连接EM，AE，则且， 而，，则，又， 所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故. 因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD. （2）当N为AE的中点时，面PBD，理由如下： 法一：面ABCD，面ABCD， ，又，，平面PAD， 所以面PAD，而面PAD，则， 又，E是PD的中点，即， 而，面ABME， 所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N， 所以，又，面PBD， 所以面PBD，易知：，而，， ，即，而， N为AE的中点时，面PBD. 作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角， 因为，， ，则. 即直线BN与平面AD所成角的正弦值为. 法二：易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1). 设，则，，. 因为平面PBD， 故，可得. ，又平面的法向量为， 设BN与平面ABCD所成角为，则. 即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）详见解析 （2）详见解析 解：选择① (1) 证明：如图所示 因为平面，所以， 又因为，所以 又因为，，即 又因为 所以平面，所以 又因为，所以 又因为 所以四边形是直角梯形. 选择②. 因为平面，所以， 又因为，所以 又因为，，即 又因为 所以平面，所以 又因为平面， 平面， 平面∩平面 所以， 又因为 所以四边形是直角梯形 选择①. (2)过作的垂线交于点，由题意易知，， 故以为坐标系原点，以、、为、、 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由题意知，，，， 因为为的中点，由中点坐标公式知， 所以， ， 设平面的法向量为，则有，即， 令，得 设直线与平面所成的角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 选择②.解法同① 典例5、答案： （1） （2）存在；设是的中点，为线段的中点；证明见解析. 解：（1）如图，设分别是和的中点，连接，，, 则, ∵，是的中点, ∴; 又在正方形中有, ∴为二面角的平面角, ∵，，是的中点, ∴, 同理可得，又, ∴是等边三角形，故, ∴二面角为. （2）存在点，使平面平面，此时为线段的中点． 证明如下 :设，，分别为，和的中点，连接，，，, 由（1）知是等边三角形，故, 为的中点，故， 又∵，平面, ∴平面,平面 ，故,又, 平面,∴平面, ∵，分别为和的中点 ∴ , 又为线段的中点,∴，故四边形为平行四边形, ∴,∴平面,又平面, ∴平面平面. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）取中点，联结，则 ， 因为平面平面且平面 平面， 所以平面，而 平面，所以， 因为，所以 ， 因为 平面且 平面， 所以 平面， 又因为 平面，所以平面平面； （2）取PD的中点F，则 ，由（1）的结论知： 平面， 平面PAD， ， 平面PBD， 平面PBD， ， 平面 PBD，即平面 PAB在平面PBD上的投影是PBF， 在 中， ， ， 在 中， ， ， ， 设二面角的平面角为，由面积射影法， ， 即二面角的余弦值为； ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$