3.3幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 学习目标 1.通过具体实例，理解幂函数图象的变化规律 2.了解幂函数的概念和性质 学习重点 学习难点 幂函数的定义与性质 幂函数的图象 新课导入 (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要 下列函数解析式有什么共同特征？ p=w元， 这里p是w的函数 指数为1 (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为 S=a2 这里S是a的函数 指数为2 (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积 V=b3 这里V是b的函数 指数为3 (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长 这里c是S的函数 (5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数. 指数为-1 新课学习 幂函数定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 幂函数的特征 （1）xα的系数为1; （2）xα的底数是自变量； （3）xα的指数为常数. 幂函数的图像             x y O   1.幂函数一定出现在第一象限，一定不出现在第四象限. 2.偶函数的图象分布在第一、二象限，奇函数的图象分布在第一、三象限.非奇非偶函数只在第一象限. 3.只有当α>0时幂函数的图象才与坐标轴相交，且焦点一定是零点. 幂函数的性质 比较幂值大小的方法 例题来了 证明：函数的定义域是[0,+∞）. 且 有 因为 则 所以 即幂函数 是增函数. 课堂巩固 A B B D D B 2 -2 总结一下 1.幂函数的定义 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质 THANK YOU c= v= km/s，即v=t -1 指数为 幂函数 的图象如下图，研究一下图象的性质 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 单调性 增 在 上 单调递增， 在 上 单调递减 增 增 在 上 单调递增， 在 上 单调递减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点 分类 比较对象 方法 指数相同，底数不同 与 利用幂函数 的单调性 底数相同，指数不同 与 利用不等式性质 底数、指数都不同 与 寻找“中间量” 或 或 或 等 例1 证明幂函数 是增函数. 1.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为( ) A.9 B.3 C. D. 解析：设 ，则 ，所以 ， 则 ，所以 .故选：A. 2.已知 是幂函数，满足 ，则 ( ) A.3 B.27 C.81 D.243 解析：设 ，则 ,即 ，解得 ， 故 ，所以 . 3.若函数 为幂函数，则( ) A.函数 的定义域为R B.函数 的图象位于第一、二象限 C.函数 为奇函数 D.函数 在 上单调递增 解析：由题知， ，解得 ， 所以 ，如图， 所以定义域为 ，故A错；函数 的图象位于第一、二象限，故B正确； 为偶函数，故C错；函数 在 上单调递减，故D错；故选：B. 4.若幂函数 的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则 的解析式可能为( ) A. B. C. D. 解析：A：函数 的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点 ,故A不符合题意； B：函数 的图象关于原点对称，且与x轴有公共点 ,故B不符合题意； C：函数 的图象关于原点对称，且与x轴无公共点,故C不符合题意； D：函数 的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点,故D符合题意. 故选：D. 5.已知幂函数 在 为单调增函数，则实数m的值为( ) A. B. C.2 D. 解析：由于 为幂函数，所以 ， ，当 时， 在 上递减，不符合题意，当 时 在 上递增，符合题意. 故选：D. 6.已知幂函数 的图像过点 ，则下列结论正确的是( ) A. 的定义域为 B. 在其定义域内为减函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 解析：设 ，代入点 可得 ，所以 ，所以 ， 对于A：函数的定义域为 ，所以A错误； 对于B：因为 ，所以 在 内单调递减，B正确； 对于C：因为 的定义域为 ，所以不是偶函数，C错误； 对于D：因为 的定义域为 ，所以不是奇函数，D错误,故选：B. 7.已知幂函数 的图像不经过原点，则实数 __________. 解析：由已知函数 为幂函数， 得 ，解得 或 ， 当 时， ，定义域为 ，函数图像不经过原点， 当 时， ，定义域为R，且 ，函数图像经过原点， 综上所述： ， 故答案为：2. 8.若幂函数 在 单调递减，则 ________. 解析：根据幂函数的定义和性质，得 ，解得 . 经检验 ，符合题意. 所以 .故答案为：-2. $$