专题01巧用坐标求图形的面积的5种方法-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题01巧用坐标求图形的面积的方法 【解题策略】 1.规则图形的面积可用几何图形的面积公式求解,对于不规则图形的面积,通常可采用补形法或分割法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差求解. 2.求几何图形的面积时,底和高往往通过计算某些点的横坐标之差的绝对值或纵坐标之差的绝对值去实现. 题型01直接法求图形的面积 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【例1-2】（22-23八年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，有、、三点，则的面积是 ． 【例1-3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：，，．求：的面积（只要求写出答案即可） 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）已知点，，，如果的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【变式1-2】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积是______． 【变式1-3】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，点A，B，C的坐标分别为点、、，与关于x轴对称，其中分别是点A，B，C的对应点．    (1)画出，并写出三个顶点的坐标； (2)求的面积． 题型02补形法求图形的面积 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知：，求的面积；    【例2-3】（22-23八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，    (1)在平面直角坐标系中画出． (2)求的面积． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·广东深圳·期中）的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 【变式2-2】（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．    (1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )； (2)求三角形的面积； (3)点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标． 【变式2-3】（22-23七年级下·北京大兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段（其中点C与点A，点D与点B是对应点），连接，．    (1)补全图形，点C的坐标是__________，点D的坐标是__________． (2)三角形的面积是__________． 题型03分割法求图形的面积 【典例分析】 【例3-1】（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【例3-2】（22-23七年级下·山西临汾·期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为 ．    【例3-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（    ）． A． B． C． D．或 【变式3-2】（22-23七年级下·湖北恩施·期中）如图，有一块不规则的四边形地皮，各个顶点的坐标分别为，，，图上一个单位长度表示米，求这个四边形的面积．    【变式3-3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)求； (2)求； 题型04利用三角形的面积求点的坐标 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【例4-2】（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如果点，，点C在y轴上，且的面积是5，则C点坐标 ． 【例4-3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接交y轴于点C，连接． (1)画出三角形并求三角形的面积； (2)求点C的坐标． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（21-22八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知点A（0，0），B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积是6，则点C的坐标为 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)请在图中画出； (2)若点P在坐标轴上，且的面积是面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 题型05面积法说明点的存在性 【典例分析】 【例5-1】（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，． (1)______，点到轴的距离为______． (2)求四边形的面积． (3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，且满足．    (1)若为不等式的最大整数解，求的值并判断点在第几象限； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)在（2）的条件下，若两个动点，，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段，且，若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5-3】（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．    (1)求点A、B的坐标； (2)求点F的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式    (1)请求出、、三点的坐标： (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第二象限内．    (1)若时，求四边形的面积； (2)是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（22-23七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中有四点 ．    (1)在图中描出四点，再连接； (2)直接写出线段与线段的位置关系； (3)若与轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01巧用坐标求图形的面积的方法 【解题策略】 1.规则图形的面积可用几何图形的面积公式求解,对于不规则图形的面积,通常可采用补形法或分割法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差求解. 2.求几何图形的面积时,底和高往往通过计算某些点的横坐标之差的绝对值或纵坐标之差的绝对值去实现. 题型01直接法求图形的面积 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 【例1-2】（22-23八年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，有、、三点，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】画出简图，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，，则的面积； 故答案为：6．    【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键 【例1-3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：，，．求：的面积（只要求写出答案即可） 【答案】16； 【分析】根据点的坐标特征，分别找到点，，，再利用大减小可得出点面积；根据勾股定理求出三角形各边的边长，即可得出周长． 【详解】点，，如图所示： 的面积； 故答案为：16； 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）已知点，，，如果的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点的特征，得出两点在轴上，进而得出的长，再根据点的坐标，得出点到轴的距离为，再根据三角形的面积公式，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴两点在轴上， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵的面积是， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、点到坐标轴的距离、三角形的面积，解本题的关键在计算点到轴的距离时，注意加绝对值 【变式1-2】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积是______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，然后用补形法求出三角形的面积即可． 【详解】解：因为，，，建立平面直角坐标系如下图所示：    所以的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用割补法求三角形的面积以及平面直角坐标系，正确掌握割补法求面积是解题的关键 【变式1-3】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，点A，B，C的坐标分别为点、、 ，与关于x轴对称，其中分别是点A，B，C的对应点．    (1)画出，并写出三个顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)、、，见解析 (2)8 【分析】(1)根据横坐标不变，纵坐标变成相反数计算，画图即可． (2)利用分割法计算面积即可． 【详解】（1）∵点、、 ，与关于x轴对称， ∴、、， 画图如下：    则即为所求． （2）根据题意，得的面积为． 【点睛】本题考查了坐标系中的轴对称，面积计算，熟练掌握轴对称是解题的关键 题型02补形法求图形的面积 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键 【例2-2】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知：，求的面积；    【答案】4 【分析】本题主要考查图形与坐标，过点C作轴，点C作轴，则四边形是长方形，利用割补法求解即可 【详解】解：过点C作轴，点C作轴，则四边形是长方形， ∵， ∴的面积= 【例2-3】（22-23八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，    (1)在平面直角坐标系中画出． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2） 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·广东深圳·期中）的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了作图—基本作图，坐标与图形，根据点的坐标描点连线即可；利用割补法求三角形的面积，设于，则，代入数据进行计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ；   （2）解：如图，设于，   ， ，，， ，，，，， ． 【变式2-2】（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．    (1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )； (2)求三角形的面积； (3)点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标． 【答案】(1)4，0，0，3，2， (2)7 (3) 【分析】（1）直接根据图像可得结果； （2）利用割补法计算即可； （3）利用三角形的面积，得到，从而求出，结合点A坐标即可得解． 【详解】（1）解：由图可知：，，； （2）三角形的面积为：； （3）∵三角形的面积为7， ∴， 即， 解得：， ∴，即点D的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法 【变式2-3】（22-23七年级下·北京大兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段（其中点C与点A，点D与点B是对应点），连接，．    (1)补全图形，点C的坐标是__________，点D的坐标是__________． (2)三角形的面积是__________． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）通过题意的内容指示，将图形补全后，即可得出点和点的坐标． （2）连接，利用割补法即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示， 点和点的坐标分别是；．    （2）解：由题可得：． 【点睛】本题考查了作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质及割补法求三角形的面积． 题型03分割法求图形的面积 【典例分析】 【例3-1】（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【答案】C 【分析】根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，，，， ∵图上一个单位长度表示10米， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键 【例3-2】（22-23七年级下·山西临汾·期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为 ．    【答案】3 【分析】作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线平分四边形的面积列出方程求解可得． 【详解】解：过点C作轴于点E， ∵，，，， ∴，    ∴四边形的面积 ， 设点， 则， ∵直线平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键 【例3-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积． 【答案】15 【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可． 【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F． ∵点，，， ∴，， ∴，，，， ． 所以四边形的面积是15 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（    ）． A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值． 【详解】解：作轴于点P， ∵、、、， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ①当即时， 即，解得：， ∴； ②当即时， 即，解得：， ∴； 综上可知． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键 【变式3-2】（22-23七年级下·湖北恩施·期中）如图，有一块不规则的四边形地皮，各个顶点的坐标分别为，，，图上一个单位长度表示米，求这个四边形的面积．    【答案】这个四边形的面积为 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图，先计算出相关线段的长，再根据求解即可 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ，，，， ，，，，， ，， ． 答：这个四边形的面积为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正确得到相关线段的长度、掌握割补法求解的方法是关键 【变式3-3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)求； (2)求； 【答案】(1)11； (2)7； 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，坐标与图形、割补法求面积：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点B作与点D，再运用割补法进行求，即可作答． （2）用减去，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，过点B作与点D， ∵点 ∴， ∴ （2）解：如图2，连接， 题型04利用三角形的面积求点的坐标 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解． 【详解】解：点， ， 解得， 若点在点的左边，则， 此时，点的坐标为， 若点在点的右边，则， 此时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观 【例4-2】（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如果点，，点C在y轴上，且的面积是5，则C点坐标 ． 【答案】或 【分析】设点C的坐标为，求出的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：设点C的坐标为， ∵，， ∴， 由题意得：，解得：或， ∴点C的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是三角形的面积、坐标与图形性质等知识点，正确表示出的长、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键 【例4-3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接交y轴于点C，连接． (1)画出三角形并求三角形的面积； (2)求点C的坐标． 【答案】(1)图见解析；6； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积、一元一次方程的应用等知识点，正确画出图形是解题的关键． （1）根据A和B的坐标画出，再标出底和高，然后再计算即可； （2）设，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：所画的即为所求， ∵， ∴，点B到的距离是3， ∴的面积是． （2）解：设， 由（1）知的面积是6， ∵， ∴，解得， ∴点C的坐标为． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查坐标系中的坐标与图形，根据点A和点B在x轴上，距离可用横坐标之差的绝对值求出，C点在y轴的正半轴上，用面积列等式求解即可． 【详解】解：点C在y轴的正半轴上，点和点在x轴上， ， 的面积为8，得 ， 解得， 点， 故选：C． 【变式4-2】（21-22八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知点A（0，0），B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积是6，则点C的坐标为 ． 【答案】或/（0，-6）或（0,6） 【分析】先根据点C在y轴上，设出C的坐标，有两种情况进行讨论，再根据三角形的面积公式，即可求出点C的坐标． 【详解】∵点C在y轴上， ∴设点C的坐标为：， 又∵A，B， ∴， 当点C的坐标在x轴的上方时，，解得：，C点坐标为； 当点C的坐标在x轴的下方时，，解得：，C点坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形面积的计算，分类讨论是解题的关键 【变式4-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)请在图中画出； (2)若点P在坐标轴上，且的面积是面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了坐标与图形，利用割补法求解三角形面积等知识，掌握利用割补法求解三角形面积是解答本题的关键．解答此题时注意分类讨论的思想． （1）在平面直角坐标系中作出点，连接得到； （2）利用割补法求出的面积，然后分为点P在x轴和点P在y轴两种情况分别计算解题即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为． 当点P在x轴上时， 设点， ∵的面积是面积的2倍， ， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时， 设点， ∵的面积是面积的2倍， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或 题型05面积法说明点的存在性 【典例分析】 【例5-1】（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，． (1)______，点到轴的距离为______． (2)求四边形的面积． (3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，一元一次方程的应用，割补法求几何图形的面积等，利用割补法求图形的面积是解题的关键． （1）根据点和点的坐标即可求解； （2）过点作轴于，过点作轴于，根据点和点的坐标求出和的值，根据三角形的面积和梯形的面积，结合，即可求解； （3）过点作直线平行于轴，过点作于，过点作于，设，分别表示出、、的值，根据三角形的面积和梯形的面积，求得，根据的面积是四边形面积的一半列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，点的坐标为， 故，点到轴的距离为． 故答案为：，． （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴四边形的面积为． （3）解：存在． 理由：过点作直线平行于轴，过点作于，过点作于． 设， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴存在点使得的面积是四边形面积的一半， 【例5-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，且满足．    (1)若为不等式的最大整数解，求的值并判断点在第几象限； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)在（2）的条件下，若两个动点，，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段，且，若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点在第四象限 (2)8 (3)存在，，或， 【分析】（1）求出不等式的解，可得的值，易得点的坐标，然后判断点所在象限即可； （2）将的值代入题中的方程组，可解得的值，即求出点的坐标，在坐标系中标出，延长交轴于，以为底，为高，即可求出的面积； （3）由，且，再根据的坐标特征，即可求出、的坐标． 【详解】（1）解：解不等式，可得， ∴该不等式的最大整数解为， ∵为不等式的最大整数解， ∴， ∴， ∴点在第四象限； （2）∵，且有， ∴， 解得， ∴， 如下图，在坐标系在描出和，连接，，    则， 反向延长交轴于，可得， ∴的面积； （3）由（1）、（2）可得，， ∵，且， ∴， 解得或， ∴，或，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、解不等式、解二元一次方程组、绝对值方程等知识，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题 【例5-3】（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．    (1)求点A、B的坐标； (2)求点F的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查非负数的性质、用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积． （1）根据非负数的性质求出a，b的值的即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，再令，即可求解； （3）先求出的面积，设，则，由列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ∴， 解得：， ∴． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴． （3）解：y轴上是存在一点P，使的面积和的面积相等． ∵， ∴， ∴， 设，如图，    则， ∴， 若的面积和的面积相等， 则， 解得：或． ∴或 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式    (1)请求出、、三点的坐标： (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为； (2)； (3)存在这样的点M，点M的坐标为或． 【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）求出，，再用计算即可； （3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，； ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）解：过点作于，则，    ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：存在，点M的坐标为或， 理由如下： 假设存在这样的点M，设为，则， ∵， ∴ ∵， 由题意得 解得：或， ∴存在这样的点M，点M的坐标为或 【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第二象限内．    (1)若时，求四边形的面积； (2)是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，． 【分析】（1）四边形的面积可表示为的面积与的面积之和，据此可求解； （2）列出相应的式子进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点坐标为， ∴； （2）存在； 由题意得： ， 解得：， 故点P的坐标为： 【点睛】本题主要考查三角形的面积，坐标与图形性质，解答的关键是熟记三角形的面积公式 【变式5-3】（22-23七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中有四点 ．    (1)在图中描出四点，再连接； (2)直接写出线段与线段的位置关系； (3)若与轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据A，B，C，D的坐标确定A，B，C，D的位置即可，再画线段； （2）证明轴，轴，可得答案； （3）如图，设，，则，由，可得，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：A，B，C，D如图示，线段，即为所画的线段；    （2）∵，的纵坐标相同， ∴轴， 同理：轴， ∴． （3）如图，设，，则．      ∵，即 ∴，即，解得： ∴． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握平面直角坐标系内线段的长度的计算是解本题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$