专题03根的判别式的八种常见应用-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题03根的判别式的八种常见应用 【解题策略】 　对于一元二次方程 (a≠0),式子-4ac 的值决定了一元二次方程的根的情况,利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况,反过来,利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围.　 题型01利用根的判别式判断不含字母系数的方程的根的情况 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【例1-2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【例1-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况： (1) (2) (3) 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）不解方程，可以判断它的根的情况是 ． 【变式1-3】（21-22九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： (1);     (2)； (3);    题型02利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【例2-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）关于的方程的实数根的情况是 ． 【例2-3】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的方程 不解方程，判别方程根的情况； 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与a的取值有关 【变式2-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于x的一元二次方程判断它的根的情况是 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知关于x的一元二次方程． 试判断此一元二次方程根的存在情况； 题型03利用根的判别式求方程的字母系数的值或取值范围 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·北京·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【例3-2】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【例3-3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-2】（23-24九年级上·广西柳州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若此方程的两根之积为，求的值． 题型04利用根的判别式求代数式的值 【典例分析】 【例4-1】（2021·九年级上·云南昆明·）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．18 B．10 C．4 D．2 【例4-2】（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为 ． 【例4-3】（23-24九年级上·广东中山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值． 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·北京·阶段练习）若关于的方程有两个相等实数根，则代数式的值为 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【变式4-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 题型05利用根的判别式确定三角形的形状 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）若的三边分别为、、，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，则的形状为（　　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例5-2】（2020·九年级上·辽宁鞍山·）已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为 【例5-3】（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·四川凉山·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）设a、b、c是一个三角形三边的长，如果关于x的方程有两个相等的实数根，则该三角形的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式5-3】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长． (1)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型06利用根的判别式探求菱形的条件 【典例分析】 【例6-1】（2022·江苏苏州·一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值为（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【例6-2】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．当四边形是菱形时，m满足的条件为 ，此时该菱形的边长是 ． 【例6-3】（23-24九年级上·山西·阶段练习）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根，则当为何值时，是菱形？并求此菱形的周长． 【变式演练】 【变式6-1】（21-22九年级上·河北保定·期中）关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为（　　） A．4 B．6 C．2 D．5.5 【变式6-2】（22-23九年级上·广东珠海·期中）已知平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)m为何值时，平行四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为5，求平行四边形的周长． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若的两邻边的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，是菱形？求出此时菱形的边长． 题型07利用根的判别式解二次函数图像与x轴的交点问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是(   ) A． B． C． D． 【例7-2】（23-24九年级上·浙江·期末）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【例7-3】（23-24九年级上·云南曲靖·期末）已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点 (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）当时，直线与抛物线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若二次函数（a为常数）与x轴没有交点，则a的取值范围是 ． 【变式7-3】（23-24九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数． (1)求此二次函数的对称轴  （用含的字母表示） (2)若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围 (3)选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点． 题型08利用根的判别式解二次函数图像与一次函数图像的交点问题 【典例分析】 【例8-1】（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 【例8-3】（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【变式8-2】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的二次函数与直线的图象有且只有1个交点，则 ． 【变式8-3】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）已知是关于x的一次函数． (1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03根的判别式的八种常见应用 【解题策略】 　对于一元二次方程 (a≠0),式子-4ac 的值决定了一元二次方程的根的情况,利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况,反过来,利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围.　 题型01利用根的判别式判断不含字母系数的方程的根的情况 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据根的判别式进行求解． 【详解】解：由方程可知：， ∴该方程没有实数根； 故选B 【例1-2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，根据一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可． 【详解】解：方程整理得：， ，，， ， 该方程没有实数根． 故答案为：没有实数根 【例1-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况： (1) (2) (3) 【答案】(1)方程有两个相等的实数根， (2)方程没有实数根， (3)方程有两个不相等的实数根． 【分析】对于一元二次方程，当时，方程存在两个不等的实数根，当时，方程存在两个相等实数根，当时，方程无实数根，首先将已知方程化为一般式，求得其判别式与0比较，结合上述即可求解． 【详解】（1）解：的一般形式为； ， 故方程有两个相等的实数根． （2）原方程化为一般形式为， ， 故方程没有实数根． （3）化为一般形式为， ， 所以此方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是关键 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根的知识是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：一元二次方程，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）不解方程，可以判断它的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 【变式1-3】（21-22九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： (1);    (2)；(3);    【答案】（1）此方程没有实数根；（2）此方程有两个相等的实数根；（3）此方程有两个不相等的实数根； 【分析】（2）直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况； （1）、（3）、先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得. ∵， ∴△=， ∴此方程没有实数根． (2)∵， ∴△=， ∴此方程有两个相等的实数根． (3)将一元二次方程化为一般形式，得 . ∵， ∴△=， ∴此方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 题型02利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：关于x的方程， ∵，，， ∴， 所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A 【例2-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）关于的方程的实数根的情况是 ． 【答案】有2个不相等的实数根 【分析】本题考查判别式与根的个数关系，熟练掌握时，方程有两个不相等实数根是解题关键，根据判别式进行判断即可． 【详解】解： 方程有两个不相等的实数根 故答案为：有2个不相等的实数根 【例2-3】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的方程 不解方程，判别方程根的情况； 【答案】此方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程以及求出判别式是值来判断方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与a的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；”结合原方程列出判别式即可解题． 【详解】解：由题可得： ， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式2-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于x的一元二次方程判断它的根的情况是 ． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先把方程化为一般形式，再利用根的判别式计算得出，从而可判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根； 故答案为：方程有两个不相等的实数根 【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知关于x的一元二次方程． 试判断此一元二次方程根的存在情况； 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， 【详解】解：， 有两个不相等的实数根 题型03利用根的判别式求方程的字母系数的值或取值范围 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·北京·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且， 解得且， 故选：． 【例3-2】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 【例3-3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式，结合一元二次方程的定义计算出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵方程是一元二次方程 ∴， ∴且， 故选：D 【变式3-2】（23-24九年级上·广西柳州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据方程根的情况求出参数，根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得 故答案为： 【变式3-3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若此方程的两根之积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握这两个知识点是解题的关键； （1）由题意得，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得：，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 即当时，方程不两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系知：， ∴， 即当时，方程两根之积为 题型04利用根的判别式求代数式的值 【典例分析】 【例4-1】（2021·九年级上·云南昆明·）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．18 B．10 C．4 D．2 【答案】D 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=，然后整体代入计算即可； 【详解】解：由题意有：， ∴， ∴=+10=2． 故选：D 【点睛】本题主要考查根的判别式，根据方程的根的判别式得出相应方程是解题关键 【例4-2】（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得， m取最大整数为1，此时原方程为， 即， ， 代数式的值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，求得的值是解题的关键 【例4-3】（23-24九年级上·广东中山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2)2023 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，则，也考查了根的判别式时，方程有两个不相等的实数根． （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可； （2）由题意可得．方程变为，利用根与系数的关系得到， 再变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，      ，   解得且； （2）解：k取满足（1）中条件的最小整数， ，此时方程变为， ， ， ， ． 或直接用韦达定理求解， 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·北京·阶段练习）若关于的方程有两个相等实数根，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】根据根的判别式即可得出，由此可得的值，再代入变形后的代数式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的应用，本题属于基础题型 【变式4-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意，可得，进而得出，根据分式的性质可得，将代入，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， ∵，∴， 当时，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键 【变式4-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】4 【分析】先根据平方差公式及多项式的乘法法则进行化简，再根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，建立关于m的一元一次方程，求出m的值，再代入原式求值即可． 【详解】解： ， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 题型05利用根的判别式确定三角形的形状 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）若的三边分别为、、，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，则的形状为（　　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得，再得，得直角三角形；由得a=10，b=10，从而可得为等腰直角三角形． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴为直角三角形， 又， ∴a=10，b=10， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当<0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定、非负数的应用 【例5-2】（2020·九年级上·辽宁鞍山·）已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为 【答案】直三角形 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，整理可得到c2+b2=a2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形． 【详解】解：∵方程(a+b)x2-2cx+a=b有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0， ∴c2-(a2-b2)=0， ∴c2-a2+b2=0， ∴c2+b2=a2， ∴△ABC的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根 【例5-3】（23-24九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析 (2)直角三角形；理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案； （3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·四川凉山·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先根据根的判别式以及勾股定理的逆定理求得为直角三角形；由得，从而可得为等腰直角三角形． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴为直角三角形， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定、非负数的应用 【变式5-2】（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）设a、b、c是一个三角形三边的长，如果关于x的方程有两个相等的实数根，则该三角形的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】由一元二次方程根的判别式，求出，即可进行判断． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形的形状为直角三角形； 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式进行计算 【变式5-3】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长． (1)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识； （1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断的形状； （2）利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵是等边三角形 ∴ ∴原方程可化为 ∵ 题型06利用根的判别式探求菱形的条件 【典例分析】 【例6-1】（2022·江苏苏州·一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值为（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，令一元二次方程的根的判别式，构建方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握相关基本知识，用转化的思想思考问题 【例6-2】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．当四边形是菱形时，m满足的条件为 ，此时该菱形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、解一元二次方程、菱形的判定与性质，由题意得，求出的值，再解方程即可解决问题． 【详解】解：当四边形是菱形时，， ， 解得：， 当时，原方程为， 解得：， 故当时，四边形是菱形，菱形的边长是0.5； 故答案为：； 【例6-3】（23-24九年级上·山西·阶段练习）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根，则当为何值时，是菱形？并求此菱形的周长． 【答案】当为1时，平行四边形是菱形，此时菱形的周长为2． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及菱形的性质．根据菱形的邻边相等可知方程有两个相等的实数根，利用根的判别式计算求得m的值，再代入方程解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时平行四边形是菱形． ∴， 即时，是菱形； 把代入已知方程可得：，解得：． ∴此菱形的边长为． ∴菱形的周长为． 答：当为1时，平行四边形是菱形，此时菱形的周长为2． 【变式演练】 【变式6-1】（21-22九年级上·河北保定·期中）关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为（　　） A．4 B．6 C．2 D．5.5 【答案】C 【分析】根据题意得到，求得，进而根据菱形的面积公式得到． 【详解】解：方程化为， ∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵a，b分别表示菱形两条对角线的长度， ∴菱形面积， ∴菱形面积的最大值为2， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．菱形面积，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0． 【变式6-2】（22-23九年级上·广东珠海·期中）已知平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)m为何值时，平行四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为5，求平行四边形的周长． 【答案】(1)当时，平行四边形是菱形，这时菱形的边长为6 (2)25 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为5，可知5是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长． 【详解】（1）解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴（舍），，    当时，方程为， 解得， 即菱形的边长为6； （2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为5， ∴，5是方程的一个根， ∴， ∴解得，    ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为25． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，综合运用各知识点是解答本题的关键． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若的两邻边的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)，菱形的边长为． 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论； （2）利用菱形的性质得到，即，求出m的值，再解得到的一元二次方程即可得出菱形的边长． 此题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，以及菱形的性质等知识，得出m的值是解题关键． 【详解】（1）解：对于x的一元二次方程， ∵， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）∵四边形是菱形， ∴，即关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程变为为， ∴， ∴菱形的边长为． 题型07利用根的判别式解二次函数图像与x轴的交点问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴， 故正确； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴， 由图象可得，当时， ， ∴， 故错误； ∵直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为、， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴， 故正确； ∵关于的一元二次方程 无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴，故正确； ∴正确的结论有个， 故选：． 【例7-2】（23-24九年级上·浙江·期末）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．本题抛物线与轴有两个交点，则，然后解不等式即可． 【详解】因为抛物线与轴有两个不同的交点 所以 解得： 由于该函数为二次函数 则 且 故答案为：且 【例7-3】（23-24九年级上·云南曲靖·期末）已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点 (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式； （1）抛物线的图象与坐标轴有3个交点则与轴一个交点，与轴两个交点，据此求解即可； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点， ∴抛物线与轴一个交点，与轴两个交点， ∴方程有两不等实数根， ∴， 解得 （2）把代入得， 解得， 由（1）可得， ∴． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）当时，直线与抛物线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用数形结合法解答问题，直线与抛物线有2个不同交点，可以联立方程，根据决定m的值． 【详解】解：联立方程，， 得， 整理，得：， 因为直线与抛物线有两个不同交点， 所以，即， 解得， 当时，抛物线的y值为， 要使得时，直线与抛物线有2个不同交点，由图象性质可知：， 所以a的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查数形结合思想以及对一次函数和二次函数图象的掌握，综合性比较强 【变式7-2】（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若二次函数（a为常数）与x轴没有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，抛物线与x轴交点个数由决定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点． 根据判别式，函数图像与x轴没有交点，则，计算求解即可． 【详解】解：二次函数（a为常数）与x轴没有交点， ， 即：， 解得：． 故答案为： 【变式7-3】（23-24九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数． (1)求此二次函数的对称轴  （用含的字母表示） (2)若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围 (3)选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点． 【答案】(1)直线 (2) (3)和(答案不唯一) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）在，令，根据已知可得，解之即可求出的取值范围； （3）在（2）的的取值范围内，任选一个数值，解相应的一元二次方程即可． 【详解】（1）二次函数, 该二次函数的对称轴为直线， 故此二次函数的对称轴是直线； （2）二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 令，则， ， ， 故的取值范围是； （3）当时，， 令，则， ，． 故此二次函数图象与轴的交点是和(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与轴的交点的意义，根的判别式，解相应不等式和一元二次方程是解本题的关键 题型08利用根的判别式解二次函数图像与一次函数图像的交点问题 【典例分析】 【例8-1】（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况： 直线经过点即左边的对折点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； 若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解： 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大 【例8-2】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 【答案】// 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∵两个交点的横坐标是分别为、， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例8-3】（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可得，列方程，即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相同的解， 根据，可得， 可得， ， ， 二次函数解析式为； （2）解：根据题意可列方程， 设点的横坐标为， 可得，， 根据完全平方公式，可得， （1）中得到， ， 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】当时，两直线和只有一个交点，则当时，先联立抛物线与直线的解析式得出关于的方程，再由直线和抛物线有两个不同交点可知，求出的取值范围． 【详解】解：当时，两直线和只有一个交点， 当时，， 由题意得，方程有两个不同的实数根， ， 解得：． 故答案为：且． 【点睛】主要考查的是函数图象的交点问题，两函数有两个不同的交点，则 【变式8-2】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的二次函数与直线的图象有且只有1个交点，则 ． 【答案】 【分析】根据图象有且只有1个交点，可得判别式等于零，根据解方程，可得答案． 【详解】解：联立抛物线与直线，得，即， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，利用了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系 【变式8-3】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）已知是关于x的一次函数． (1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点得出方程有两个相等的实数根，即，解方程即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把顶点坐标代入中求出的值，在解方程组即可得到另一公共点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点， 方程即有两个相等的实数根， ， 解得：， 当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； （2）解：二次函数， 二次函数的顶点， 一次函数的图象与二次函数的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点， ， 解得：， 一次函数的解析式为， 则联立方程组得：， 解得：或， 一次函数的图象与二次函数的图象的另一公共点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是直线和抛物线的交点个数与一元二次方程实数根之间的关系，当时，一元二次方程有两个不等的实数根，图象有两个公共点；当时，一元二次方程有两个相等的实数根，图象有一个公共点；当时，一元二次方程无实数根，图象没有公共点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$