6.2.4向量的数量积 导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

昆明德仁中学数字学科导学案 编号：高一数学必修一 第41号 使用时间：2023年2月 编制: 校对： 6.2.4向量的数量积 班级： 姓名： 小组： 【学习目标】 1.理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角 2.理解平面向量数量积的含义并会计算，理解投影向量的概念 3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 【重点难点】 【教学重点】平面向量数量积的含义并会计算 【教学难点】投影向量的概念 预习案 一．知识梳理 【知识点一】两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向； ②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b反向． 【知识点二】向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即_____________________ 规定零向量与任一向量的数量积为0． 【知识点三】投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量． 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． (2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝__________ 【知识点四】向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔____________ (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 【知识点五】向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 二、自习检测 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(　　) 2.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(　　) A．12　　　　　　　　　 B．12 C．－12 D．－12 三、探究未知 请同学们写出自己的疑惑，至少两点。 1．___________________________________________________________ 2．___________________________________________________________ 探究案 【探究点一】平面向量的数量积运算 例1 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)． 【探究点二】向量模的有关计算 例2 已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．12 【探究点三】向量的夹角与垂直 例3 已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________； 例4 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　) A．－ B． C．± D．1 【探究点四】投影向量 例5 已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别为45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量. 随堂检测 1.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 2.已知|a|＝，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______． 3.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______． 4.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______． 高一数学 第 3 页 (共4页) 高一数学 第 4 页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$