专题17 对数10种常见考法归类（69题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题17 对数10种常见考法归类（69题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对数的定义理解 考点二 指数式与对数式的互化 （一）指对互化 （二）指对互化求值 考点三 解对数方程 考点四 利用对数求值 考点五 有附加条件的对数求值问题 考点六 对数的运算 考点七 换底公式的应用 考点八 用已知对数表示其他对数 考点九 对数运算性质的综合应用 考点十 对数的实际运用 知识点1：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点2：指数式与对数式的相互转化 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. 注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化． 知识点3：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点4：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． （2）对数换底公式的重要推论 ①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． ②＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． ③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：换底公式中底数c是是大于0且不等于1的任意数． （3）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 解题策略 1、指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3、利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 4、对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 5、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 6、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 7、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 8、利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 考点一 对数的定义理解 1．（2024秋·高一课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）对数log39和log93的意义一样．( ) （2）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）若ln N＝2，则N＝2e.( ) 2．（2024·全国·高一专题练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·全国·高一专题练习）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 4．（2024·全国·高一专题练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（2023·江苏·高一假期作业）在中，实数a的取值范围是 A． B． C．D． 6.（2023·全国·高一假期作业）若，则x的值为 ． 7.（2023·高一课时练习）计算： ； . 考点二 指数式与对数式的互化 （一）指对互化 8.（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（2024·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（2024·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（2024·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（2024·全国·高一课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． （二）指对互化求值 14.（2023·全国·高三专题练习）已知，，计算= 15.（2023·高一课时练习）已知，则的值为 ． 16.（2023·高一课时练习）已知，则 . 考点三 解对数方程 17．（2024·上海·高一专题练习）若，则的取值范围是 . 18．（2024·高一课时练习）若，则 ． 19．（2024秋·全国·高一随堂练习）若，则x的值为 ． 20．（2024·全国·高一专题练习）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 21．（2024·上海·高一专题练习）若，则 . 22．（2024秋·全国·高一随堂练习）已知，试求的值． 23.（2024秋·全国·高一随堂练习）若对数方程的两根为，则______. 24.（2023·全国·高三专题练习），则 . 25.（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 考点四 利用对数求值 26．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知函数，则的值是 ． 27．（2024秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）设函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 28．（2024秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）设函数 ． 29．（2024秋·安徽六安·高一六安二中校考期末）定义在上的函数满足，则 . 考点五 有附加条件的对数求值问题 30.（2023·高一课时练习）若，则 ． 31.【多选】（2023·高一课时练习）已知，则正确的有（    ） A． B． C． D． 32.（2023·天津·高二学业考试）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 考点六 对数运算性质的应用 33．（2024秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习） ． 34．（2024秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习） . 35．（2024秋·山东泰安·高三山东省泰安第二中学校考阶段练习） 36．（2024·全国·高一随堂练习）求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 37．（2024·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 38.（2023·全国·高三专题练习）化简： ． 39.（2023·全国·高三专题练习）计算： (1); (2) 考点七 换底公式的应用 40．（2024秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 41．（2024秋·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）设，若，则（    ） A． B．6 C． D． 42.（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 43．（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若，且，则实数的值为 . 44．（2024秋·天津河东·高三校考阶段练习）设，则 ． 45.（2023·全国·高三专题练习）设，求证：. 46.（2023·高一课时练习）设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 47．（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，则 ． 48．（2024秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则 ． 49.【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 50.（2023春·天津南开·高二统考期末）计算： . 51．（2024·全国·高一随堂练习）利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 52.（2023·全国·高三专题练习）计算 (1) . (2) . 53．（2024·全国·高一课堂例题）利用换底公式证明： (1)； (2)． 54．【多选】（2024秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点八 用已知对数表示其他对数 55．（2024·全国·高一随堂练习）用，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 56.（2023春·上海黄浦·高一统考期末）已知，，若用、表示，则 ． 57.（2023·江苏·高一假期作业）已知，，求.（用表示） 58.（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示 59．（2024·全国·高一随堂练习）用m，n或b，c表示x，其中m，n，a，b，c均大于0，且． (1)； (2)． 60．（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值（用来表示）. 61．（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）计算； （2）设，试用表示； （3）设是非零实数，，求的值. 考点九 对数运算性质的综合应用 62．【多选】（2024秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 63．【多选】（2024·湖北黄冈·统考模拟预测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．D． 64．【多选】（2024秋·高一课时练习）若且，，，、，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 65．【多选】（2023春·河南焦作·高一统考期末）若，则（    ） A． B． C． D． 考点十 对数的实际运用 66.（2023·全国·高一专题练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：） A．187% B．230% C．530% D．430% 67.（2023·四川宜宾·统考三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 68.（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（    ）倍． A．1000 B．100 C．2 D． 69.（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：） A．308 B．309 C．1023 D．1024 $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题17 对数10种常见考法归类（69题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对数的定义理解 考点二 指数式与对数式的互化 （一）指对互化 （二）指对互化求值 考点三 解对数方程 考点四 利用对数求值 考点五 有附加条件的对数求值问题 考点六 对数的运算 考点七 换底公式的应用 考点八 用已知对数表示其他对数 考点九 对数运算性质的综合应用 考点十 对数的实际运用 知识点1：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点2：指数式与对数式的相互转化 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. 注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化． 知识点3：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点4：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． （2）对数换底公式的重要推论 ①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． ②＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． ③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：换底公式中底数c是是大于0且不等于1的任意数． （3）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 解题策略 1、指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3、利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 4、对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 5、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 6、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 7、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 8、利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 考点一 对数的定义理解 1．（2024秋·高一课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）对数log39和log93的意义一样．( ) （2）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）若ln N＝2，则N＝2e.( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 【分析】根据对数的概念及运算判断即可. 【详解】（1）底数及真数不同，表示不同的对数，故错误； （2）对数的真数大于0，故错误； （3）根据对数的意义知，故正确； （4）可得，故错误. 故答案为：错误；错误；正确；错误 2．（2024·全国·高一专题练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 3．（2024·全国·高一专题练习）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据对数的定义即可求得答案. 【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确； 对③，，错误；对④，，错误. 故选：A. 4．（2024·全国·高一专题练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 5.（2023·江苏·高一假期作业）在中，实数a的取值范围是 A． B． C．D． 【答案】C 【详解】由对数的定义知， 解得 或 . 故选C． 6.（2023·全国·高一假期作业）若，则x的值为 ． 【答案】4 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 7.（2023·高一课时练习）计算： ； . 【答案】 8 【详解】 , 故答案为： 考点二 指数式与对数式的互化 （一）指对互化 8.（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 9．（2024·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的定义运算求解. 【详解】（1）因为（，且），所以. （2）因为（，且），所以. （3）因为（，且），所以. （4）因为（，且），所以. 10．（2024·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互化公式，即可求解. 【详解】（1）（且）化为对数式是， 所以化为对数式是； （2），对数式是； （3），对数式是； （4），对数式是. 11．（2024·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的定义运算求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以. 12．（2024·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式. 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 13．（2024·全国·高一课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】可化为，由此化简各个小问。 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 （二）指对互化求值 14.（2023·全国·高三专题练习）已知，，计算= 【答案】 【详解】∵，， ∴，， ∴. 故答案为：. 15.（2023·高一课时练习）已知，则的值为 ． 【答案】9 【详解】因为， 所以，. 故答案为：9. 16.（2023·高一课时练习）已知，则 . 【答案】 【详解】，，因此，. 故答案为：. 考点三 解对数方程 17．（2024·上海·高一专题练习）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【详解】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 18．（2024·高一课时练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对数的概念运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 19．（2024秋·全国·高一随堂练习）若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 20．（2024·全国·高一专题练习）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 21．（2024·上海·高一专题练习）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 22．（2024秋·全国·高一随堂练习）已知，试求的值． 【答案】 【分析】根据对数的性质，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可. 【详解】， . 23.（2024秋·全国·高一随堂练习）若对数方程的两根为，则______. 【答案】 【解析】，或， 由，由， 所以， 故答案为： 24.（2023·全国·高三专题练习），则 . 【答案】或 【详解】设，原方程可化为， 所以或， 所以或， 所以或. 故答案为：或. 25.（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由正数，满足，得， 所以，，结合，，得， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 考点四 利用对数求值 26．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知函数，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据分段函数的定义域，将代入解析式求，进而求的值. 【详解】由， 所以. 故答案为： 27．（2024秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）设函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求，再求的值. 【详解】因为，所以. 故选：A 28．（2024秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）设函数 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 29．（2024秋·安徽六安·高一六安二中校考期末）定义在上的函数满足，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数，结合周期性，代入求值. 【详解】因为，，所以当时，函数的周期为5， 所以. 故答案为：2 考点五 有附加条件的对数求值问题 30.（2023·高一课时练习）若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 31.【多选】（2023·高一课时练习）已知，则正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，，，，，故正确， ，故D不正确， ，当且仅当时取等号，，，故B正确， （因为，故等号不成立），，故C正确. 故选： 32.（2023·天津·高二学业考试）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由，可得， 则 故选：B 考点六 对数运算性质的应用 33．（2024秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习） ． 【答案】 【分析】根据指数及对数运算律计算化简即可. 【详解】. 故答案为： . 34．（2024秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习） . 【答案】 【分析】由对数的运算性质求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 35．（2024秋·山东泰安·高三山东省泰安第二中学校考阶段练习） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 36．（2024·全国·高一随堂练习）求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的概念、运算性质及换底公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8） . 37．（2024·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)10 (2)5 (3)18 (4)1 (5) (6)2 【分析】根据对数运算法则与性质即可得到答案. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 38.（2023·全国·高三专题练习）化简： ． 【答案】 【详解】 ． 故答案为： 39.（2023·全国·高三专题练习）计算： (1); (2) 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）原式＝. （2）原式 . 考点七 换底公式的应用 40．（2024秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 41．（2024秋·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）设，若，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由题，将指数式化成对数式，求出，，代入，根据对数运算性质可计算得答案. 【详解】由，知，且，，， 所以，． 故选：C． 42.（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以，且，所以，且， 且有，，所以，，， 所以，，则， 又因为且，解得. 故选：B. 43．（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若，且，则实数的值为 . 【答案】36 【分析】利用指数式与对数式转化表示出，，的值，然后利用对数运算求出值. 【详解】， ，，， 则 ， ，即. 故答案为：36 44．（2024秋·天津河东·高三校考阶段练习）设，则 ． 【答案】1 【分析】利用对数的定义，结合对数换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】由，得，则，由，得， 所以. 故答案为：1 45.（2023·全国·高三专题练习）设，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 46.（2023·高一课时练习）设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：， 且所以. 故选：D. 47．（2024秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 即，所以， 所以． 故答案为：. 48．（2024秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果. 【详解】由得：，，，， . 故答案为： 49.【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 50.（2023春·天津南开·高二统考期末）计算： . 【答案】 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：. 51．（2024·全国·高一随堂练习）利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） ； （2） . 52.（2023·全国·高三专题练习）计算 (1) . (2) . 【答案】(1) (2)2 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） =2 53．（2024·全国·高一课堂例题）利用换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用换底公式证明 （2）利用换底公式结合对数的运算性质证明即可 【详解】（1）由换底公式得，， 因此． （2）由换底公式得，． 54．【多选】（2024秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】取对数，利用对数的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】对A，由，可得，所以A错误； 对B，由，得，因为，所以，所以B正确； 对C，由，，可得，，所以，所以C正确； 对D，由，，可得， 因为，所以等号不成立，所以，又，所以，所以D正确. 故选：BCD 考点八 用已知对数表示其他对数 55．（2024·全国·高一随堂练习）用，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的运算法则和性质即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 56.（2023春·上海黄浦·高一统考期末）已知，，若用、表示，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，，所以，， 所以. 故答案为： 57.（2023·江苏·高一假期作业）已知，，求.（用表示） 【答案】 【详解】∵，所以，又 ∴， ； ∴． 故答案为：． 58.（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示 【答案】 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 59．（2024·全国·高一随堂练习）用m，n或b，c表示x，其中m，n，a，b，c均大于0，且． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数定义和运算性质运算求解. 【详解】（1）因为m，n均大于0，且， 所以. （2）因为a，b，c均大于0，且， 则，所以. 60．（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值（用来表示）. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据有理指数幂的运算法则和运算性质，即可求解； （2）根据对数的运算法则和运算性质，即可求解. 【详解】解：（1）由，即， 则，所以， 又由，因为，可得，所以， 所以 （2）由，可得， 又由，所以， 则. 61．（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）计算； （2）设，试用表示； （3）设是非零实数，，求的值. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）根据对数的运算法则和性质即可求解； （2）利用换底公式及对数的运算化简即可求解； （3）根据式子的结构特征，求出，再由平方差公式计算即可. 【详解】（1） . （2）. （3）由，得， 所以. 所以 . 考点九 对数运算性质的综合应用 62．【多选】（2024秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数和对数的转化得到，，，对于A选项，根据即可判断；根据对数的换底公式得到，即可判断；对于C选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D选项：根据基本不等式即可判断. 【详解】因为，，， 所以，，， 对于A选项：因为，则，即， 所以，故A选项错误； 对于B选项： ，故B选项正确； 对于C选项：， 因为，所以， 又， 所以，即，所以，故C选项错误； 对于D选项：因为，， 所以，故D选项正确； 故选：BD. 63．【多选】（2024·湖北黄冈·统考模拟预测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】依题意，，则，， 所以， 所以，所以A选项正确. ，所以B选项正确. ， 则，所以，所以C选项正确. ， 所以 ，所以D选项错误. 故选：ABC 64．【多选】（2024秋·高一课时练习）若且，，，、，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用对数的运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为且，，，、，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：CD. 65．【多选】（2023春·河南焦作·高一统考期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知可得，然后构造函数，则，然后通过判断函数的单调性可得，然后逐个分析判断. 【详解】因为，所以， 令，则， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以由，得， 对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A正确， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以D正确， 故选：AD 考点十 对数的实际运用 66.（2023·全国·高一专题练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：） A．187% B．230% C．530% D．430% 【答案】D 【详解】提升前的信息传送速度， 提升后的信息传送速度， 所以信息传递速度大约增加了． 故选：D. 67.（2023·四川宜宾·统考三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 【答案】0 【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，， 由题意，，， . 故答案为：0. 68.（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（    ）倍． A．1000 B．100 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：依题意，，则，即 则,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍. 故选：B. 69.（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：） A．308 B．309 C．1023 D．1024 【答案】B 【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态. 两边取以10为底的对数得， 所以. 由于，故是一个309位的数，即. 故选：B. $$