5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 （第二课时） 1 学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质. 2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等. 2 学习重点 学习难点 正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法 利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性、最值 3 新课导入 前面研究了正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待于我们去研究呢？继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有何规律？ 新课学习 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径． 问题： （2）这种爬升和滑落是体现了函数什么性质？ （1）过山车相当于什么模型？ 单调性 x sinx … 0 … …  … -1 0 1 0 -1 用表格表示为： 对于周期函数，如果把握了它的一个周期内的情况，那么也就把握了整个函数的情况. x cosx - … … 0 … …  -1 0 1 0 -1 y x o - -1 2 3 4 -2 -3 1  正弦函数、余弦函数的周期性 观察正弦函数图象，寻找一下正弦曲线和余弦曲线的对称线或者对称点. x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=sinx xR 正弦曲线关于点（ ，0） 和直线 对称. x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=cosx，x∈R 余弦曲线关于点( 和直线 x= 对称. 12 最大值与最小值 解： 方法总结 分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小. 解： 方法总结 比较三角函数值的大小时，先化三角函数为同名三角函数，再将角转化到同一个单调区间内，利用单调性比较大小.若α，β不在同一个单调区间内，则要通过诱导公式等工具先把α，β转化到同一个单调区间内再比较函数值的大小，有时可先大致判断函数值的符号，若符号不同，则大小易判. 解： 思考一下 分析：本例的求解是转化与化归思想的应用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题，然后解不等式得所求区间. 解： 23 方法总结 24 正弦函数、余弦函数的性质 图 象 y=sinx y=cosx 性 质 定义域 值域 奇偶性 周期性 x y -1 O 1 π 2π -2π -π y=sinx x y O 1 -1 y=cosx (－∞，＋∞) 奇函数 偶函数 最小正周期:2π 最小正周期:2π [－1,1] 25 性 质 单调性 最值 对称性 在上单调递增； 在上单调递减 在[－π＋2kπ， 2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 当时，ymax＝1 当时，ymin＝－1 当x＝2kπ (k∈Z) 时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z) 时，ymin＝－1。 对称中心:(kπ,0) (k∈Z) 对称轴: 对称中心:( 对称轴： x= 图 象 y=sinx y=cosx x y -1 O 1 π 2π -2π -π y=sinx x y O 1 -1 y=cosx 课堂巩固 B 28 D 29 30 A 31 32 A 33 B 34 D 模板来自于 http://docer.wps.cn 35 总结一下 1.正弦函数、余弦函数的单调性 2.正弦函数、余弦函数的最值 36 期待指正 A good person who comes up or grows up later 37 观察正弦函数 的图像. 当 时，曲线逐渐上升，是增函数， 的值由-1增大到1； 当 时，曲线逐渐下降，是减函数， 的值由1减小到-1. 由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它一个周期区间（如 ）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域. 正弦函数在每一个闭区间 上单调递增，正弦函数y= 是增函数，函数值由-1增大到1. 在每一个闭区间 时，正弦函数y= 是减函数，函数值由1减小到-1. 余弦函数在一个周期区间（如 ）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表 当 时，曲线逐渐上升，是增函数， 的值由-1增大到1；当 时，曲线逐渐下降，是减函数， 的值由1减小到-1. 由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间 时，余弦函数 是增函数， 的值由-1增大到1.在每一个闭区间 时，余弦函数 是减函数，函数值由1减小到-1. 正弦函数 的增区间为 ，减区间为 . 余弦函数 的增区间为 ，减区间为 对于余弦函数 有当且仅当 时，取得最大值1；当且仅当 时，取得最小值-1. 对于正弦函数 ，有当且仅当 时，取得最大值1；当且仅当 时，取得最小值-1 （1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合 ；使函数 取得最小值的x的集合，就是使函数 取得最小值的x的集合 .函数 的最大值是 ；最小值是 . 例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. （1） （2） （2）令 ，使函数 取得最大值的z的集合，就是使 取得最小值的z的集合 . 由 ，得 .所以，使函数 取得最大值的x的集合是 . 同理，使函数 取得最小值的x的集合是 . 函数 的最大值是3，最小值是-3. （1）求解例题的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值. （2）对于形如 的函数，一般通过变量代换（如设 ）化归为 的形式，然后利用正弦函数的最大（小）值求解. （3）余弦函数类似. （1）因为 ，正弦函数 在区间 上单调递增，所以 . 例4 不通过求值，比较下列各组数的大小： （1） 与 ；（2） 与 . （2） ， . 因为 ，且函数 在区间 上单调递减，所以 ， 即 . 分析：令 ，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数 在某个区间上单调递增，则函数 在相应的区间上也一定单调递增. 例5 求函数 的单调递增区间. 令 ，则 .因为 的单调区间是 ，且由 ，得 .所以，函数 的单调区间是 令 .由于 是 的减函数，因此函数 的减区间就是原函数的增区间. 你能求出函数 的单调区间吗？ 函数 的单调递减区间是 由于 得 设 ， , . 的单调递增区间是 . 求函数 的单调区间的的一般步骤：当 时，把“ ”看成一个整体，由 得出x的取值范围，即可得出函数的单调递增区间；由 得出x的取值范围，即可得出函数的单调递增区间. 1.已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则 的解析式可以是( ) A. B. C. D. 解析：由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中 ，B选项中 ，C选项中 ，D选项中 ， 排除选项CD，对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，故选：B. 2.已知函数 ，则( ) A. 在 上单调递减 B. 的图象关于直线 对称 C. 在 上单调递增 D. 的图象关于点 对称 解析：对于AC，当 时， ，则函数 在 上先增后减，A，C错误；对于B，而 ，则 的图象不关于直线 对称,B错误；对于D， ，则 的图象关于点 对称；D正确．故选：D. 3.若 在区间 上单调递增，则实数a的最大值为( ) A. B. C. D. 解析：易知将函数 的图象向右平移 得到函数 的图象，则函数 的增区间为 ，而函数又在 上单调递增，所以 ，于是 ，即a的最大值为 . 故选：A. 4.已知 ,函数 在 上单调递减,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得, , EMBED Equation.DSMT4 , , ．故A正确． 解析：当 时， ，而正弦函数 在 上单调递增，因此 ，解得 ，所以实数a的最大值为 .故选:B 5.已知函数 在 上单调递增，则实数a的最大值为( ) A. B. C. D. 6.已知函数 在 上单调递增，则 ( ) A. B. C. D. 解析： 在 上单调递增，又 的最小正周期 ， 则 在 处取得最小值，在 处取得最大值, 所以 ， ，即 , , 又 ，所以 .故选：D. $$