5.2.1 三角函数的概念课件-2024-2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1三角函数的概念 学习目标 1.认识单位圆，理解任意角的三角函数的定义 2.会利用相似的关系，由角的终边上任意一点的坐标的得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义 3.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴的符号，会求一些特殊角的三角函数值 学习重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 学习难点 三角函数的符号 新课导入 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角a，终止位置为OP. 探究一下 新课学习 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数， 通常记为： 例题来了 解： 证明： 各个象限角的三角函数值的符号 + + + + + + - - - - - - 正弦函数 余弦函数 正切函数 上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦 证明： 诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值相等. 【周而复始】：角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 解： 解： 课堂巩固 C c B D c B A 总结一下 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义 2.各个象限角的三角函数值的符号 3.诱导公式一 感谢您的聆听 当 时，点P的坐标是什么?当 或 时，点P的坐标又是什么？ 它们是唯一确定的吗? 一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一 确定吗? 利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点p的坐标为 和 .它们都是唯一确定的. 一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论 是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标x、纵坐标y 都是角 的函数.下面给出这些函数的定义. 设 是一个任意角， ，它的终边OP与单位圆交于点 . （1）把点P的纵坐标y叫做 的正弦函数，记作 ，即 ； （2）把点P的横坐标x叫做 的余弦函数，记作 ，即 ； 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 . 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值 为函数值的函数，称为正切函数. 正弦函数 ， ； 余弦函数 ， ； 正切函数 ， . 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 在直角坐标系中，作 （如图）. 易知 的终边与单位圆的交点坐标为 . 所以 ， ， . 例2 如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为 ，点P与原点的距离为r.求证： ， ， . 分析：观察图，由 ，根据三角函数的定义可以得到证明. 如图，设角 的终边与单位圆交于点 . 分别过点 ， ，作x轴的垂线 ， ，垂足分别为 ， ， 则 ， ， ， ， . 于是 ，即 . 因为 与 同号，所以 ，即 . 同理可得 ， . 求证：角 为第三象限角的充要条件是 . 先证充分性，即如果（1）（2）式都成立，那么 为第三象限角. 因为（1）式 成立，所以 角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为（2）式 成立，所以 角的终边可能位于第一或第三象限.因为（1）（2）式都成立，所以 角的终边只能位于第三象限.于是角 为第三象限角. 再证必要性，即如果角 为第三象限角，那么（1）（2）式都成立.因为角 为第三象限角，所以 ，同时 ，即（1）（2）式都成立. 综上，命题得证. ， ， ， 其中 . 例3 确定下列三角函数值的符号： （1） ；（2） ；（3） ；（4） . （1）因为 是第三象限角，所以 ； （2）因为 是第四象限角，所以 ； （3）因为 ，而 是第一象限角，所以 ； （4）因为 ，而 的终边在x轴上，所以 ，即 . 例4 求下列三角函数值： （1） （精确到0.001）； （2） ； （3） . （1） EMBED Equation.DSMT4 ； （2） ； （3） . 1. ( ) A. B. C. D. 解析： .故选:C. 2.若 ，且 ，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：因为 ，所以角α的终边在第二象限或x轴的负半轴或第三象限， 因为 ，所以角α的终边在第一象限或第三象限， 所以角α的终边在第三象限，故选：C. 3.已知角 的终边经过点，则 的值为( ) A. B. C. D. 解析：角 的终边经过点 ，则 ，由余弦函数的定义可得 ，故选B. 4.已知 ， ，则角 的终边与单位圆的交点坐标是( ) A. B. C. D. 解析：设角 的终边与单位圆的交点为 ， 则 ， ， 点 ，故选D. 5.当 为第二象限角时， 的值是( ) A.1 B.0 C.2 D.-2 解析： 为第二象限角， ， ， .故选C. 6.已知点 在第三象限，则角 的终边位置在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：依题意得 由 知， 是第二或第四象限角. 当 是第二象限角时， ，符合题意； 当 是第四象限角时， ，不符合题意.故选B. 7. ( ) A. B. C. D. 解析：由诱导公式可得 , , , 故选：A. $$