1.1 直线的斜率与倾斜角（4种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

1.1 直线的斜率与倾斜角（4种题型基础练+能力提升练） 一．确定直线位置的几何要素（共3小题） 1．（2023秋•新吴区校级月考）如果且，那么直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•常熟市校级月考）直线，，下列图象中正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•盐城月考）直线不经过第四象限，则的取值范围是 　　． 二．直线的倾斜角（共4小题） 4．（2023秋•宿迁期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•扬州期末）直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•南京月考）过两点，的直线的倾斜角为，则　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•江宁区期末）在平面直角坐标系中，经过两点，的直线倾斜角为，则实数的值为 　　． 三．直线的斜率（共3小题） 8．（2023秋•盐城期末）直线的斜率为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•溧阳市校级期末）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．， D．， 10．（2023秋•响水县校级期末）已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是　　 A．或 B． C． D．或 四．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 11．（2023•东海县校级开学）直线可能是　　 A． B． C． D． 12．（2022秋•滨海县期中）直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的直线方程　　 A． B． C． D． 13．（2022秋•通州区期中）直线不通过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2022秋•大丰区校级期末）已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为　　． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•连云区校级期中）已知点，，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•靖江市校级月考）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是　　 A．， B． C． D． 4．（2023秋•铜山区期中）已知过，两点的直线的倾斜角是，则，两点间的距离为　　 A．2 B． C． D． 5．（2023秋•丹阳市期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是　　 A．， B．，， C．， D．， 6．（2022秋•邗江区校级期中）已知，，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为　　 A． B． C． D．2 7．（2022秋•亭湖区校级期末）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D．或 8．（2022秋•贾汪区校级月考）若图中的直线，，的斜率分别为，，，则有　　 A． B． C． D． 二．多选题（共1小题） 9．（2023秋•赣榆区期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线的斜率可能是　　 A． B． C． D．1 三．填空题（共5小题） 10．（2023秋•新吴区校级期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 　　． 11．（2023秋•新吴区校级月考）已知实数，满足，且，若直线的方向向量为，则直线的斜率的取值范围为 　　． 12．（2023秋•常州月考）已知直线上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率为 　　． 13．（2022秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知，，，直线，相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 　　． 14．（2022秋•金湖县月考）若直线与直线，分别交于点、，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为　　． 四．解答题（共7小题） 15.　如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率． 16.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)； (4)E(a,2)，F(3,6)． 17.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 18.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 19．已知直线l经过A(－1，m)，B(m,1)两点．问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的倾斜角为45°？ (4)直线l的倾斜角为锐角？ 20.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 21．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 直线的斜率与倾斜角（4种题型基础练+能力提升练） 一．确定直线位置的几何要素（共3小题） 1．（2023秋•新吴区校级月考）如果且，那么直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由已知可确定直线斜率及纵轴截距的范围，进而可判断直线所经过的象限． 【解答】解：因为且， 由可得， 则，， 故直线经过一二四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了确定直线位置的要素，属于基础题． 2．（2023秋•常熟市校级月考）直线，，下列图象中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：直线，， 选项，，错误． 选项，，正确． 选项，，正确． 选项，，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线位置关系的确定，属于基础题． 3．（2023秋•盐城月考）直线不经过第四象限，则的取值范围是 　　． 【分析】直线不经过第四象限，则，然后求解即可． 【解答】解：令， 则， 又直线不经过第四象限， 则， 即， 即的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的方程，重点考查了直线的斜率及截距，属基础题． 二．直线的倾斜角（共4小题） 4．（2023秋•宿迁期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】由斜率的定义和斜率的计算公式计算即可求得． 【解答】解：设直线的倾斜角为，，， 则， 所以． 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题． 5．（2023秋•扬州期末）直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：直线的斜率为， 则直线的倾斜角为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 6．（2023秋•南京月考）过两点，的直线的倾斜角为，则　　 A． B． C． D． 【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求． 【解答】解：设直线斜率为，则． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及斜率与倾斜角关系的应用，属于基础题． 7．（2023秋•江宁区期末）在平面直角坐标系中，经过两点，的直线倾斜角为，则实数的值为 　4．　． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：经过两点，的直线倾斜角为， 则，解得． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 三．直线的斜率（共3小题） 8．（2023秋•盐城期末）直线的斜率为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用直线方程求出直线的斜率即可． 【解答】解：直线的斜截式方程为：． 所以直线的斜率为：． 故选：． 【点评】本题考查直线方程求解直线的斜率，是基础题． 9．（2023秋•溧阳市校级期末）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．， D．， 【分析】根据已知条件，先求出直线的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解． 【解答】解：直线可变形为， 令，解得，即直线过定点， ，， ，， 由图象可知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题． 10．（2023秋•响水县校级期末）已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是　　 A．或 B． C． D．或 【分析】根据，，三点的坐标，写出直线、的斜率，再由直线与线段无交点，得解． 【解答】解：因为，，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为直线过点与线段不相交， 所以， 即的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题． 四．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 11．（2023•东海县校级开学）直线可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据直线的点斜式方程，判断直线的位置特征，从而得出结论． 【解答】解：由于直线经过点，斜率为， 它的图象经过一、二、三象限， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题． 12．（2022秋•滨海县期中）直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的直线方程　　 A． B． C． D． 【分析】先得到直线倾斜角，由题意可得所求直线的倾斜角等于，可得所求直线的斜率，用点斜式求得直线方程． 【解答】解：直线直线的斜率等于，设倾斜角等于，即， 绕它与轴的交点，逆时针旋转， 所得到的直线的倾斜角等于，故所求直线的斜率为， 故所求的直线方程为，即， 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率是解题的关键． 13．（2022秋•通州区期中）直线不通过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由题意可得斜率，在轴上的截距，即直线的倾斜角为钝角，在轴上的截距大于0，故直线不经过第三象限． 【解答】解：直线即， 则斜率，，即直线的倾斜角为钝角，在轴上的截距大于0，故直线不经过第三象限， 故选：． 【点评】本题考查确定直线位置的方法，即根据直线的倾斜角和它在轴上的截距来确定直线在坐标系终的位置． 14．（2022秋•大丰区校级期末）已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为　60度或120度　． 【分析】设直线的倾斜角为，则，再根据的范围求出 的大小． 【解答】解：直线的斜率的绝对值等于，设直线的倾斜角为，则， 又，，故 或， 故答案为：或． 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•连云区校级期中）已知点，，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设直线的倾斜角为，，， 由题意可得， ． 故选：． 【点评】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据直线的方程求出直线的斜率，可得它的倾斜角． 【解答】解：由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题． 3．（2023秋•靖江市校级月考）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是　　 A．， B． C． D． 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【解答】解：直线的方程为，设直线的倾斜角为， ①当时，， ②当时，直线的斜率， 所以，，， 所以， 综上所述：； 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，正切函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 4．（2023秋•铜山区期中）已知过，两点的直线的倾斜角是，则，两点间的距离为　　 A．2 B． C． D． 【分析】结合直线的斜率公式先求出，然后结合两点间距离公式可求． 【解答】解：由题意得， 所以，，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，直线的斜率公式，两点间的距离公式，属于基础题． 5．（2023秋•丹阳市期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是　　 A．， B．，， C．， D．， 【分析】由已知结合直线的斜率公式及直线与倾斜角的关系可求． 【解答】解：因为直线经过点，且不经过第三象限， 所以， 直线的斜率的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题． 6．（2022秋•邗江区校级期中）已知，，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为　　 A． B． C． D．2 【分析】由题意，利用直线的倾斜角和斜率的定义，直线的斜率公式，计算求得值． 【解答】解：，两点所在直线的倾斜角为， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的定义，直线的斜率公式，属于基础题． 7．（2022秋•亭湖区校级期末）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【解答】解：，，， 则，， 直线与线段相交， ． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 8．（2022秋•贾汪区校级月考）若图中的直线，，的斜率分别为，，，则有　　 A． B． C． D． 【分析】利用直线的斜率结合直线在图象中的位置关系进行判断． 【解答】解：图中的直线，，的斜率分别为，，， 数形结合得： ． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率的大小的判断，考查直线的方向向量与直线的斜率的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．多选题（共1小题） 9．（2023秋•赣榆区期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线的斜率可能是　　 A． B． C． D．1 【分析】借助直线斜率的定义，三角形性质求解，即可得出选项． 【解答】解：分别设直线，，的倾斜角为，，， 则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知　　， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角，所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以，所以直线的斜率为，故选项正确； 若为钝角，则， 所以 ， 所以， 所以直线的斜率为，故选项正确； 当时，如图所示： ， 因为为等腰三角形，则， 所以， 解得 （舍， 所以， 所以直线的斜率为1， 故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查直线方程的应用，属于中档题． 三．填空题（共5小题） 10．（2023秋•新吴区校级期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 　　． 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况． 【解答】解：如图，直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．（2023秋•新吴区校级月考）已知实数，满足，且，若直线的方向向量为，则直线的斜率的取值范围为 　，　． 【分析】先根据直线的方向向量表示出直线的斜率，再由，且，结合不等式的性质可求出直线的斜率的取值范围． 【解答】解：直线的方向向量为， 则直线的斜率， 因为，所以， 因为，所以，所以， 即， 所以，即，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查直线斜率的求解，考查计算能力，属于基础题． 12．（2023秋•常州月考）已知直线上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率为 　　． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解． 【解答】解：设点是直线上的一点， 将点右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点仍在该直线上， 则直线的斜率． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 13．（2022秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知，，，直线，相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 　　． 【分析】设，，依题意表示出，，即可得到动点的轨迹方程，再根据距离公式及二次函数的性质计算可得． 【解答】解：设，，则，， 所以，即， 即动点的轨迹方程为，， 所以， 所以当时． 故答案为：． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题． 14．（2022秋•金湖县月考）若直线与直线，分别交于点、，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为　　． 【分析】通过直线与直线，分别交于点、，推出坐标，利用中点坐标公式可求得，的值，从而可求直线的斜率． 【解答】解：直线与直线，分别交于点，， ，点的坐标分别为：，， 线段的中点坐标为， 由中点坐标公式得：，， ，； 直线的斜率． 故答案为： 【点评】本题考查中点坐标公式的应用，直线的斜率的求法，设出，是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 四．解答题（共7小题） 15.　如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率． 解　(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 则由斜率公式得k1＝＝， k2＝＝－4，k3＝＝0. (2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，其斜率不存在；当a≠3时，其斜率k＝＝. 16.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)； (4)E(a,2)，F(3,6)． 解　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在． (4)当a＝3时，直线EF的斜率不存在； 当a≠3时，直线EF的斜率k＝. 17.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　如图，由题意可知 kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 18.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 19．已知直线l经过A(－1，m)，B(m,1)两点．问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的倾斜角为45°？ (4)直线l的倾斜角为锐角？ 解　(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝0， ∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1， 解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0， 解得－1<m<1. 20.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝， kBD＝tan 120°＝－. 21．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围． 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上， 且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$