第04讲 一元二次方程及其解法（7大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第04讲 一元二次方程及其解法（7大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的解 题型四 一元二次方程的解的估算无变式 题型五 配方法的应用 题型六 解一元二次方程--直接开平方法 题型七 解一元二次方程--配方法 题型八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型九 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十 公式法解一元二次方程 题型十一 因式分解法解一元二次方程 题型十二 换元法解一元二次方程 题型十三 一元二次方程的根与系数的关系 知识点01： 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点02： 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点03： 直接开方法解一元二次方程 　 (1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点03： 配方法解一元二次方程 　 (1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点04： 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点05： 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点06： 公式法解一元二次方程 一．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 二、1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点07： 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【典型例题一 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 5．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 6．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【典型例题二 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 4．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【典型例题三 二次根式的混合运算】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（2024·广东茂名·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 3．（2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 4．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知关于的方程的一个根为，求的值． 6．（22-23八年级上·上海·课后作业）判断3、﹣4、﹣2是不是一元二次方程的根． 【典型例题四 一元二次方程的解的估算无变式】 1．（22-23九年级上·重庆潼南·期末）对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 2．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期中）根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.1）（    ） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.19 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 5．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 6．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【典型例题五 配方法的应用】 1．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D． 2．（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 3．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 4．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 5．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程：． 6．（22-23九年级上·四川巴中·期中）如果x2﹣10x+y2﹣12y+61＝0，求的值． 【典型例题六 解一元二次方程--直接开平方法】 1．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 5．（22-23八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【典型例题七 解一元二次方程--配方法】 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）不论x为何值，的值总是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 3．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 4．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 5．（23-24九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【典型例题八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 2．（23-24九年级下·河南南阳·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）关于的方程，若通过配方得，则 ． 5．（22-23九年级上·陕西安康·期末）已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． (1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ (2)鸡舍面积能否达到？ 【典型例题九 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（2024·河南周口·三模）若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南开封·二模）若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 4．（2024·广东汕尾·一模）方程的根的判别式的值是 ． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 6．（23-24九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【典型例题十 公式法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 4．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 5．（23-24九年级上·山东济宁·期中）用公式法解方程：． 6．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【典型例题十一 因式分解法解一元二次方程】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 3．（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ． 4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，它的根是 ． 5．（2024·广西桂林·二模）解一元二次方程：． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程： (1)； (2)； (3) 【典型例题十二 换元法解一元二次方程】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或 2．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 4．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 6．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【典型例题十三 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 4．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 5．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 6．（22-23九年级上·广东汕头·期中）已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 【变式训练1 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ． 4．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 5．（22-23八年级上·上海静安·课后作业）关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 6．（2023九年级上·全国·专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）； （2）． 【变式训练2 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林·二模）一元二次方程根的判别式的值是 ． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 5．（22-23八年级上·上海·课后作业）把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项． （1）；               （2）． 6．（22-23八年级上·上海·课后作业）把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数． （1）；                （2）； （3）；        （4）．（是已知数） 【变式训练3 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知是一元二次方程的解，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程的一次项系数是 ． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . 5．（22-23九年级上·广东中山·期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： （1）； （2）． 【变式训练4 一元二次方程的解的估算无变式】 1．（22-23九年级上·广东潮州·期末）根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 4．（23-24八年级下·山东东营·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【变式训练5 配方法的应用】 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 4．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 5．（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）用配方法解方程：． 6．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【变式训练6 解一元二次方程--直接开平方法】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为 ． 4．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）用配方法解方程，经过配方，得到 ． 5．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）解方程：． 6．（22-23七年级上·重庆永川·阶段练习）提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【变式训练7解一元二次方程--配方法】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 5．（22-23八年级下·北京房山·期中）用适当的方法解方程：2x2+3x﹣1＝0． 6．（22-23九年级下·江苏扬州·期中）（1）解方程：（1） （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【变式训练8 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南永州·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 4．（2024·上海黄浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)当m取何值时，方程有两个相等的实数根？ 【变式训练9 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如果关于的一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　） A． B． C． D． 2．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（2024·四川成都·二模）请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是 ．（写出一个即可） 4．（2024九年级下·上海·专题练习）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 ． 5．（2024·陕西渭南·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，求的取值范围． 6．（2024·江西南昌·一模）已知关于的方程． (1)当时，求原方程的解． (2)若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【变式训练10 公式法解一元二次方程】 1．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 3．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 4．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 6．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【变式训练11 因式分解法解一元二次方程】 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 5．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 6．（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【变式训练12 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的一元二次方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若，则 ． 4．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b均为常数，），则方程的解是 ． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 6．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． ∴或． ∴，． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练13 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（2024·浙江杭州·三模）方程的一个根为，则另一个根为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 3．（2024·山东淄博·二模）若，是一元二次方程的两个根，则 ． 4．（2024·山东济南·二模）若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ． 5．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知方程的一个根为2，求方程的另一根和m的值 6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川泸州·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．4 D．5 6．（2024·贵州贵阳·模拟预测）一元二次方程的常数项是 ． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知方程，则 ． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）利用配方法填空：x2-x+ =． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 10．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 11．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）用适当的方法解方程：． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程 (1)； (2)； 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）已知，关于x的一元二次方程． (1)试说明：不论m取何值时，该方程总有实数根； (2)若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围． 14．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 15．（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程及其解法（7大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的解 题型四 一元二次方程的解的估算无变式 题型五 配方法的应用 题型六 解一元二次方程--直接开平方法 题型七 解一元二次方程--配方法 题型八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型九 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十 公式法解一元二次方程 题型十一 因式分解法解一元二次方程 题型十二 换元法解一元二次方程 题型十三 一元二次方程的根与系数的关系 知识点01： 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点02： 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点03： 直接开方法解一元二次方程 　 (1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点03： 配方法解一元二次方程 　 (1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点04： 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点05： 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点06： 公式法解一元二次方程 一．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 二、1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点07： 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【典型例题一 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；     D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数； 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 【答案】③④⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解． 【详解】解：①虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是方程； ②不是整式方程；不是一元二次方程； ③是整式方程，可整理为，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程； ④整理为，是一元二次方程； ⑤不一定是一元二次方程，因为当时，它不是一元二次方程，只有当时，它是一元二次方程； ⑥整理为，它是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑦可整理为，因为不可能等于0，所以是一元二次方程； ⑧不是整式方程，不是一元二次方程． 答案：③④⑦ 5．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 6．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次项系数非零可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：对方程进行整理，即为：， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 【典型例题二 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项． 故选A． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的一次项为， 一次项系数为． 故选：C． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 4．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【详解】解：， 去括号，得， 合并，得， 所以常数项是． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1 【详解】将方程两边去分母、去括号、移项、合并同类项，使方程右边为零，左边按x的降幂形式排列． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 此方程的二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【典型例题三 二次根式的混合运算】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选C． 2．（2024·广东茂名·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，依题意得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 即：， 故选A． 3．（2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 4．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程 得 解得： 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知关于的方程的一个根为，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，由于一根为，把代入方程即可求得的值． 【详解】解：关于的方程的一个根为3， ， 解得， 的值为． 6．（22-23八年级上·上海·课后作业）判断3、﹣4、﹣2是不是一元二次方程的根． 【答案】3和－2是原方程的根，－4不是原方程的根． 【分析】把3、－4、－2分别代入原方程，即可得到结论． 【详解】当x=3时，左边=2×32－3=15，右边=12+3=15，左边=右边，故3是原方程的根；当x=－4时，左边=2×（－4）2+4=36，右边=12－4=8，左边≠右边，故－4不是原方程的根； 当x=－2时，左边=2×（－2）2+2=10，右边=12－2=10，左边=右边，故－2是原方程的根． 故3和－2是原方程的根，－4不是原方程的根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入检验． 【典型例题四 一元二次方程的解的估算无变式】 1．（22-23九年级上·重庆潼南·期末）对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 【答案】A 【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出和的值，再进行估算即可得出结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键． 2．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期中）根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.1）（    ） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.19 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】使的值最接近0的数即是方程的近似解，据此作答即可． 【详解】由表格数据可知，当x=0.6时，的值为-0.04，最接近0， 故x=0.6是方程的近似解， 故选：D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解得知识，理解使的值最接近0的数即是方程的近似解，是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 5．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 6．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【典型例题五 配方法的应用】 1．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 直接开方得：， ∴， 故选：A． 2．（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 4．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 【答案】 【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶当时， ， 当时， ， ∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型． 5．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】利用配方法求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（22-23九年级上·四川巴中·期中）如果x2﹣10x+y2﹣12y+61＝0，求的值． 【答案】 【分析】先把原方程化为完全平方公式的形式，再根据非负数的性质求出x、y的值，代入进行计算． 【详解】解：∵x2﹣10x+y2﹣12y+61＝（x﹣5）2+（y﹣6）2＝0， ∴x＝5，y＝6， ∴＝． 【典型例题六 解一元二次方程--直接开平方法】 1．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可． 【详解】解： 移项得： 配方得： 即 故选：B 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 5．（22-23八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 【典型例题七 解一元二次方程--配方法】 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型． 根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案． 【详解】 解：方程整理得：， 配方得：，即， ，， 则． 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）不论x为何值，的值总是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，把式子化成判断值的情况是解题的关键． 【详解】解：， ∴不论x为何值，的值总是正数， 故选A． 3．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可． 【详解】 ， ∴，． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 【典型例题八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 2．（23-24九年级下·河南南阳·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根的判别式，根据的值可以判断方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式来判断即可． 【详解】解：∵为关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解． 【详解】解： 配方，得 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）关于的方程，若通过配方得，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】 即 ∴ ∴ 依题意， ∴ ∴ 故答案为：． 5．（22-23九年级上·陕西安康·期末）已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】证明：， ∵， ∴，即， ∴不论取何值，方程必有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． (1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ (2)鸡舍面积能否达到？ 【答案】(1)矩形鸡舍的长为，宽为 (2)不能，见解析 【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案； （2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得，． 当时，（舍去）， 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为； （2）解：当， 则， 整理得：， 则， 故所围成鸡舍面积不能为86平方米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用题目给的条件列出一元二次方程是解题的关键． 【典型例题九 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（2024·河南周口·三模）若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案． 【详解】原方程可变形为， 方程有实数根， ， 故选：B 2．（2024·河南开封·二模）若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得，解得， ， 的值可以为， 故选：A． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了根的判别式以及点的坐标，由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：点在第二象限，，， ， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（2024·广东汕尾·一模）方程的根的判别式的值是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式代入数据计算即可． 【详解】解：在方程中， ∵， ∴． 故答案为：40． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 【答案】，a的最小整数值是 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论． 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得， 的最小整数值是． 6．（23-24九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 （2）解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求解参数．熟记相关结论即可． 【典型例题十 公式法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由公式法解一元二次方程．根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可． 【详解】A．方程的解为：，故符合题意； B．方程的解为：，故不符合题意； C．方程的解为：，故不符合题意； D．方程的解为：，故不符合题意． 故选A． 3．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 5．（23-24九年级上·山东济宁·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是先求出的值，再代入公式求出方程的解． 【详解】解：， ，，， ， ， 所以，． 6．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 【典型例题十一 因式分解法解一元二次方程】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，． 故选C 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 把左边提公因式，用因式分解法求解即可． 【详解】 或 ，， 故选：B． 3．（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用公式法解方程，再进一步计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，它的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】解： ，， ∴， ∴ 解得，． 故答案为：，． 5．（2024·广西桂林·二模）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，； （3）∵， ∴， ∴或， ∴，． 【典型例题十二 换元法解一元二次方程】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或 【答案】A 【解析】略 2．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则变为，得到一元二次方程的两根分别为，或者，即可求得答案． 【详解】解：设，则变为： ， ∵一元二次方程的两根分别为， ∴一元二次方程的两根分别为， ∴或者， 解得． 故选：B 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【详解】解：移项，得， 提公因式得，， 或， ，． 故答案为：，． 4．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将看成一个整体，转换成一个关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：令，则， 原方程变为，， 即，， 解得：，； 又， ∴． 6．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以原方程的解为，． 【典型例题十三 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，根据换元法求解方程作答即可． 【详解】令，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，据此解方程得到或（舍去），则． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 5．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 6．（22-23九年级上·广东汕头·期中）已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】k的值为0，该方程的另一个根2． 【分析】根据根与系数的关系建立方程组求解即可得出结论． 【详解】解：设关于x的一元二次方程x2﹣（k-1）x﹣6=0的另一根为m， 根据根与系数的关系得，-3+m=k-1，-3m=-6， ∴m=2，k=0， 即：k的值为0，方程的另一个根为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记方程根与系数的关系是解本题的关键． 【变式训练1 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，当时，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；； ⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有2个， 故选：B． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到，，然后代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·上海静安·课后作业）关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 【答案】 【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：， 结合题意得： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）； （2）． 【答案】（1），各项的系数分别是：，，；（2），各项的系数分别是：，，． 【分析】（1）两边都乘-1，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数； （2）两边同乘-12，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数． 【详解】（1）两边都乘-1，就得到方程： 3x2+4 x -2=0． 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2． （2）两边同乘-12，得到整数系数方程： 6 x 2-20 x +9=0． 各项的系数分别是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程． 【变式训练2 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，据此判定即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】A．不是一元二次方程的一般形式，故A错误，不符合题意； B．不是一元二次方程的一般形式，故B错误，不符合题意； C．是一元二次方程的一般形式，故C正确，符合题意； D．不是一元二次方程的一般形式，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，根据定义即可得出答案，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故选：C． 3．（2024·吉林·二模）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不能为0、未知数的最高次数为2，即可求解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：3． 5．（22-23八年级上·上海·课后作业）把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项． （1）；               （2）． 【答案】答案见解析 【分析】（1）首先移项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可； （2）首先去括号，移项、合并同类项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可． 【详解】（1），，二次项是，一次项是－5x，常数项是﹣3； （2），，，，二次项是，一次项是x，常数项是﹣5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项． 6．（22-23八年级上·上海·课后作业）把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数． （1）；                （2）； （3）；        （4）．（是已知数） 【答案】答案见解析 【分析】（1）先移项，再找出各项与各项的系数即可； （2）先去括号、再合并同类项，再找出各项与各项的系数即可； （3）先去括号、移项，再合并同类项，再找出各项与各项的系数即可； （4）已经是一般形式，找出各项与各项的系数即可． 【详解】（1），，二次项为：，一次项为：，常数项为：0，二次项系数为：，一次项系数为，常数项为：0； （2），，二次项为：，一次项为：－10x，常数项为：－2，二次项系数为：25，一次项系数为：－10，常数项为：－2； （3），，二次项为：，一次项为：－6m，常数项为：－5，二次项系数为：7，一次项系数为：－6，常数项为：－5； （4），二次项为：，一次项为：－ax，常数项为：b，二次项系数为：3，一次项系数为：－a，常数项为：b． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括号、移项，合并同类项的法则是解题的关键． 【变式训练3 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知是一元二次方程的解，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念，把代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得： 故选：D 2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边值相等的未知数的值；把分别代入四个选项中的方程，判断左右两边的值是否相等即可． 【详解】解：当时， 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 故选：B． 3．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别为3，， 即， 故答案为： 5．（22-23九年级上·广东中山·期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值． 【答案】a＝0或a＝1 【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值． 【详解】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0， 整理得：a2﹣a＝0， 即：a（a﹣1）＝0 解得：a＝0或a＝1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据方程的解的定义，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）根据方程的解的定义，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可 【详解】解：（1）把x＝代入原方程， 左边＝2×−6＝0，右边＝0， ∵左边＝右边 ∴是方程的解． 把x＝代入原方程， 左边＝2×−6≠0，右边＝0， ∵左边≠右边 ∴不是方程的解． 把x＝−代入原方程， 左边＝2×−6＝0，右边＝0， ∵左边＝右边 ∴−是方程的解． 把x＝−代入原方程， 左边＝2×−6≠0，右边＝0， ∵左边≠右边 ∴−不是方程的解． （2）把x＝5＋2代入原方程， 左边＝2× ≠24，右边＝24， ∵左边≠右边 ∴5＋2不是方程的解． 把x＝5−2代入原方程， 左边＝2×≠24，右边＝24， ∵左边≠右边 ∴5−2不是方程的解． 把x＝−5＋2代入原方程， 左边＝2×＝24，右边＝24， ∵左边＝右边 ∴−5＋2是方程的解． 把x＝−5−2代入原方程， 左边＝2×＝24，右边＝24， ∵左边＝右边 ∴−5−2是方程的解． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，学会利用代入法进行验证一个数是不是方程的解． 【变式训练4 一元二次方程的解的估算无变式】 1．（22-23九年级上·广东潮州·期末）根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解. 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个根x的范围是； 故选：B. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键. 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 3．（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入原方程即可解出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴将将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：3． 4．（23-24八年级下·山东东营·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， ． 故答案为1. 【变式训练5 配方法的应用】 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ． 故选D． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 4．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式处理，将原式化为求解． 【详解】解： ， ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程配方法求解，掌握配方法是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解即可； （2）先配方，再求最值． 【详解】（1）解：． 故答案为：；1． （2）解：， ∵， ∴当即时， 原式有最小值． 【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键． 【变式训练6 解一元二次方程--直接开平方法】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故答案为． 4．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）用配方法解方程，经过配方，得到 ． 【答案】 【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，牢记完全平方公式． 5．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）解方程：． 【答案】或 【分析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解方程是解本题的关键． 6．（22-23七年级上·重庆永川·阶段练习）提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【答案】(1)－5，， (2)， 【分析】（1）根据乘方运算求解即可； （2）根据题中给出的解题思路求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，解得 ，解得 故答案为：－5，，． （2）（2）解：两边同时除以3得：． 根据乘方运算，得：或 分别解这两个一元一次方程，得， 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意． 【变式训练7解一元二次方程--配方法】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 3．（23-24九年级上·天津·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用开平方法解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程，得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 5．（22-23八年级下·北京房山·期中）用适当的方法解方程：2x2+3x﹣1＝0． 【答案】 【分析】整理后，把常数项移项得，再把方程两边都加上得到，即，然后利用直接开平方法求解； 【详解】解：整理得：， 移项得：， 配方得：，即， ， ，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 6．（22-23九年级下·江苏扬州·期中）（1）解方程：（1） （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）x=4±；（2）-1<x<2，数轴见解析 【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解． （2）分别求得两个不等式的解集，然后在数轴上表示，再求其交集即可． 【详解】（1） x2-8x+42+1-42=0           (x-4)2=15             x-4=               x=4±； （2） 解不等式①得：x>-1， 解不等式②得：x<2， 在数轴上表示为： 所以不等式组的解集为-1<x<2． 【点睛】考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组．不等式解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【变式训练8 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（2024·湖南永州·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根据判断一元二次方程根的情况，先根据一元二次方程得到判别式，根据判别式的取值得到根的情况，根据判别式的大小得到根的情况是解题的关键． 【详解】解：根据一元二次方程可得到判别式为， ∵恒成立， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：17 4．（2024·上海黄浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先计算，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式得出，然后说明即可． 【详解】证明：由得， 则， ∵无论m取何值，都有， ∴，即， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)当m取何值时，方程有两个相等的实数根？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“”是解题关键． （1）方程有实数根时，由此即可求解． （2）方程有两个相等的实数根即，由此即可求解． 【详解】（1）证明： ， 不论实数m取何值，方程总有实数根． （2）由（1）问可知：， 方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故当时，方程有两个相等的实数根． 【变式训练9 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如果关于的一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程能用公式法求解， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 3．（2024·四川成都·二模）请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的方程有实数根得到，解得，再写出满足题意的答案即可． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴ ∴， 则正整数满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 4．（2024九年级下·上海·专题练习）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为： 5．（2024·陕西渭南·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴的取值范围为． 6．（2024·江西南昌·一模）已知关于的方程． (1)当时，求原方程的解． (2)若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）将代入，解方程即可； （2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 即，， 解得：，； （2）解：该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 【变式训练10 公式法解一元二次方程】 1．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式列得方程求解即可，正确掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键 【详解】解： 解得， 故选：B 2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 3．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟记判别式公式是解决问题的关键． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 6．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， ∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误； （2）配方法： 解得，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． 【变式训练11 因式分解法解一元二次方程】 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意． 现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据定义运算可得， 即为， 即， ，， 则方程的根为或． 故选：． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解方程，熟练掌握利用因式分解法解方程是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 【答案】② 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案． 【详解】解：， ，， 故答案为：②． 5．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解： 或 ． 6．（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 【变式训练12 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】运用换元法解一元二次方程的方法即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的解是，， ∴，令， ∴，则，， ∴或， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查换元法解一元二次方程的运用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的一元二次方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，则根据题意得或，然后解一次方程即可． 【详解】解：把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴或， 解得：，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——换元法，利用换元法解方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是令整体，将原方程变形求解． 【详解】解：设， 则， 整理得：， 解得：，， ∵，则， ∴ 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【答案】3 【分析】设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设， 可得原方程为， 解得， ， ， 即的值为3． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用换元法是解本题的关键． 6．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． ∴或． ∴，． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为，，； （2）把看做整体，设，则原方程可化为，解得，． 【详解】（1）解： 把看作一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或者， ∴，． （2）解：， 把看作整体，设， 则原方程可化为． 解得，（舍去）， ∴，． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法，准确计算． 【变式训练13 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（2024·浙江杭州·三模）方程的一个根为，则另一个根为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程根和系数的关系即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即方程的另一个根为， 故选：． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解． 【详解】解： 设关于的一元二次方程实数根为和， 则：，， ，解得， ，解得， 故选：D． 3．（2024·山东淄博·二模）若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可． 【详解】解： 对于，系数为1，为3， ，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 4．（2024·山东济南·二模）若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程两根分别是，则，进行解题即可． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t， 则 ， 解得， 故答案为 5．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知方程的一个根为2，求方程的另一根和m的值 【答案】方程的另一个根为2， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为2，． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． （1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． （2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2） ； 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 5．（2024·四川泸州·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，先得出，解出，结合，即，解出实数的值是4，即可作答． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， 解得（与相矛盾，故舍去）， 故选：C． 6．（2024·贵州贵阳·模拟预测）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是1． 故答案为：1 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是移项后开方． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）利用配方法填空：x2-x+ =． 【答案】 【分析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方． 【详解】解：x2-x+=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用；解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 9．（23-24九年级上·广东深圳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根． 10．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：5． 11．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】 此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．利用公式法求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此解方程即可． 【详解】（1）解； ， 解得； （2）解： ， ， ， ， 解得． 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）已知，关于x的一元二次方程． (1)试说明：不论m取何值时，该方程总有实数根； (2)若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)m的取值范围是 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程判别式为即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【详解】（1）由题可知：，，， 即 ， 不论m取何值，原方程有两个实数根． （2））解方程得， ， ，， 因为， ，即 所以m的取值范围是． 14．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 15．（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，代入原式，对一元二次方程求解即可； （2）设，代入原式，对一元二次方程整体求解即可； 本题主要考查一元二次方程的解法，理解题目中换元法的解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设 原方程可变为： 解得：， 当时， ∴方程无解 当时， 解得： ∴原方程有2个根：． （2）解：设 原方程可变为： 整理得： 解得：（舍去）， 的值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$