1.4 充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 学习目标 理解必要条件、充要条件的意义 理解充要条件的意义 1 2 学习重难点 充分条件与必要条件 必要条件概念的理解 学习重点 学习难点 新课导入 在初中，我们已经对命题有了初步的认识.一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语一充分条件、必要条件和充要条件. 思考一下 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 结论 命题（1）（4）为真命题，命题（2）（3）为假命题 新课学习 充分条件与必要条件的概念 例题来了 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ 解： 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 思考一下 结论 我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q.一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的,并且数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ 解： 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗?如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗? 思考一下 结论 我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的，并且数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 对于下列“若p，则q”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假． 思考一下 结论 （1）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件； （2）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为假，所以p不是q的必要条件； 结论 （3）原命题为假，所以p不是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件； （4）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件． 充要条件的概念 逆命题的概念 将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题. 扩展一下 原命题 逆命题 p和q的关系 结论 真 假 p属于q,但是q不属于p p是q的充分条件 q是p的必要不充分条件 假 真 q属于p,但是p不属于q p是q的必要不充分条件 q是p的充分条件 真 真 q属于p,p属于q p与q互为充要条件 假 假 q不属于p,p不属于q p是q的既不充分条件也不必要条件 q是p的既不充分条件也不必要条件 p和q的关系四种形式 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ 解： 课堂巩固 C A A B A D 总结一下 充分条件与必要条件的概念 充要条件的概念 1 2 谢谢观看 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则x=1； （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b． 一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．这时， 我们就说，由p可以推出q，记作 ． 并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作 p q． 此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若x，y为无理数，则xy为无理数. （1）这是一条平行四边形的判定定理， ，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理， ，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于 ，但 ， ，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6） 为无理数，但 为有理数， ，所以p不是q的充分条件. （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则x，y为无理数. （1）这是平行四边形的一条性质定理， ，所以q是p的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理， ，所以q是p的必要条件. （3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， ， 所以q不是p的必要条件. （4）显然 ，所以q是p的必要条件. （5）由于 ，但 ， ，所以q不是p的必要条件. （6）由于 为无理数，但1， 不全是无理数， ，所以q不是p的必要条件. （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ； （4）若 是空集，则 与B均是空集． 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q 的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p 是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果 ，那么p与q互为充要条件. （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p： ，q： ， ； （4）p： 是一元二次方程 的一个根，q： . 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（也可能是菱形）， 所以 ，所以p不是q的充要条件. 因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角 形的判定定理，所以它们均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件. （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 ，所 以p是q的充要条件. 1.“ 且 ”是“ ”的( )条件. A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若 且 ,则 ； 但是由 推不出 且 ，例如 ，故必要性不满足； 所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.故选:C 2.“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为 ,所以 或 ，易得“ ”是“ 或 ”充分不必要条件，故选：A. 3.已知 ， 则“ ”是“ ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当 时， ，当 时， ， 则“ ”是“ ”的充分而不必要条件.故选：A. 4.常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件. 故选：B. 5.已知 ， ，则p是q的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充要也不必要条件 解析：因为 ,所以,p是q的充分而不必要条件. 故选:A. 6.“ ”是“ ”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 解析：当 时, ,所以 是 的充分条件; 当 时,得 或 ,不一定 ,所以 不是 的必要条件. 综上： 是 的充分不必要条件.故选：D. $$