第13章 轴对称 全章复习与测试-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第13章 轴对称全章复习与测试 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用. 2.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法. 知识点一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 知识点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 知识点三、等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点四、含30°角的直角三角形的性质（重点） （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点五.最短路径问题（重点） 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 3.“造桥选址”问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N 一．线段垂直平分线的性质（共2小题） 1．（2023秋•江阳区期末）如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，且，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024•荔湾区校级二模）如图，中，边的垂直平分线与交于点，与交于点，已知，，则的周长是　　 A．7 B．8 C．9 D．10 二．等腰三角形的性质（共2小题） 3．（2024春•未央区月考）若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为　　 A． B． C． D． 4．（2024•榕城区校级模拟）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为　　 A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 三．等腰三角形的判定（共2小题） 5．（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若点也在格点上，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的格点数为　　 A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 6．（2023秋•东城区期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 7．（2023秋•蒙城县期末）如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、． （1）试说明是等腰三角形． （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 8．（2023秋•南浔区期末）如图，中，的角平分线交于点，过点作 交于点， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 五．等边三角形的性质（共2小题） 9．（2023秋•宁江区期末）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•于都县期末）中，，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 六．等边三角形的判定（共2小题） 11．（2024春•揭阳月考）若一个三角形的最小内角为，则下列判断中正确的有　　 （1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2023秋•宿城区期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 七．等边三角形的判定与性质（共2小题） 13．（2024春•惠济区校级月考）如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，则的长为 　　． 14．（2023秋•赣县区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在中，，，是边上的高，点为直线上点，且． （1）如图1，当点在边上时，求证：为等边三角形； （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：为等腰三角形． 八．含30度角的直角三角形（共2小题） 15．（2024春•襄州区校级月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长为　　 A． B．1 C． D．2 16．（2024•湖北模拟）如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 九．生活中的轴对称现象（共2小题） 17．（2023秋•南昌县期末）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“”不能关于某条直线成轴对称的是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•樊城区期末）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 　　． 一十．轴对称的性质（共2小题） 19．（2023秋•青龙县期末）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•凤山县期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，则与成轴对称且以格点为顶点三角形共有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 一十一．轴对称图形（共2小题） 21．（2024•西山区校级模拟）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 22．（2024•亳州二模）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 一十二．镜面对称（共2小题） 23．（2022秋•惠民县期末）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•华亭市校级期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　　． 一十三．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题） 25．（2024•青羊区校级模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•新市区校级期中）若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 一十四．坐标与图形变化-对称（共2小题） 27．（2023秋•兖州区期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为△，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•兖州区期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 一十五．作图-轴对称变换（共2小题） 29．（2024春•未央区月考）如图，在正方形网格上有一个，且网格上最小正方形的边长为1． （1）画出关于直线的对称图形△． （2）求的面积与△的面积之和． 30．（2024•香坊区校级四模）如图是的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形，使点，在格点上，并且四边形为轴对称图形．（画出一种即可） （2）在图2中的线段上作点，使最短．（用实线保留作图痕迹） 一十六．轴对称-最短路线问题（共2小题） 31．（2024春•未央区月考）如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 　　． 32．（2024•大荔县二模）已知：如图，点和点在直线同一侧．求作：直线上一点，使的值最小． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•新乡期末）如图，是一个3×3的正方形网格图案，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使整体网格图案（包括白色方格）成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•连平县期中）在中，，，于，若，则等于　　 A．6 B．3 C．9 D．12 4．（2024春•郸城县期末）如图，四边形关于直线是对称的，有下面的结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有　　 A．①② B．②③ C．①④ D．② 5．（2023秋•宁津县期末）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为　　 A．5 B．8 C．9 D．10 6．（2024•镇远县校级二模）如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为　　 A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 7．（2024•河口区校级模拟）如图，在中，，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•开州区开学）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于　　 A．或 B． C． D．或 10．（2023秋•盘龙区期末）如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，平分，，，则的长为　　 A． B． C．4 D．6 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•南宁期末）如图，等边三角形中，是上的高，，则　　． 12．（2024春•南海区期末）在中，，且，则的度数为　　． 13．（2023秋•宜州区期末）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 　　． 14．（2024•镇远县校级二模）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 　　． 15．（2024春•醴陵市校级期末）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于．若，则　　． 16．（2024春•湛江期末）如图，的两边和的垂直平分线分别交于、两点，若边的长为，则的周长为 　　． 17．（2024春•苏州期末）如图，在中，，，在中，，，以为顶点作一个的角，使其两边分别交于交于点，连接，那么的周长为 　　． 18．（2024春•新郑市期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为　　． 三．解答题（共8小题） 19．（2024•雁塔区校级模拟）在中，是的中点，，，垂足分别为、，且． 求证：是等腰三角形． 20．（2023秋•莆田期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的度数． 21．（2023秋•和县期末）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 22．（2023秋•婺城区期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 23．（2024春•方城县期末）如图，和直线在网格内，的顶点在格点（网格线的交点）上． （1）在网格中作关于直线对称的． （2）结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小． （3）如果每一个小正方形的边长均为1，请直接写出的面积：　　． 24．（2023秋•阳信县期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证： （1）是等边三角形； （2）点在线段的垂直平分线上． 25．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 26．（2024春•丰顺县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称全章复习与测试 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用. 2.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法. 知识点一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 知识点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 知识点三、等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点四、含30°角的直角三角形的性质（重点） （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点五.最短路径问题（重点） 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 3.“造桥选址”问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N 一．线段垂直平分线的性质（共2小题） 1．（2023秋•江阳区期末）如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，且，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】连接，先利用线段垂直平分线的性质得出，故可得出，得出平分，由角平分线的性质可得出结论． 【解答】解：连接， ，， ， 垂直平分， ， ， 平分， ， 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 2．（2024•荔湾区校级二模）如图，中，边的垂直平分线与交于点，与交于点，已知，，则的周长是　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：是边的垂直平分线， ， 的周长， 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 二．等腰三角形的性质（共2小题） 3．（2024春•未央区月考）若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边对等角，可知两个底角相等，再根据三角形内角和定理，可计算出答案． 【解答】解：该等腰三角形的顶角为， 底角为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4．（2024•榕城区校级模拟）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为　　 A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【分析】首先根据求得、的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【解答】解：， ， 解得：， 当为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论． 三．等腰三角形的判定（共2小题） 5．（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若点也在格点上，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的格点数为　　 A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【分析】由已知条件，利用勾股定理可知，然后即可确定点的位置． 【解答】解：如图， ， 当为等腰三角形，则点的个数有8个， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2023秋•东城区期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形． 【解答】解：如图所示，满足条件的点共有4个． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的点． 四．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 7．（2023秋•蒙城县期末）如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、． （1）试说明是等腰三角形． （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【分析】（1）首先根据条件，是边上的高，可证出，，再根据同角的补角相等可得到，再利用三角形的外角与内角的关系可得到，最后利用等角对等边即可得出答案； （2）线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由于是的平分线，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 是的平分线， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）点恰好在线段的垂直平分线上， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 8．（2023秋•南浔区期末）如图，中，的角平分线交于点，过点作 交于点， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由（1）知． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， 平分， ， 由（1）知． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 五．等边三角形的性质（共2小题） 9．（2023秋•宁江区期末）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由等边三角形的性质可得，，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解． 【解答】解：为等边三角形， ， 是等边的一条中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解的度数是解题的关键． 10．（2023秋•于都县期末）中，，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 【解答】解：， ， 为等边三角形， ． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于． 六．等边三角形的判定（共2小题） 11．（2024春•揭阳月考）若一个三角形的最小内角为，则下列判断中正确的有　　 （1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则最小的角将不是，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形． 【解答】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形； 其最大角不大于90度，所以是锐角三角形； 等边三角形是特殊的等腰三角形． 所以前三项正确，即正确有三个． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的理解及运用． 12．（2023秋•宿城区期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【分析】如图，过点作于，于．根据角平分线的性质，由平分，于，于，得，，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【解答】解：如图，过点作于，于． 平分，于，于， ，，． ． 此时，是等边三角形． 当向方向移动，向方向移动，． ． 在和中， ， ． ． △是等边三角形． 当向方向移动，向方向移动，， △是等边三角形． 同理：当向方向移动，向方向移动，也存在无数个满足条件等边． 综上：满足条件的有无数个． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 七．等边三角形的判定与性质（共2小题） 13．（2024春•惠济区校级月考）如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，则的长为 　2　． 【分析】（1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出是等边三角形即可； （2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． 【解答】解：（1）是等边三角形，理由如下： ，， 为等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形； （2）连接交于点，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 故答案为：2． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 14．（2023秋•赣县区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在中，，，是边上的高，点为直线上点，且． （1）如图1，当点在边上时，求证：为等边三角形； （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：为等腰三角形． 【分析】（1）证明为等边三角形，，证出，则可得出结论； （2）证出，则可得出，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：，， 为等边三角形，， 是边上的高， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：同（1）可知， ， 为等边三角形， ， ， ， 即为等腰三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 八．含30度角的直角三角形（共2小题） 15．（2024春•襄州区校级月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长为　　 A． B．1 C． D．2 【分析】先利用垂直平分线得，所以，由角平分线的定义得，继而可通过三角形内角和定理知，再由角直角三角形性质求解即可． 【解答】解：的垂直平分线交于点， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答此题的关键． 16．（2024•湖北模拟）如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得，可得，然后利用三角形外角的性质可得，从而可得，即可解答． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 九．生活中的轴对称现象（共2小题） 17．（2023秋•南昌县期末）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“”不能关于某条直线成轴对称的是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：，，选项中，两个字母“”关于某条直线成轴对称，而选项中，两个字母“”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 18．（2023秋•樊城区期末）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 　书　． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可． 【解答】解：根据轴对称的知识，这个单词是， 这个单词所指的物品是书， 故答案为：书 【点评】本题考查了轴对称的概念，注意轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 一十．轴对称的性质（共2小题） 19．（2023秋•青龙县期末）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质可知，；因为的周长已知，则可把其中的两边，代换为，，则根据是相关线段的和即可求出其长． 【解答】解：点关于的对称点是， ． 点关于的对称点是， ． 的周长，，， ， 故选：． 【点评】本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键． 20．（2023秋•凤山县期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，则与成轴对称且以格点为顶点三角形共有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】解答此题首先找到的对称轴，、、，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【解答】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、、、，共5个， 故选：． 【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 一十一．轴对称图形（共2小题） 21．（2024•西山区校级模拟）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 22．（2024•亳州二模）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 一十二．镜面对称（共2小题） 23．（2022秋•惠民县期末）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是　　 A． B． C． D． 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分． 故选：． 【点评】此题考查了镜面对称，这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质． 24．（2023秋•华亭市校级期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　　． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称来解答此题． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【点评】本题考查了镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧，①平面镜成像的特点之一就是左右上下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每一个数字左右反转，即为像对应的时间．②读取时间问题可以把试卷反过来直接去读． 一十三．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题） 25．（2024•青羊区校级模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“关于轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：． 【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 26．（2024春•新市区校级期中）若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是，因而就得到关于，的方程组，从而求出，，得出点的坐标． 【解答】解：根据题意得： 解得： 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 一十四．坐标与图形变化-对称（共2小题） 27．（2023秋•兖州区期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为△，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】分别作出，，的对应点，，，进而解答即可． 【解答】解：如图所示： 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形对称，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 28．（2023秋•兖州区期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【解答】解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第2024次变换后所得的点与第四次变换的位置相同，在第一象限，坐标为． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化对称，规律型：点的坐标，解题的关键是找出循环的规律及关于坐标轴对称点的坐标特点：关于谁对称谁不变另一个互为相反数． 一十五．作图-轴对称变换（共2小题） 29．（2024春•未央区月考）如图，在正方形网格上有一个，且网格上最小正方形的边长为1． （1）画出关于直线的对称图形△． （2）求的面积与△的面积之和． 【分析】（1）先确定，，关于直线的对称点，，，再顺次连接即可； （2）利用割补法与轴对称的性质可得两个三角形的面积之和． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）网格上最小正方形的边长为1， 的面积． 由轴对称图形的性质可知，的面积与△的面积相等， 的面积与△的面积之和为． 【点评】本题考查的是画轴对称图形，求解网格三角形的面积，掌握轴对称的性质并应用于画图是解本题的关键． 30．（2024•香坊区校级四模）如图是的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形，使点，在格点上，并且四边形为轴对称图形．（画出一种即可） （2）在图2中的线段上作点，使最短．（用实线保留作图痕迹） 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图即可． （2）结合垂线段最短，过点作的垂线，交于点，则点即为所求． 【解答】解：（1）如图1，四边形即为所求． （2）如图2，过点作的垂线，交于点， 则点即为所求． 【点评】本题考查作图轴对称变换、垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的定义、垂线段最短是解答本题的关键． 一十六．轴对称-最短路线问题（共2小题） 31．（2024春•未央区月考）如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 　2　． 【分析】如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，，连接，．此时，的周长最小，最小值为线段的长．证明△是等边三角形，从而可得结论． 【解答】解：如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，， 连接，． 此时，的周长最小，最小值为线段的长． ， ． ， △是等边三角形， ， 的周长的最小值为2． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质， 32．（2024•大荔县二模）已知：如图，点和点在直线同一侧．求作：直线上一点，使的值最小． 【分析】过作直线的垂线，在垂线上取点，使直线是的垂直平分线，连接即可． 【解答】作法： 作点关于直线的对称点， 连接交于点， 则点为所求． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可． 【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2024春•新乡期末）如图，是一个3×3的正方形网格图案，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使整体网格图案（包括白色方格）成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案． 【解答】解：如图所示， ， 在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使整体网格图案成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3共3个小正方形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3．（2024春•连平县期中）在中，，，于，若，则等于　　 A．6 B．3 C．9 D．12 【分析】求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出、，然后根据计算即可得解． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 4．（2024春•郸城县期末）如图，四边形关于直线是对称的，有下面的结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有　　 A．①② B．②③ C．①④ D．② 【分析】根据轴对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：四边形关于直线是对称的， ，故②正确， 只有时，，，故①③错误； 仅由图形无法证明，故④错误； 所以，正确的结论是②． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键． 5．（2023秋•宁津县期末）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为　　 A．5 B．8 C．9 D．10 【分析】根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（2024•镇远县校级二模）如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为　　 A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到，，从而可得到，，再根据角平分线的性质即可得到，从而可推出，根据直角三角形30度角的性质即可求得的长，即得到了的长． 【解答】解：是等腰三角形，为底边的中点， ，， ， ，， 是的角平分线， ． ， ． ， ． ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出是解此题的关键． 7．（2024•河口区校级模拟）如图，在中，，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形性质推出，，根据三角形外角性质推出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 在中，， ，即，故错误，不符合题意； ，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，故错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题综合考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，关键是能根据定理推出，． 8．（2024•开州区开学）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，则所需管道最短． 故选：． 【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 9．（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于　　 A．或 B． C． D．或 【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，， 顶角； 如图2，三角形是钝角时，， 顶角， 综上所述，顶角等于或． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 10．（2023秋•盘龙区期末）如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，平分，，，则的长为　　 A． B． C．4 D．6 【分析】利用线段的垂直平分线的性质求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：垂直平分，，平分， ， 垂直平分， ． 在 中， ．． ． ， 故选：． 【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•南宁期末）如图，等边三角形中，是上的高，，则　1　． 【分析】根据等边三角形的性质得，进而再根据是上的高可得出的长． 【解答】解：为等边三角形，， ， 是上的高， ， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，理解等边三角形的三边相等，三个角都是，边上的高、中线与对角的平分线重合是解决问题的关键． 12．（2024春•南海区期末）在中，，且，则的度数为　　． 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后求得的度数，最后利用三角形的内角和求得的度数． 【解答】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，属于基础性题目，比较简单． 13．（2023秋•宜州区期末）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 　10　． 【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解． 【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ， 不能组成三角形； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长， 综上所述，三角形的周长为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 14．（2024•镇远县校级二模）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 　　． 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【解答】解：， 点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 15．（2024春•醴陵市校级期末）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于．若，则　　． 【分析】根据轴对称的性质，，为内部一点，点关于、的对称点分别为、，，，可求出的度数． 【解答】解：与关于对称， 垂直平分， ， ， 同理：， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，即对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 16．（2024春•湛江期末）如图，的两边和的垂直平分线分别交于、两点，若边的长为，则的周长为 　10　． 【分析】根据相似垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：边和的垂直平分极分别交于、两点， ，， 的周长， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17．（2024春•苏州期末）如图，在中，，，在中，，，以为顶点作一个的角，使其两边分别交于交于点，连接，那么的周长为 　10．　． 【分析】延长到，使，连接，先证明，进而可依据“”判定和全等得，，然后证明，进而可依据“”判定和全等得，进而得，据此可得的周长． 【解答】解：延长到，使，连接，如下图所示： 在中，，， ， 在中，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 即的周长为10， 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 18．（2024春•新郑市期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为　或或　． 【分析】求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【解答】 解：，平分， ， ①当在时，， ， ； ②当在点时，， 则； ③当在时，， 则； 故答案为：或或． 【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 三．解答题（共8小题） 19．（2024•雁塔区校级模拟）在中，是的中点，，，垂足分别为、，且． 求证：是等腰三角形． 【分析】根据中点的定义可得到，再根据即可判定，从而可得到，根据等角对等边可得到，即是等腰三角形． 【解答】证明：是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用． 20．（2023秋•莆田期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的度数． 【分析】设，则，由等腰三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质得到，求出，即可得到． 【解答】解：设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质列出关于的方程． 21．（2023秋•和县期末）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 【分析】（1）连接，证出是等边三角形，得出，则可得出结论； （2）证出，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：连接， 是边的垂直平分线， ， 为的中点， ， ， ，为的中点， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）证明：，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的垂直平分线为， ， 为等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 22．（2023秋•婺城区期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 【分析】根据轴对称的性质画图． 【解答】解：如图， 【点评】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点． 23．（2024春•方城县期末）如图，和直线在网格内，的顶点在格点（网格线的交点）上． （1）在网格中作关于直线对称的． （2）结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小． （3）如果每一个小正方形的边长均为1，请直接写出的面积：　5　． 【分析】（2）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，则点即为所求． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． （3）的面积为． 故答案为：5． 【点评】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 24．（2023秋•阳信县期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证： （1）是等边三角形； （2）点在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证． 【解答】（1）证明：在中，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是的垂直平分线， ，， ，则， ， 平分， ，， ， 是等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解； （2）根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可． 【解答】解：（1）和分别垂直平分和， ，， 的周长， 的周长为12， ； （2），， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 26．（2024春•丰顺县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 【分析】（1）由的垂直平分线交于点，交于点，可得，又由的周长等于，可得，继而求得答案； （2）由，并且，易求得，即可证得． 【解答】（1）解：是的垂直平分线， ， ，的周长等于， ， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$