专题1.5 全称量词与存在量词【讲义：3大知识点+3题型4角度+2易错易误】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题1.5 全称量词与存在量词（原卷版） 目录 知识点1：全称量词与存在量词 2 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 2 知识点3 命题的否定与原命题的真假 2 题型1：全称量词、存在量词命题的真假判断 3 题型2：含一个量词命题的否定 5 角度1：含有一个量词命题的否定 5 角度2：命题否定的真假判断 5 题型3：含有一个量词命题的求参问题 6 角度1：全称命题的求参问题 7 角度2：存在性命题的求参问题 8 易错易误辨析 10 易错1：写否定命题时忽略隐含量词导致的错误 10 易错2：对含有一个量词的命题的否定不完全导致的错误 11 学习目标导航 关键词 1. 理解全称量词和存在量词的意义（重点、难点）； 2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 （1）全称量词、存在量词 （2）全称量词命题、存在量词命题 知识点1：全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 知识点3 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2. 命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 题型1：全称量词、存在量词命题的真假判断 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判断全称量词命题与存在量词命题的真假的方法 1.判断全称量词命题为真，需进行证明，判断其为假，只需举出一个反例即可. 2.判断存在量词命题为真，只需找一个特例，判断其为假，需进行证明注意： (1)全称量词命题和存在量词命题的真假，一定要结合生活中的实例，通过运用相关的数学知识进行判断 (2)当命题的真假不易判断时，可以转化为判断其否定的真假，当命题的否定为真时，原命题为假;当命题的否定为假时，原命题为真. 【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【变式1-2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被整除，又能被整除； (2)，； (3)，； (4)，使为的约数； (5)，． 【变式1-3】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假. 三角形的内角和为； 每个二次函数的图象都开口向下； 存在一个四边形不是平行四边形； ；       . 题型2：含一个量词命题的否定 判断命题否定的真假的方法 1.命题与它的否定的真假情况是：一真一假.即当全称量词命题(存在量词命题)为真命题时，其否定就是假命题;当全称量词命题(存在量词命题)为假命题时，其否定就是真命题： 2.判断命题的否定的真假，可以直接判断，也可转化为判断原命题的真假。 角度1：含有一个量词命题的否定 【典例2】（23-24高一上·湖北·期中）命题“，使得”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 【变式2-2】（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（23-24高一上·北京·期中）已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 角度2：命题否定的真假判断 【典例3】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）已知下列命题： ①命题“，”的否定是“，”； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“若，则且”为真命题； 其中真命题的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式3-1】（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（     ） ①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 【变式3-3】下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”的否定为“，”； ④命题“是的必要条件”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 题型3：含有一个量词命题的求参问题 已知含有量词的命题的真假求参数问题的类型及思路 1. 常以一次函数、二次函数等为载体，题目中常出现“恒成立”等词语。 2. 求参数的取值范围时，从真命题的角度容易列关系式，如果已知一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用该命题的否定是真命题求得参数的取值范围。 3. 两种常用思路： （1）构造函数法： ①不等式恒成立，则有：； ②不等式恒成立，则有：； （2）分离参数法 ①若恒成立，只需要满足，转化为求f(x)的最小值问题； ②若恒成立，只需要满足，转化为求f(x)的最大值。 角度1：全称命题的求参问题 【典例4】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式4-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式4-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式4-3】（22-23高一上·四川凉山·期中）（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围． 角度2：存在性命题的求参问题 【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【变式5-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【变式5-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【变式5-3】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 易错易误辨析 易错一：写否定命题时忽略隐含量词导致的错误 【典例6】（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 1. 补上量词： 由于某些全称量词命题中全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，要找出其中隐含的全称量词，写成“Vx∈M，p(x)”的形式，再把它改写成“x∈M，p(x)”的形式，如本例中在原命题中补上“所有”很关键，这样在写命题的否定时才不会忽略“存在”两字，否则就会出现“一个能被3整除的数，不能被4整除”的错解. 2. 验证真假性： 写出命题的否定后可以结合原命题与它的否定的真假性(一真一假)进行验证，据此可判定命题的否定有没有书写正确。 【变式6-1】（23-24高一上·江西·阶段练习）命题：，有；命题：存在一个偶数能被3整除. (1)写出的否定； (2)写出的否定. 【变式6-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假. (1)命题p：梯形的内角和是360° (2)命题，二次函数的图像关于轴对称. 【变式6-3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等． 易错二：对含有一个量词的命题的否定不完全导致的错误 【典例7】（23-24高一上·云南昆明·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 1.对含有一个量词的命题进行否定时，需要“改换量词，否定结论”，二者缺一就会出现错解; 2.牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确. 【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 全称量词与存在量词（解析版） 目录 知识点1：全称量词与存在量词 2 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 2 知识点3 命题的否定与原命题的真假 2 题型1：全称量词、存在量词命题的真假判断 3 题型2：含一个量词命题的否定 5 角度1：含有一个量词命题的否定 6 角度2：命题否定的真假判断 7 题型3：含有一个量词命题的求参问题 8 角度1：全称命题的求参问题 9 角度2：存在性命题的求参问题 11 易错易误辨析 13 易错1：写否定命题时忽略隐含量词导致的错误 13 易错2：对含有一个量词的命题的否定不完全导致的错误 15 学习目标导航 关键词 1. 理解全称量词和存在量词的意义（重点、难点）； 2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 （1）全称量词、存在量词 （2）全称量词命题、存在量词命题 知识点1：全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 知识点3 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2. 命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 题型1：全称量词、存在量词命题的真假判断 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； （3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题； （4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题. 【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. （2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. （3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立. （4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断. 判断全称量词命题与存在量词命题的真假的方法 1.判断全称量词命题为真，需进行证明，判断其为假，只需举出一个反例即可. 2.判断存在量词命题为真，只需找一个特例，判断其为假，需进行证明注意： (1)全称量词命题和存在量词命题的真假，一定要结合生活中的实例，通过运用相关的数学知识进行判断 (2)当命题的真假不易判断时，可以转化为判断其否定的真假，当命题的否定为真时，原命题为假;当命题的否定为假时，原命题为真. 【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 【变式1-2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被整除，又能被整除； (2)，； (3)，； (4)，使为的约数； (5)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当或时，，故该命题为真命题． （4）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （5）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 【变式1-3】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假. 三角形的内角和为； 每个二次函数的图象都开口向下； 存在一个四边形不是平行四边形； ；       . 【答案】是全称命题，且为真命题；是全称命题，且为假命题； 是特称命题，且为真命题；是全称命题，且为真命题； 是特称命题，且为假命题. 【分析】根据量词判断命题是全称命题还是特称命题即可. 【详解】解：是全称命题，且为真命题. 是全称命题，且为假命题. 是特称命题，且为真命题. 是全称命题，由于都有，故，真命题； 是特称命题，因为不存在一个实数，使成立，假命题. 题型2：含一个量词命题的否定 判断命题否定的真假的方法 1.命题与它的否定的真假情况是：一真一假.即当全称量词命题(存在量词命题)为真命题时，其否定就是假命题;当全称量词命题(存在量词命题)为假命题时，其否定就是真命题： 2.判断命题的否定的真假，可以直接判断，也可转化为判断原命题的真假。 角度1：含有一个量词命题的否定 【典例2】（23-24高一上·湖北·期中）命题“，使得”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在命题的否定为全称命题，即可求解. 【详解】由题意得：命题：，使得的否定为：，，故A项正确. 故选：A. 【变式2-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得答案. 【详解】解：命题“，”的否定为：，. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得出正确选项. 【详解】命题“，”的否定， 即把存在变为任意，然后否定结论，即，. 故选：D 【变式2-3】（23-24高一上·北京·期中）已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：根据含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”可知， ∵命题：， ∴：. 故选：D. 角度2：命题否定的真假判断 【典例3】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）已知下列命题： ①命题“，”的否定是“，”； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“若，则且”为真命题； 其中真命题的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定得到①是假命题；“”是“”的必要不充分条件，则②是假命题；若，得或，所以③是假命题；则得到真命题的个数. 【详解】对于①，命题“，”的否定是“，”，所以①是假命题； 对于②，“”是“”的必要不充分条件，所以②是假命题； 对于③，因为，得或，所以 “若，则且”是假命题，所以③是假命题； 综上所述，真命题的个数为0个. 故选：D． 【变式3-1】（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（     ） ①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断依据即可求解. 【详解】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确； 对②，“”为任意，即为全称量词，所以命题“”是全称量词命题，故②正确； 对③，命题“”的否定为“”；故③错误； 对④，，故该命题为真命题，故④正确， 所以正确的有个. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 【答案】D 【分析】判断命题的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可. 【详解】因为，故命题为假命题，则为真命题； 又“，”的否定为：“”， 故选：D. 【变式3-3】下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”的否定为“，”； ④命题“是的必要条件”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】用相关逻辑知识逐个分析，排除即可. 【详解】对于①，命题中包含所有，是全称量词命题，故正确 对于②，包含任意一词，是全称量词命题，故正确 对于③，原命题否定应为，，故错误 对于④，若，则，故有，可推出命题“是的必要条件，故正确 故选：D 题型3：含有一个量词命题的求参问题 已知含有量词的命题的真假求参数问题的类型及思路 1. 常以一次函数、二次函数等为载体，题目中常出现“恒成立”等词语。 2. 求参数的取值范围时，从真命题的角度容易列关系式，如果已知一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用该命题的否定是真命题求得参数的取值范围。 3. 两种常用思路： （1）构造函数法： ①不等式恒成立，则有：； ②不等式恒成立，则有：； （2）分离参数法 ①若恒成立，只需要满足，转化为求f(x)的最小值问题； ②若恒成立，只需要满足，转化为求f(x)的最大值。 角度1：全称命题的求参问题 【典例4】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式4-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式4-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简集合，再求并集即可； （2）转化为，讨论B是否为空集列不等式组求解. 【详解】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得. 【变式4-3】（22-23高一上·四川凉山·期中）（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分析可知，，且，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组， 由此可解得实数的取值范围； （2）由题意可知，关于的方程有实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：（1）因为是成立的充分不必要条件，所以，， 因为，则，所以，， 所以，，解得， 当时，，满足， 所以，存在实数满足题意，且实数的取值范围是； （2）因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题． 则关于x的方程有实根． 当时，则有，解得，合乎题意； 当时，则有，解得且. 综上所述，的取值范围为． 角度2：存在性命题的求参问题 【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案； （2）根据两个方程有公共解可求实数的值． 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 【变式5-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由集合包含关系有且，即可求参数范围； （2）由题意“，”为真命题，进而有，即可求参数范围. 【详解】（1）由，，则， 即且，故，解得， 故实数的取值范围为. （2）命题“，”为假命题， 命题的否定“，”为真命题， ，即，解得， 实数的取值范围是. 【变式5-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 【变式5-3】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 易错易误辨析 易错一：写否定命题时忽略隐含量词导致的错误 【典例6】（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【答案】(1)，；真命题 (2)，；假命题 (3)，；假命题 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得（1）（2）（3）中命题的否定,再判断真假即可． 【详解】（1）命题的否定：，． 因为，恒成立，所以命题的否定为真命题． （2）命题的否定：，． 因为当时，，所以命题的否定为假命题． （3）命题的否定：，． 因为当，时，，所以命题的否定为假命题． 1. 补上量词： 由于某些全称量词命题中全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，要找出其中隐含的全称量词，写成“Vx∈M，p(x)”的形式，再把它改写成“x∈M，p(x)”的形式，如本例中在原命题中补上“所有”很关键，这样在写命题的否定时才不会忽略“存在”两字，否则就会出现“一个能被3整除的数，不能被4整除”的错解. 2. 验证真假性： 写出命题的否定后可以结合原命题与它的否定的真假性(一真一假)进行验证，据此可判定命题的否定有没有书写正确。 【变式6-1】（23-24高一上·江西·阶段练习）命题：，有；命题：存在一个偶数能被3整除. (1)写出的否定； (2)写出的否定. 【答案】(1)，. (2)每个偶数都不能被整除. 【分析】命题为全称量词命题，命题的否定为存在量词命题；命题为存在量词命题，命题的否定为全称量词命题. 【详解】（1）的否定：，. （2）的否定：每个偶数都不能被整除. 【变式6-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假. (1)命题p：梯形的内角和是360° (2)命题，二次函数的图像关于轴对称. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据命题的否定即可结合选项求解。 【详解】（1）：有一个梯形的内角和不是. 因为所有梯形的内角和都为，所以是假命题. （2），二次函数的图象不关于轴对称. 因为，二次函数的图象的对称轴为直线， 所以是假命题. 【变式6-3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）写出命题的否定，再根据可判断命题的否定的真假； （2）写出命题的否定，分、讨论可得方程的根可得命题的否定的真假； （3）写出命题的否定，根据命题的真假可判断其否定的真假. 【详解】（1）因为，所以命题的否定：， 显然当时，，命题的否定为真命题； （2）因为：不论取何实数值，关于的方程必有实数根； 所以命题的否定：存在实数，关于的方程没有实数根． 当时，方程有实根，当时，方程的判别式， 故命题为真命题，命题的否定为假命题； （3）：有的平行四边形的对角线相等，命题的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等， 则命题是真命题，命题的否定是假命题； 易错二：对含有一个量词的命题的否定不完全导致的错误 【典例7】（23-24高一上·云南昆明·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】命题的否定是“”. 故选：D. 1.对含有一个量词的命题进行否定时，需要“改换量词，否定结论”，二者缺一就会出现错解; 2.牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确. 【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 【变式7-2】（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到. 【详解】命题 “”的否定是“”， 故选：A. 【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$