2.1 等式的性质与不等式的性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1 等式的性质与不等式的性质 学习目标 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系 了解不等式(组)的实际背景 了解不等式一些基本的性质 1 2 3 学习重点 学习难点 用不等式(组)正确表示出不等关系 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,了解不等式(组)研究含有不等关系的问题，并且理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 新课导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示. 思考一下 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 结论 结论 实数的大小比较 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系： 如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a ＜b；当点A在点B的右边时，a＞b. . . . . a a b b A A B B a ＜b a＞b 比较两个数(式)的大小的方法 方法总结 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 解 本题借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式），这是解决不等式问题的常用方法——作差法. 扩展一下 解决不等式问题的另一种常用方法——作商法 注意：作商法的适用范围较小，且限制较多，用的较少. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论 探究一下 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成下图 一个重要不等式 不等式的性质 证明 课堂巩固 D A C D BD 总结一下 一个重要的不等式 不等式的性质（七个） THANK YOU 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”就是v的大小不能超过40，于是 . 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c. 对于（4），如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE. 如果 是正数，那么 ；如果 等于0，那么 ；如果 是负数，那么 ，反过来也对. 这个基本事实可以表示为 ⇔ ； ⇔ ； ⇔ . 例1 比较 和 的大小. 依据： 时， ； ； 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的 两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为 . 这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为 . 由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就 得到了一个不等式 . 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有 .于是就有 . 一般地， ，有 ，当且仅当 时，等号成立. 事实上，利用完全平方差公式，得 .因为 ， ，当且仅当 时，等号成立，所以 .因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 ，当且仅当 时，等号成立. 性质1 如果 ，那么 ；如果 ，那么 .即 . 性质2 如果 ， ，那么 .即 . 性质6 如果 ， ，那么 . 性质7 如果 ，那么 . 性质3 如果 ，那么 . 性质4 如果 ， ，那么 ；如果 ， ，那么 . 性质5 如果 ， ，那么 . 例2 已知 ， ，求证 . 分析：要证明 ，因为 ，所以可以先证明 . 利用已知 和性质3，即可证明 . 因为 ，所以 ， ， 于是 ，即 . 由 ，得 . 1.如果 ， ，那么下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 解析：由选项可知，仅需要比较a， ， 三个数的大小， 显然， ， ， ，所以 最大，由 可得， ， 所以 ，即 ，可得 .故选：D. 2.若 ， ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A. ， ，则 ，成立 对于B. ， ， ； 对于C. ， ； 对于D.若 ， ， ，则不成立故选A. 3.若 ,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A,因为 ,故 ,即 ,故A错误; 对于B, ,无法判断,故B错误; 对于C,因为 , ,故C正确; 对于D,因为 ,故 ,即 ,故D错误. 故选:C. 4.已知a，b， ,则下列说法中错误的是( ) A. B. ， C. ， D. ， 解析:对于A， ，则由可得，A说法正确; 对于B，由，得，当时，有，则，所以B说法正确； 对于C，，， EMBED Equation.DSMT4 两边同乘 ，得 ， EMBED Equation.DSMT4 ，故C说法正确； 对于D，当 ， 时不满足 ，故D说法错误.故选:D 5.已知 ，且，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A，取 ， ，满足 ，取 ，有 ，A错误； 对于B，由 ，得 ，而 ，因此 ，B正确； 对于C，取 ， ，C错误； 对于D，由 ，得 ，因此 ，D正确. $$