4.5.3函数模型的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

稻壳老师 4.5.3 函数模型的应用 学习目标 1.会通过具体的函数模型分析实际问题 2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型 学习重点 学习难点 应用函数模型解决实际问题 选择合适的数学模型解决问题 新课导入 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 新课学习 表是1950~1959年我国的人口数据资料: 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口总数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 67207 问题： (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在什么时候我国人口总数达到13亿? 分析:用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和年平均增长率r 问题解答： 由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合| 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的? 分析:因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数 建立数学模型 问题解答 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的． 单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼 请添加副标题 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案? 单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼 请添加副标题 x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 ... ... ... ... ... … ... 30 40 0 300 214748364.8 107374182.4 我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼 请添加副标题 o x y 20 40 60 80 100 120 140 4 2 6 8 10 12 画出三个函数模型 单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼 请添加副标题 由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案工的函数的增长情况很不相同，可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多;在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少;在第5~8天，方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 分析:本题提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足丽条要求:第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5;第二，奖金不超过利润的25%，即y<0.25x.不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认. 单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼 400 600 800 1000 1200 200 1 2 3 4 5 6 7 8 x y o y=5 y=0.25x 问题解答 画出函数的图像为 单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼 建立函数模型解决问题的基本过程 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模型的解 化归 解释说明 推理 运算 建立函数模型时,求解函数解析式的方法： (1)待定系数法:已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型,此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值,就可以确定函数的解析式。 (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。 建立函数模型时,求解函数解析式的方法： (3)方程法:用x表示自变量或其他相关的量.根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式,此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含x,y的二元方程。 课堂巩固 C D 解析：D中增长速度不变，A，C中增长速度越来越快，只有B符合题 B C C A 12 总结一下 1.建立函数模型解决问题的基本过程 2.建立函数模型时,求解函数解析式的方法 谢谢观看 THANK YOU 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为 ， ，由 可得1951年的人口增长率 0. 同理可得 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ， 于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为 令y0=55 196、则我国在1950~1959年期间的人口増长模型为 根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数 的图象 （2）将y=130 000代入 ，由计算工具得 t≈39.15. 所以，如果人口按表增长趋势，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已占到13亿. 设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y，根据问题的实际意义，可选择如下模型: 由碳14的半衰期方5730年，得 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位:万元)随销售利润(单位:万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x， , ，其中哪个模型能符合公司的要求？ 由图象可知，在区间 上， 模型 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 的图象 都有一部分在直线上，只有模型 的图象一直在直线 下方，所以按模型 进行奖励符合要求 1.三个变量 ， ， 随着变量x的变化情况如下表所示. x 1 3 5 7 9 11 5 135 625 1715 3635 6655 5 29 245 2189 19685 177149 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( ). A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析：从题中表格可以看出，三个变量 ， ， 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增长速度最快，应呈指数型函数变化，变量 的增长速度最慢，应呈对数型函数变化.故选C. 2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( ). A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数型函数模型 D.对数型函数模型 解析：由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢. 4.某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量以每小时 的速度呈直线上升；注射结束后,血液中的药物含量每小时以 的衰减率呈指数衰减.若该药物在病人血液中的含量保持在 以上时才有疗效,则该药物对病人有疗效的时长大约为( ) （参考数据： , , , ） A.2小时 B.3小时 C.4小时 D.5小时 解析：设时间为x，血液中药物的浓度为y，则 , 所以当 时， ，解得 ， 当 时, ，即 ,即 ，所以 ， 即 ，综上可得 ，所以 ，即该药物对病人有疗效的时长大约为4小时；故选：C. 5.已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为 , 为初始量.则该塑料经自然降解,残留量为初始量的50%.至少需要_________年（精确到年）( ) （参考数据： ） A.5 B.6 C.7 D.8 解析：若残留量不足初始量的50%,则 , , 两边取常用对数 , , 所以至少需要7年.故选：C. 6.若镭经过100年后剩留量为原来质量的 ，设质量为1的镭经过x年剩留量为y，则y与x的函数关系为( ). A. B. C. D. 解析：设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则 ，所以 ，所以 . 7.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： ）满足函数关系 （ 为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在 的保鲜时间为192小时,在 的保鲜时间是48小时,则该食品在 的保鲜时间是____________小时. 解析：由题意知, , 解得： ,所以 , 所以当 时, . 故答案为：12. $$