3.2.2 奇偶性 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性 学习目标 结合具体函数了解函数奇偶性的含义 掌握判断函数奇偶性的方法 学习重点 学习难点 函数的奇偶性的概念与判定 函数奇偶性的应用 新课导入 下面的图片有什么特点？ 都是对称图形 思考一下 这两个函数图象都关于y轴对称 Y 值 -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 Y 值 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 1 0 -1 探究一下 类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？ 答：若将函数f(x)的图象沿y轴对折，y轴两边的图象重合，则称该函数的图象关于y轴对称. 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等 新课学习 偶函数 探究一下 Y 值 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 f(x)=x的图象是一条直线，将该直线绕原点旋转180°后与原直线重合，所以该直线关于原点成中心对称. 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数. 为了用符号语言描述这一特征，取特殊值观察相应的函数值情况，如下表 奇函数 常见函数（一次函数，反比例函数，二次函数）的奇偶性 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法:一般地，当函数给出解析式时常用定义法判断 （2）图象法：在函数图象已知或易画出的情况下使用 (4）性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断. 例题来了 例1 判断下列函数的奇偶性： 解： 课堂巩固 C D C D C A -1 总结一下 偶函数的定义 奇函数的定义 THANK YOU 函数 和 的图象是如何的，并且这两个函数图象有什么共同特征？ 取特殊值观察相应的函数值情况，如下表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -1 0 1 2 1 0 -1 … 例如，对于函数 ，有 f(-3)=9=f(3)； f(-2)=4=f(2)； f(-1)=1=f(1). 实际上， ，都有 ，这时称函数 为偶函数. 对于函数 ，有 g(-3)=-1=g(3)； g(-2)=0=g(2)； g(-1)=1=g(1). 实际上， ，都有 ，这时称函数 为偶函数. 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 ，都有 ，且 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 变形为： ， 观察函数 和 的图象，发现这两个函数图象有什么共同特征？ 的图象为双曲线，将该双曲线绕原点旋转180°后与原双曲线 重合，所以该双曲线关于原点成中心对称. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -1 无意义 1 … 例如，对于函数f(x)=x，有 f(-3)=-3=-f(3)； f(-2)=-2=-f(2)； f(-1)=-1=-f(1). 实际上， ，都有f(-x)=-x=-f(x).这时称函数f(x)=x为奇函数. 对于函数 ，有 实际上， 且 ，都有 .这时称函数 为奇函数. 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 ，都有 ，且 f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 变形为： ， 函数 奇偶性 一次函数y=kx+b(k≠0) 当b=0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 奇函数 二次函数 当b=0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 验证法：求出函数的定义域，当定义域关于原点对称时，利用 奇偶性所满足式子的等价形式判断，即判断 是否为0或 是否为 . (1) ； (2) ； (3) ； (4) . （1）函数 的定义域为R. 因为 ，都有 ，且 所以，函数 为偶函数. (2)函数 的定义域为R.因为 ，都有 ， ，所以，函数 为奇函数. (3)函数 的定义域为 .因为 ，都有 ，且 ，所以，函数 为奇函数. (4)函数 的定义域为 .因为 ，都有 ，且 ，所以，函数 为偶函数. 1.已知函数 的定义域为D， ， . 命题p：若当 时，都有 ，则函数 是D上的奇函数. 命题q：若当 时，都有 ，则函数 是D上的增函数. 下列说法正确的是( ) A.p、q都是真命题 B.p是真命题，q是假命题 C.p是假命题，q是真命题 D.p、q都是假命题 解析：对于命题 ，令函数 ， 则 ，此时 ，当函数 不是奇函数， 所以命题p为假命题， 对于命题q，当 时，都有 ，即 ，不可能 ， 即当 时，可得 ，满足增函数的定义，所以命题q为真命题. 故选：C. 2.已知奇函数 的图象经过点 ,则 的解析式可能为( ) A. B. C. D. 解析：A选项, ,A选项错误. B选项, ,B选项错误. C选项, 是偶函数,C选项错误. D选项, , 为奇函数,符合题意.故选:D 3.若函数 为偶函数,且在 上是减函数,又 ,则 的解集为( ) A. B. C. D. 解析：由题意画出符合条件的函数图象： 函数 为偶函数， 转化为 ， 由图得，当 时， ，则 ；当 时， ，则 ； 综上得， 的解集是： ，故选C． 4. 是定义在R上的奇函数，则 ( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 解析：设 ，则 ，即 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .因为 ，所以 ， . 5.已知函数 ，且 ，则 ( ) A.-7 B.7 C.3 D.-2 解析：由函数 ，令 ，则 ， ，所以 ，故 是奇函数，所以 ，则 ，所以 .故选C. 6.已知函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，则( ) A. B. C. D. 解析： 为奇函数， 的图像关于点 对称， . 为偶函数， 的图像关于直线 对称， 是周期为4的函数， .故选A. 7.函数 是偶函数，且它的值域为 ，则 __________. 解析：因为 为偶函数，所以 ，解得 或 .当 时，易知 的值域不可能为 ，所以 不成立；当 时， ，若值域为 ，则 ，所以 . $$