5.1.2弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2 弧度制 学习目标 1.了解弧度制 2.理解1弧度的角及弧度的定义 3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，速记几个特殊角的弧度数 4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式 学习重点 学习难点 了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算 弧度的概念 新课导入 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 新课学习 角度制规定 将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 除了角度制，我们还有另一种度量角的单位制——弧度制 探究一下 结论 弧度制的定义 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数.零角的弧度数是0. 说明 （1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）； （2）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数量也不同. 公式的常见变形为： 弧度制与角度制之间的换算关系 （1）度数与弧度数的换算除计算器外，还可借助《中学数学用表》进行计算； （2）今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略； （3）应该熟练记忆一些特殊角的度数与弧度数的对应值. 注意 例题来了 解： 特殊角的度数与弧度数的对应表 用弧度制表示弧长公式，扇形面积公式 证明 课堂巩固 C D D C B D 今天学习了什么 1.弧度制的概念 2.弧度制化角度制 3.扇形面积 非常 感谢 Template Of Teaching Courseware 如图，这条圆弧所对应的圆心角为 ，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)， .在旋转过程中，点Q所形成的圆弧 的长为 与 的比值是多少?你能得出什么结论? 比值只与 的大小有关 我们把半径为1的圆叫作单位圆，如图，在单位圆O中， 的长等于1， 就是1弧度的角. 在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对应的圆心角为 rad，那么 ，（2） 弧度数=角度数 角度数=弧度数 例1：按照下面要求，把 化成弧度： （1）精确值；（2）精确到0.001的近似值. 度 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o 弧度 0 例2：利用弧度制证明下列关于扇形的公式： EMBED Equation.DSMT4 ； . （其中R是圆的半径， 为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积 由公式 可知 ； 下面证明（2）（3）： 半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为 ， ，将n°转化为弧度，得 ，于是， ， 将 代入上式，即得 . 1.扇形的圆心角为 ，半径为4，则扇形的面积为( ) A. B. C. D. 解析：由扇形的面积公式可得 .故选：C. 2.将210°化成弧度为( ) A. B. C. D. 解析： . 3.下列说法错误的是( ) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的 ， 的角是周角的 C. 的角比1°的角要大 D.用弧度度量角时，角的大小与圆的半径有关 解析：A中说法显然正确；周角为 ，所以1°的角就是周角的 ，周角为 ，所以 的角是周角的 ，故B中说法正确；对于C，根据弧度制与角度制的互化，可得 ，故C中说法正确；对于D，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故D中说法错误.故选D. 4.下列各式不正确的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A， ，正确；对于B， ，正确；对于C， ，错误；对于D， ，正确.故选C. 5.已知扇形的周长为20cm,当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为( ) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 解析：扇形周长 ,扇形面积 由 ,可得 ,当且仅当 时,面积有最大值25, 扇形的圆心角 故选：B. 6.一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：设扇形中心角的弧度数为 ，半径为r， 由题意可知，扇形面积 ，弧长 ， 解得 ， ， 即扇形中心角的弧度数为1. 故选：D. 7.已知扇形的圆心角为120°,半径为3,则扇形的面积是________. 解析：扇形的圆心角为120°，即 ,故扇形面积 ， 故答案为： . 8.67°30′化为弧度,结果是____________. 解析： , , , 故答案为： . $$