21.2 二次函数的图象和性质（3种题型基础练+能力提升练）数学沪科版九年级上册

21.2 二次函数的图象和性质（3种题型基础练+能力提升练） 一．二次函数的图象（共5小题） 1．（2024•安徽一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线对称轴为直线推出，再根据当时，，得到，由此即可得到答案． 【解答】解：对称轴为直线， ， ， 当时，， ，即， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与轴交于， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出，是解题的关键． 2．（2024•贵池区三模）如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由一次函数与二次函数图象相交于第一象限的、两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点在轴的正半轴，即可进行判断． 【解答】解：由图象可知一次函数与二次函数交于第一象限的、两点， 函数与轴有两个交点，两个交点在轴的正半轴， 符合条件， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 4．（2024•怀远县一模）已知一次函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与的图象，即可判断，，据此即可判断函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的上方． 【解答】解：由图象可知， 函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的上方， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象和性质，熟知一次函数的性质，二次函数的性质是解题的关键． 5．（2024•灵璧县一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象可知，，，，函数的图象过第一、二、四象限，据此解答即可． 【解答】解：由二次函数的图象可知，，，，函数的图象过第一、二、四象限． 、函数的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； 、函数的图象走第一、二、四象限，不存在这种可能，符合题意； 、函数的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； 、函数的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系式解答本题的关键． 二．二次函数的性质（共13小题） 6．（2023秋•六安期末）二次函数的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数的顶点坐标． 【解答】解：二次函数是顶点式， 顶点坐标为． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 7．（2024•瑶海区一模）抛物线的对称轴是　　 A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴． 【解答】解：， 抛物线顶点坐标为，对称轴为轴， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 8．（2023秋•包河区期末）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中，那么这个被蘸上了墨水的函数值是　　 0 1 2 3 3 4 3 0 A． B．3 C．4 D．0 【分析】由图表可知，和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可． 【解答】解：、时的函数值都是3相等， 此函数图象的对称轴为直线． 这个被蘸上了墨水的函数值是0， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9．（2024•蚌埠模拟）已知二次函数的图象如图所示，则关于的一次函数的图象一定不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据开口向上，与轴交于负半轴，得到，，则，根据对称轴计算公式得到，由此可得一次函数解析式为，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【解答】解；二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， 又对称轴为直线， ， ， 一次函数解析式为， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：． 【点评】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质． 10．（2024•阜阳二模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值，解方程求出的值即可． 【解答】解：， 抛物线是常数）的顶点坐标为， 顶点到轴的距离为2， ， 即或， 解得或， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标． 11．（2023秋•蒙城县校级期末）二次函数，若，则自变量的取值范围是　　 A．或 B．或 C． D． 【分析】由求得对应的函数的自变量的值，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，则，即， 解得：或， 当时，自变量的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数的性质是解题的关键． 12．（2024•砀山县二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【解答】解：因为二次函数的表达式为， 所以抛物线的开口向上． 故说法正确； 又抛物线的对称轴是直线， 故说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为， 故说法正确； 因为抛物线对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，随的增大而减小． 故说法不正确； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 13．（2024•马鞍山一模）设，若对于任意实数，都满足，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】观察题目可知，当时，再将代入已知不等式组，求出的值即可． 【解答】解：当时，， 将代入， 得：， 化简得：，即 ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 14．（2023秋•包河区期末）当时，函数的值记为，已知函数，若，且，则的值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据函数的对称性可以求出，的关系，再代入计算即可． 【解答】解：， 抛物线对称轴为直线， ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数的对称性． 15．（2024•蚌埠三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 　　； （2）当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则　　． 【分析】（1）将，代入，再用配方法求出顶点坐标； （2）根据题意得出函数于轴交点纵坐标是3，定点纵坐标是7，求得和的值． 【解答】解：（1）当， 时， ， 该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：； （2）当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，且， 对称轴在轴左侧， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的基本性质，掌握顶点坐标公式是解题的关键． 16．（2024•鸠江区一模）二次函数的对称轴为直线 　　． 【分析】根据对称轴方程解答即可． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数性质的应用是解题的关键． 17．（2024•潜山市校级一模）定义：，．若函数，，则该函数的最大值为 　3　． 【分析】设直线，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【解答】解：设直线，抛物线， 联立直线与抛物线方程得， 解得或， 直线与抛物线交点坐标为，， 如图， 时，，函数最大值为， 时，，函数最大值为， 当时，，， 时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 18．（2023秋•金安区期末）定义新运算：对于任意实数、都有． 例如：，根据以上知识解决下列问题： 求抛物线的顶点坐标． 【分析】利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案． 【解答】解：根据题意知， ， 顶点坐为． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标，解题的关键是掌握新定义运算法则． 三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 19．（2023秋•蚌埠期末）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程． 【解答】解：（1）设函数解析式为，把顶点和点代入解析式，得： ，所以抛物线的解析式为：； （2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴． 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式． 20．（2023秋•临泉县期末）抛物线的图象如图所示，其中点为顶点． （1）写出点，的坐标； （2）求出抛物线的解析式． 【分析】（1）观察图象即可写出点，的坐标； （2）利用待定系数法即可求解． 【解答】解：（1）观察图象可知，，； （2）为顶点，， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 抛物线的解析式为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，属于中考常考题型． 21．（2023秋•滁州期末）已知一个二次函数的图象过点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的关系式． 【分析】由题意可以设函数的顶点式：，然后再把点代入函数的解析式，求出值，也可以设出函数的一般式，根据待定系数法求出二次函数的解析式． 【解答】解：顶点坐标为， 设所求二次函数关系式为． 把代入上式，得， ． ， 即． 【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式． 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•瑶海区校级月考）若关于的二次函数，当时，随着的增大而减小，且关于的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数的值有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据二次函数的性质列出不等式求得的范围，解分式方程，根据分式方程的解为正数且不是增根，列出不等式，求出的范围，最后根据为整数，写出的值即可． 【解答】解：二次函数的对称轴为：，当时，随着的增大而减小， ， ； 方程两边同时乘得：， 解得：， ，且， 且， 且， 为整数， ，，，，0． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，注意分式方程要检验． 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•阜阳月考）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上； 2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同； 甲同学写出几个二次函数表达式： ①； ②； ③； ④； 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 　②④　． 【分析】设抛物线的解析式为，函数图象的顶点在轴上，则，当时，随的增大而减小则函数的对称轴一定是直线或在的右侧，抛物线开口向上，该函数的形状与函数的图象相同，则． 【解答】解：设抛物线的解析式为， 函数图象的顶点在轴上， ， 当时，随的增大而减小， ，抛物线开口向上， 该函数的形状与函数的图象相同， ， 故答案为：②④． 【点评】本题考查了二次函数的性质，能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键． 3．（2023秋•花山区校级期中）定义符号，的含义为：当时，，；当时，，．如：，， ，．则，的最大值是 　1　． 【分析】令，求出抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【解答】解：令， 解得，， 抛物线与直线交点横坐标为，1， 将代入得， 将代入得， 如图， ，， ，的最大值是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 三．解答题（共7小题） 4．（2023秋•蜀山区校级期中）阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“问真二次函数”． 　 （答案不唯一）　； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求的值． 【分析】（1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“同倍二次函数”定义求解． （2）由二次函数的顶点为，二次函数的顶点坐标为，，根据“问真二次函数”定义可得，解关于的方程即可． 【解答】解：（1）， 图象顶点坐标为， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是， 故答案为：． （2）二次函数的顶点为， 二次函数的顶点坐标为，， 函数恰是的“问真二次函数”， ， 解得． ， ，符合题意， ． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解． 5．（2023秋•淮北期中）规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点，是“完美点”，则　1　； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 【分析】（1）由定义可得，求出的值即可； （2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点到原点的距离为2求出的值即可得到答案． 【解答】解：（1）点，是“完美点”， ，即， 解得：， 故答案为：1； （2）某“完美函数”的顶点在直线上， 设函数的顶点为， 该函数为“完美函数”， ， 解得：， ， 该函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 令，则， 该函数与轴的交点到原点的距离为2， ， 解得：或， 或 该“完美函数”的表达式为：或． 【点评】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 6．（2023秋•芜湖月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点． （1）求的值； （2）若点在该抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②若直线一定经过点，请判断四边形的形状，并说明理由． 【分析】（1）先把点、的坐标代入可得到，、的关系为，，所以，然后计算的值； （2）①先利用点和点的坐标特征和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线与的另一个交点的坐标为，设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可； ②先解不定方程得到点坐标为，则可得到，所以可判断四边形为平行四边形，然后计算出，则．从而可判断四边形为菱形． 【解答】解：（1）把，分别代入得， ， ， ； （2）①抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与的一个交点的坐标为， 抛物线与的另一个交点的坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； ②四边形为菱形． 理由如下： ， ， 为不等于0的任意数， ，， 解得，， 点的坐标为， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 7．（2023秋•桐城市月考）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点坐标为． （1）求的值； （2）求二次函数，的解析式． 【分析】（1）根据已知新定义和当时，得出，求出即可； （2）把的值代入函数，根据顶点的横坐标即可求出，再把的值代入求出即可． 【解答】解：（1），，的“生成函数”为：； ， 当时，， ， 解得：，（不合题意舍去）； （2）由（1）得：， 二次函数的图象的顶点坐标为． ， 解得：， ，． 【点评】本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度． 8．（2023秋•阜阳月考）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为 （1）求的值及抛物线的顶点坐标． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【分析】（1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【解答】解：（1）把点的坐标为代入抛物线得：， 解得：， ， 顶点坐标为：． （2）连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 设直线的解析式为：， 点，点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 当的值最小时，点的坐标为：． 【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键． 9．（2023秋•裕安区校级月考）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． （1）试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； （2）如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 【分析】（1）根据函数图象设出函数关系式，再将点坐标代入求解即可求解； （2）设抛物线的表达式，将点坐标代入即可求解． 【解答】解：（1）由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线弧段经过了点 解之，得． 故所求的函数表达式为 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得： 故所求抛物线弧的函数表达式是． 【点评】本题考查了同学们根据函数图象求解函数表达式的能力． 10．（2022秋•定远县期末）设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题； （2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题； 【解答】解：（1）， 顶点，， 的值顶点坐标为， ． （2），， 由题意，解得． 【点评】本题考查二次函数的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 二次函数的图象和性质（3种题型基础练+能力提升练） 一．二次函数的图象（共5小题） 1．（2024•安徽一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2024•贵池区三模）如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 3．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 4．（2024•怀远县一模）已知一次函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 5．（2024•灵璧县一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是　　 A． B． C． D． 二．二次函数的性质（共13小题） 6．（2023秋•六安期末）二次函数的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 7．（2024•瑶海区一模）抛物线的对称轴是　　 A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 8．（2023秋•包河区期末）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中，那么这个被蘸上了墨水的函数值是　　 0 1 2 3 3 4 3 0 A． B．3 C．4 D．0 9．（2024•蚌埠模拟）已知二次函数的图象如图所示，则关于的一次函数的图象一定不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2024•阜阳二模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为　　 A． B． C．或 D．或 11．（2023秋•蒙城县校级期末）二次函数，若，则自变量的取值范围是　　 A．或 B．或 C． D． 12．（2024•砀山县二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 13．（2024•马鞍山一模）设，若对于任意实数，都满足，则的值是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•包河区期末）当时，函数的值记为，已知函数，若，且，则的值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 15．（2024•蚌埠三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 　　； （2）当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则　　． 16．（2024•鸠江区一模）二次函数的对称轴为直线 　　． 17．（2024•潜山市校级一模）定义：，．若函数，，则该函数的最大值为 　　． 18．（2023秋•金安区期末）定义新运算：对于任意实数、都有． 例如：，根据以上知识解决下列问题： 求抛物线的顶点坐标． 三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 19．（2023秋•蚌埠期末）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 20．（2023秋•临泉县期末）抛物线的图象如图所示，其中点为顶点． （1）写出点，的坐标； （2）求出抛物线的解析式． 21．（2023秋•滁州期末）已知一个二次函数的图象过点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的关系式． 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•瑶海区校级月考）若关于的二次函数，当时，随着的增大而减小，且关于的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数的值有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•阜阳月考）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上； 2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同； 甲同学写出几个二次函数表达式： ①； ②； ③； ④； 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 　　． 3．（2023秋•花山区校级期中）定义符号，的含义为：当时，，；当时，，．如：，， ，．则，的最大值是 　　． 三．解答题（共7小题） 4．（2023秋•蜀山区校级期中）阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“问真二次函数”． 　　； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求的值． 5．（2023秋•淮北期中）规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点，是“完美点”，则　　； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 6．（2023秋•芜湖月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点． （1）求的值； （2）若点在该抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②若直线一定经过点，请判断四边形的形状，并说明理由． 7．（2023秋•桐城市月考）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点坐标为． （1）求的值； （2）求二次函数，的解析式． 8．（2023秋•阜阳月考）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为 （1）求的值及抛物线的顶点坐标． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 9．（2023秋•裕安区校级月考）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． （1）试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； （2）如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 10．（2022秋•定远县期末）设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 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