4.2 指数函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2 指数函数 学习目标 01 02 03 理解指数函数的概念和意义 理解指数函数的单调性和特殊点 体会指数函数模型的重要性 学习重点 学习难点 指数函数的概念和图象 指数函数性质的应用 新课导入 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说："我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了。区区小数，几粒麦子，这有何难，"来人"，国王令人如数付给西塔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放22粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长看，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。 请在此处输入您的标题 Please enter your title here 思考一下: （1）麦粒的总数最后是多少？ （2）这个模型所用的函数模型是什么？ 通过下面的学习给出答案吧 新课学习 随看中国经济高速增长,人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,由于旅游人数不断增加A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量. 2010 问题：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据表格，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律. 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 ………… 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； ...x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍， 那么y=1.11x(x∈[0,+∞)这是一个函数，其中指数x是自变量。 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 问题：生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 解： 设衰减率为p,把刚死亡的生物体内碳14含量看成一个单位 死亡1年后，生物体内碳14含量为 死亡2年后，生物体内碳14含量为 死亡3年后，生物体内碳14含量为 死亡5730年后，生物体内碳14含量为 有条件 指数函数的定义 指数型函数： 请在此处输入您的标题 Please enter your title here 指数函数的性质 例题来了 解： 2010 思考一下 y=2x x y -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 指数函数的图像的性质 一般地，指数函数的图象和性质如所示. a>1 0<a<1 图象 性质 定义域： 值域： 过定点： R (0,+∞) (0,1) 在R上单调递减 在R上单调递增 指数函数的性质应用 请在此处输入您的标题 Please enter your title here 解： 2010 指数函数的单调性的判断 由于指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1 的大小关系，与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义. 课堂巩固 D 2010 D C A C 请在此处输入您的标题 Please enter your title here 4 总结一下 1.指数函数的定义 2.指数函数图象和性质 3.指数函数的应用 谢谢观看 一般地，函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为 . ， 若 ，如 ，当 ， 等时，在实数范围内的函数值不存在.若a=1， ，是一个常量，没有研究的意义. 故只有满足 的形式才能称为指数函数，a为常数. 如： ， ， ， 都不符合 的形式，所以都不是指数函数. 例1.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)，且f(3)=π,求f(0)，f(1)，f(－3)的值. 因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)，且f(3)=π， 所以a3=π，解得 ， 于是 ， 所以f(0)＝ ，f(1)＝ ，f(－3)＝ . 画出函数 的图象，并与函数 的图象进行比较 描点法画出 的图象 因为 = ，点（x，y）与点（-x，y）关于y轴对称，所以函数 图象上任意一点P（x，y）关于y轴的对称点P1（-x，y）都在函数 的图象上，反之亦然. 由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.根据这种对 称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数 的图象，画出 的图象 选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，如图，选取底数a的若干值，用信息技术画图，发现指数函数y=ax的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型.因此，指数函数的性质也可以分0<a<1和a>1两种情况进行研究. 例2 比较下列各题中两个值的大小. (1) ； (2) ； (3) . 分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3）， 和 不能看作某一个指数函数的两个函数值，可以利用函数y= 和y= 的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来. （2）同理，因为0﹤0.8﹤1，所以指数函数 是减函数.因为— ，所以 . （3）由指数函数的性质可知， ，所以 . （1） 和 可以看作函数 当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值，因为底数1.7大于1，所以指数函数 为增函数，又因为2.5小于3，所以 ； 特别地，(1）对于形如 的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数 及函数 的单调性来处理．(2）对于形如 的复合函数，可令 ，由内层函数 及外层函数 的单调性来处理. 1.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为 ，质量M与时间T（单位：天）的函数关系式为 （其中H为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为 的锶89经过30天衰减后质量约变为( ) （参考数据： ） A. B. C. D. 解析：由题意，锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即 ，则 ，所以质量为 的锶89经过30天衰减后， 质量大约为 ，故选：D. 2.已知函数 ，且 .若 ，则 ( ) A.2024 B.2023 C.2022 D.2025 解析：由 ，得 ， ， . 故选：D. 3.若函数 是指数函数，则( ). A. 或 B. C. D. 且 解析：由指数函数的概念知 ，解得 . 4.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( ). A. B. C. D. 解析： 在 上是增函数， . 为减函数， . . 5.函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图所示，a，b，c，d分别是 ， ， ， 中的一个，则a，b，c，d的值分别是( ). A. ， ， ， B. ， ， ， C. ， ， ， D. ， ， ， 解析：因为函数 为指数函数，则 ，解得 . 故答案为：4. 6.函数 是指数函数,则a的值为________． $$