专题 1-1 初高衔接之计算补充练习【10类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-1 初高衔接之计算补充练习 由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求。 为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要。 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练 【题型2】一元二次方程根于系数的关系 【题型3】因式分解：含参十字相乘 【题型4】齐次式计算：比值消元 【题型5】 解二元二次方程组 【题型6】试根法解一元三次方程 【题型7】立方和与立方差公式 【题型8】二重根式的化简 【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移 【题型10】初识一元二次方程根的分布 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练 初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力。 知识扩充：三项完全平方公 1． 计算化简 （1） （2） 2． 运用公式展开： 【巩固练习1】已知，则等于________ 【巩固练习2】已知，，则________ 【巩固练习3】已知，，则 ． 【题型2】一元二次方程根于系数的关系 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 3． 已知是方程的两个实根，则有________，________ 4． 已知一元二次方程的两个实数根为，，若，求实数k的值． 【巩固练习1】若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 【巩固练习2】已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围．(2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 【题型3】因式分解：含参十字相乘 十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 5． 分解因式： 6． 分解因式： ． 7． 可因式分解为___________ 【巩固练习1】可因式分解为 ． 【巩固练习2】因式分解： 【巩固练习3】因式分解：． 【题型4】齐次式计算：比值消元 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 8． 已知：，则＝ ． 【巩固练习1】已知：，且，则＝ ． 【巩固练习2】已知：，则＝ ． 【题型5】 解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。 一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式； (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 9． 解下列方程组： 【巩固练习1】 【巩固练习2】 【题型6】试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。 试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。 10． 解方程: 【巩固练习1】解方程： 【巩固练习2】解方程： 【巩固练习3】 【题型7】立方和与立方差公式 立方差： 立方和： 11． 已知，求 【巩固练习1】 【巩固练习2】设，，求的值. 【题型8】二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现! ，要化简，则 12． 化简根式： 13． 化简根式： 【巩固练习1】化简根式： 【巩固练习2】化简根式： 【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移 分式型函数：形如的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还会用到分离常数法． 14． 已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值. 【巩固练习1】已知函数，求y的取值范围 【巩固练习2】求函数的对称中心 【题型10】初识一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 15． 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【巩固练习1】已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习2】关于x的方程至少有一个负根，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 模块三 【课后练习】 1． 已知，，求的值． 2． 已知，，则________ 3． 若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 4． 对以下式子进行因式分解 （1）（其中） （2） （3）（其中） （4） 5． 若，求 6． 解方程组： 7． 解方程： 8． 化简二重根式： 9． 设，求的值. 10． 已知函数，求y的取值范围和对称中心 11． *求关于x的方程至少有一个负实根，求a的取值范围. 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-1 初高衔接之计算补充练习 由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求。 为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要。 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练 【题型2】一元二次方程根于系数的关系 【题型3】因式分解：含参十字相乘 【题型4】齐次式计算：比值消元 【题型5】 解二元二次方程组 【题型6】试根法解一元三次方程 【题型7】立方和与立方差公式 【题型8】二重根式的化简 【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移 【题型10】初识一元二次方程根的分布 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】平方差公式与完全平方公式提升训练 初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力。 知识扩充：三项完全平方公 1． 计算化简 （1） 【答案】 【解析】原式= = （2） 【答案】 【说明】此处用到了平方差公式和分式的错位相消 【解析】原式= = = = 2． 运用公式展开： 【答案】 【解析】原式= 【巩固练习1】已知，则等于________ 【答案】3 【解答】解：， ， 或（舍去） 【巩固练习2】已知，，则________ 【答案】8 【解答】 【巩固练习3】已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【题型2】一元二次方程根于系数的关系 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 3． 已知是方程的两个实根，则有________，________ 【答案】7， 【解析】，，则， 4． 已知一元二次方程的两个实数根为，，若，求实数k的值． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是和， ∴，， ∵ ∴ ∴． 【巩固练习1】若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 【答案】 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴即，， ∴， 故答案为：． 【巩固练习2】已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）解：由题意，得：且， 解得：且； （2）∵该方程的两个实数根为，， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解． 【题型3】因式分解：含参十字相乘 十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 5． 分解因式： 【答案】 【详解】解： 6． 分解因式： ． 【答案】 7． 可因式分解为_______ 【答案】 【巩固练习1】可因式分解为 ． 【答案】 【巩固练习2】 【答案】 【巩固练习3】． 【答案】 【题型4】齐次式计算：比值消元 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 8． 已知：，则＝ ． 【答案】1或2 【详解】等式两边同时除以得到解方程即可 【巩固练习1】已知：，且，则＝ ． 【答案】 【解析】原方程两边同时除以得到 解得即得 [说明]注意是正数，要舍去负根 【巩固练习2】已知：，则＝ ． 【答案】5或 【详解】原方程两边同时除以x2得到解方程可得或1，从而原式=或 【题型5】 解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。 一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式； (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 9． 解下列方程组： 解： 由②，得．③ 把③代入①，得．整理后，得 解得. 将代入③，得 =3代入③得． 所以原方程组的解是或 【答案】 【解析】解： 由①，得③ 将②代入③，得 ②+④，得4x=8．解得x=2． 将x=2代入④，得4+3y=3． 解得，所以原方程组的解是 【巩固练习1】 【答案】 【解析】解： 由②，得．③ 把③代入①，得．整理后，得 解得. 将代入③，得 =2代入③得． 所以原方程组的解是或 【巩固练习2】 【答案】 【解析】解： 由①，得，即或 将代入②，得，得，即或 将代入②，得，得，即或 【题型6】试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。 试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。 10． 解方程: 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根，那么是方程的一个因式 故方程可以改写为 易得 ，则 解得或 【巩固练习1】解方程： 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 【巩固练习2】解方程： 【答案】 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 【巩固练习3】 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 【题型7】立方和与立方差公式 立方差： 立方和： 11． 已知，求 【答案】18 【解析】，故原式= 【巩固练习1】 【答案】 【解析】原式= 【巩固练习2】设，，求的值. 【答案】2702 【解析】直接计算可得， 故原式= [说明]注意综合使用完全平方公式与立方和公式． 【题型8】二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现! ，要化简，则 12． 化简根式： 【答案】 【解析】，故 13． 化简根式： 【答案】 【解析】 【巩固练习1】化简根式： 【答案】 【解析】，故 【巩固练习2】化简根式： 【答案】-3 【解析】 【题型9】分式型函数图像：分离常数与函数平移 分式型函数：形如的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还会用到分离常数法． 14． 已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值. 【答案】 【巩固练习1】已知函数，求y的取值范围 【答案】 【巩固练习2】求函数的对称中心 【答案】 对称中心： 【题型10】初识一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 15． 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得，故选：B 【巩固练习1】已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设方程关于的方程的两根分别为、， 则，解得. 故答案为：. 【巩固练习2】关于x的方程至少有一个负根，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，， 解得， 综上，，即关于x的方程没有一个负根时，， 所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是， 模块三 【课后练习】 1． 已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：，， ． ． ． 2． 已知，，则________ 【答案】 【解答】 3． 若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】4048 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4048． 4． 对以下式子进行因式分解 （1）（其中） （2） （3）（其中） （4） 【答案】（1）；（2）（3）（4） 5． 若，求 【答案】或 【解析】原式两边同除，得，解得或 则或 6． 解方程组： 【答案】 【解析】解：可以化为， ∴或． 则原方程可以变为或 解得或 7． 解方程： 【答案】或或 【解析】解：猜并且检验x=2是方程的一个根， 那么方程可以改写为 故 再次因式分解可得 原方程的根为或或 8． 化简二重根式： 【答案】 【解析】 9． 设，求的值. 【答案】110 【解析】 10． 已知函数，求y的取值范围和对称中心 【答案】，对称中心： 【解析】， 因为，故 函数图像平移： 对称中心： 11． *求关于x的方程至少有一个负实根，求a的取值范围. 【答案】 【详解】①当时，方程为，解得，符合要求． ②当时，方程为一元二次方程，此时有实根的充要条件是 判别式，即，解得， 设方程的两根分别为，则， ①方程有一负根一正根的充要条件为，解得； ②方程有两个负根的充要条件为，解得， 综上所述，当时，方程至少有一个负实根. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$