专题1.3 集合的基本运算【练习：7题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题1.3 集合间的基本运算（练习） 内容概览 01：交并补的符号表示 1 02：交并补的图像表示 2 03：交并补的混合运算 3 04：交并补的求参问题 4 05：集合元素个数的确定 7 06：容斥原理的应用 8 07：集合的新定义 9 题组训练 01：交并补的符号表示 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽淮北·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 02：交并补的图像表示 7．（23-24高一上·广东汕尾·期末）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北·期末）如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 12．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 03：交并补的混合运算 13．（2024·江西景德镇·三模）已知全集， ，，则是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·河北·阶段练习）全集且，则（    ） A． B． C． D． 04：交并补的求参问题 19．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 20．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 22．（23-24高一上·江西九江·阶段练习）设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 23．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值集合； (2)若，求． 24．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 05：集合元素个数的确定 25．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一上·山西运城·阶段练习）设集合，，，，中有个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则． 则中的元素个数为（    ） A． B． C． D．不确定 27．定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 28．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ）. A．m B．n C． D． 29．（多选）（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 06：容斥原理的应用 31．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（    ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 32．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 33．（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 34．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 . 35．某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    36．（23-24高一上·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 07：集合的新定义 37．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 38．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 39．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 40．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 41．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 42．（23-24高二上·北京朝阳·期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合间的基本运算（练习） 内容概览 01：交并补的符号表示 1 02：交并补的图像表示 3 03：交并补的混合运算 6 04：交并补的求参问题 8 05：集合元素个数的确定 12 06：容斥原理的应用 15 07：集合的新定义 18 题组训练 01：交并补的符号表示 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为， 则. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：A. 3．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解. 【详解】由题得， 所以， 故选：C. 5．（2024·安徽淮北·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 可得，所以. 故选：B. 6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故，所以. 故选：D. 02：交并补的图像表示 7．（23-24高一上·广东汕尾·期末）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，结合交集的定义和运算即可求解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 8．（23-24高一上·湖北·期末）如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据韦恩图以及交集、并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】是非空集合，阴影部分表示的集合是， ，，， ，则或 故选：D 9．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 10．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解. 【详解】由题意可得：， 可得， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 11．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图确定集合间的运算关系，进而得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合， 由或， 得， 则， 故选：D. 12．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图形，利用集合的交并补运算即可求解. 【详解】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可选，也不在中， 所以阴影部分可表示为. 故选：D 03：交并补的混合运算 13．（2024·江西景德镇·三模）已知全集， ，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定全集，画出韦恩图，结合集合的运算表示 【详解】因为，所以画出韦恩图如下： 可知. 故选：D 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故选：C 15．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得． 【详解】因 则,故. 故选：D． 16．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集及补集的定义即可求解. 【详解】因为， 所以或， 所以. 故选：C. 17．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Venn图结合交、并、补集的定义可得. 【详解】如图，因为，且，所以． 故选:B．    18．（23-24高一上·河北·阶段练习）全集且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意可知：， 又因为，所以. 故选：B. 04：交并补的求参问题 19．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 20．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 21．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围. （2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 22．（23-24高一上·江西九江·阶段练习）设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意可得方程有实数根，进而结合根的判别式求解即可； （2）结合题意可得，，进而求得的值，进而求得集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】（1）因为是非空集合， 所以方程有实数根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为，， 所以，，且，， 所以，解得，， 所以，， 所以. 23．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值集合； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合中的方程只有一个解，求实数的取值集合； （2）由已知得集合A,B中的元素，求出n和m，解出集合中的方程得到这两个集合，再求交集. 【详解】（1）若集合有且仅有两个子集，则集合中只有1个元素， 即方程只有1个根， 时，方程解得，符合题意； 时，一元二次方程只有1个根，，解得. 所以实数的取值集合为 （2）若，则-4是方程的根，则有， 方程解得或，得. ，则6是方程的根，则有， 方程解得或，得. 满足， 所以. 24．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 05：集合元素个数的确定 25．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 26．（22-23高一上·山西运城·阶段练习）设集合，，，，中有个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则． 则中的元素个数为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】先算出集合，再根据并集的运算法则即可算出答案. 【详解】设集合，且，， 则，且， 则同理，，， 若，则，则，故， 所以，又， 所以，故， 此时这与矛盾，所以舍去， 若，则 故， 所以，， 又 ，故， 所以，故， 此时， 若则是， 故故 即，故， 所以 故选：C. 27．定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先求得集合B，从而得到，然后利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合A={2，4，6}，B=， 所以B={0,1,2}，则=, 所以∪B=， 所以集合∪B中共有7个元素. 故选：B. 28．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ）. A．m B．n C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件得，即可得出结果. 【详解】∵中有m个元素， 中有n个元素， 又非空， ∴中有个元素. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的运算以及集合元素的个数.属于较易题. 29．（多选）（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集的定义结合条件即得． 【详解】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立； 当集合与中有公共元素时，，所以可能成立； 当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立； 根据集合的并集运算可知不能成立. 故选：ABD． 30．（22-23高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果； （2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果. 【详解】（1）由题设，， 所以，. （2）由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素， 当时，此时或满足题设； 当时，满足题设； 综上，. 06：容斥原理的应用 31．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（    ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 【答案】C 【分析】运用韦恩图分析问题. 【详解】由题意只参加游泳比赛的人数； 故选：C. 32．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】利用集合交集的性质进行运算. 【详解】设两个社团都参加的学生人数为，则，解得． 故选：A. 33．（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 34．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 . 【答案】 【分析】根据题意结合图即可得解. 【详解】由题意同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数为人. 故答案为：. 35．某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可. 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10 36．（23-24高一上·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】 【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示： 由韦恩图可的，解得. 因此，同时参加田赛和径赛的有人. 故答案为：. 07：集合的新定义 37．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】C 【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD. 【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误； 对于B，因为，但，故B错误； 对于C，设，，则， ，则集合为闭集合，故C正确； 对于D，设， 则，但，故D错误. 故选：C. 38．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    39．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 40．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 41．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”； （2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数； （3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解. 【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题. 42．（23-24高二上·北京朝阳·期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 【答案】(1)是集合，不是集合； (2)中大于1的元素的可能个数为. (3)见解析 【分析】（1）由集合的定义即可得出答案； （2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案； （3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明. 【详解】（1）集合是集合， 当时，； 当时，； 当时，； 集合不是集合， 取，则，不满足题中性质. （2）当时，， 当时，， 当时，， 所以. 不妨设， ①若，因为，从而，与矛盾； ②若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； ③若，因为，所以与矛盾； ④若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； 综上：中大于1的元素的可能个数为. （3）假设集合中全为正实数. 若中至少两个正实数大于，设，则， 取，则， 而，从而，矛盾； 因此中至多有1个正实数大于. 当时，设， 若， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， 所以. 因为， 所以 ，矛盾. 因此当时，. 当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于， 设， 因为是有限集，设，其中. 又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于， 所以，且存在，且使互不相同， 则， 当时，， 当时，， 于是， 与矛盾. 因此，中元素不能全为正实数. 【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$