4.7　一元二次方程的应用 课件 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

1111 4.7　一元二次方程的应用 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.探索以面积、利润问题为背景的应用题,找出其中的等量关系,建立一元二次方程,体会数学模型在解决现实生活问题中的作用. 模型观念、运算能力、应用意识 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用,经历将实际问题转化为数学问题的过程,提高数学应用意识. 应用意识、模型观念、运算能力 基础主干落实 新知要点 1.几何图形的面积问题 (1)涉及知识:三角形的三边关系、三角形的全等、勾股定理、各种规则图形 的______或______公式. (2)解决方法:一般运用__________寻找等量关系,不规则图形的面积通过________ 转化为规则图形面积的和或差求解. 面积 周长 面积公式 割补法 对点小练 1.如图,在高3米,宽5米的矩形墙面上有一块长方形装饰板(图中阴影部分),装饰板 的上面和左右两边都留有宽度相同为x米的空白墙面.若矩形装饰板的面积为4.5 平方米,则以下方程正确的是 ( ) A.(3-x)(5-x)=4.5　　 B.(3-x)(5-2x)=4.5 C.(3-2x)(5-x)=4.5 D.(3-2x)(5-2x)=4.5 B 新知要点 2.销售利润问题中常见的数量关系 (1)利润=售价-______. (2)利润率=利润÷______. (3)打折率=售价÷______. (4)总利润=每件利润×________=总收入-________. 进价 进价 标价 销售量 总支出 对点小练 2.某超市销售一种水果,若每千克盈利10元,则每天可销售500千克.经市场调查, 若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现超市要保证每天盈利6 000元.设每千 克涨价x元,可列方程为_________________________.  　(500-20x)(10+x)=6 000　 重点典例研析 【重点1】几何图形的面积问题 【典例1】(教材溯源·P152练习T1·2023淮安中考)为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18 m的篱笆围成.生态园的面积能否为40 m2?如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由. 【自主解答】生态园的面积能为40 m2,理由如下: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,设AB的长度为x m, 则BC的长度为() m,由题意得:x·=40, 整理得:x2-18x+80=0, 解得:x1=10,x2=8, ∴生态园的面积能为40 m2,AB的长为10 m或8 m. 【举一反三】 　在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上,修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种上草坪,要使草坪面积为540 m2,道路的宽为多少米? 【解析】设道路的宽为x m, 根据题意得:(32-x)(20-x)=540, 解得:x1=2,x2=50(不合题意,舍去). 答:道路的宽为2 m. 【技法点拨】 几何图形中面积问题的解题技巧(以矩形为例) 1.明确几何图形变化前的长和宽; 2.明确几何图形变化后的长与宽,用含未知数的式子表示出来; 3.根据图形的面积公式列方程; 4.方程的解要符合实际. 【重点2】销售利润问题(模型观念、运算能力) 【典例2】某超市销售一种饮料,进价为每箱48元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱60元,每月可销售60箱.现为了减少库存,决定对该饮料降价销售,市场调查发现:若这种饮料的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱. (1)若11月份每箱饮料降价2元,则该超市11月份可获得的利润是多少? 【自主解答】(1)由题意得:(60-2-48)×(60+2×10)=800(元). 答:若11月份每箱饮料降价2元,则该超市11月份可获得的利润是800元; 【典例2】某超市销售一种饮料,进价为每箱48元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱60元,每月可销售60箱.现为了减少库存,决定对该饮料降价销售,市场调查发现:若这种饮料的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱. (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润,则每箱饮料售价应定为多少元? 【自主解答】(2)设每箱饮料降价x元, 由题意得:(60-x-48)×(60+10x)=770, 整理得:x2-6x+5=0, 解得:x1=5,x2=1(不符合题意,舍去), ∴60-x=60-5=55. 答:每箱饮料售价应定为55元; 【典例2】某超市销售一种饮料,进价为每箱48元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱60元,每月可销售60箱.现为了减少库存,决定对该饮料降价销售,市场调查发现:若这种饮料的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱. (3)该超市能否每月获得880元的利润?若能,求出售价;若不能,请说明理由. 【自主解答】(3)该超市不能每月获得880元的利润,理由如下: 设每箱饮料降价y元, 由题意得:(60-y-48)×(60+10y)=880, 整理得:y2-6y+16=0, ∵Δ=(-6)2-4×1×16=36-64<0,∴此方程无解, ∴该超市不能每月获得880元的利润. (10分钟·15分) 1.(4分·几何直观) 某学校组织艺术摄影展,上交的作品要求如下:七寸照片(长7英寸, 宽5英寸);将照片贴在一张矩形衬纸的正中央,照片四周外露衬纸的宽度相同;矩形 衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸(如图),下面所 列方程正确的是( ) A.(7+x)(5+x)×3=7×5 B.(7+x)(5+x)=3×7×5 C.(7+2x)(5+2x)×3=7×5 D.(7+2x)(5+2x)=3×7×5 素养当堂测评 D 2.(4分·模型观念)某种服装,平均每天可销售30件,每件盈利40元,调查发现,若每件 降价1元,则每天可多售6件,如果每天要盈利2 100元,每件应降价多少元?设该服装 每件降价x元,根据题意可列方程为_______________________.  　(40-x)(30+6x)=2 100　 3.(7分·模型观念、应用意识)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:售价在40~60元内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个? 【解析】设售价定为x元, [600-10(x-40)](x-30)=10 000, 整理,得x2-130x+4 000=0, 解得:x1=50,x2=80(舍去). 600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个). 答:台灯的售价应定为50元,这时应购进台灯500个. 1111 4.7　一元二次方程的应用　第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.探索以增长率问题,数字问题等为背景的应用题,找 出其中的等量关系,建立一元二次方程,进一步体会数 学模型在解决现实生活问题中的作用. 模型观念、推理能力、 运算能力、应用意识 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活 中的应用,经历将实际问题转化为数学问题的过程,提 高数学应用意识 应用意识、模型观念、 推理能力、运算能力 基础主干落实 新知要点 1.增长率问题中常见的等量关系 (1)平均增长率问题:a(_____)n=b. (2)平均降低率问题:a(____)n=b. 对点小练 1.某市2021年人均可支配收入为2.36万元,2023年达到2.7万元,若2021年至2023 年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是( ) A.2.7(1+x)2=2.36 B.2.36(1+x)2=2.7 C.2.7(1-x)2=2.36 D.2.36(1-x)2=2.7 1+x 1-x B 新知要点 2.解一元二次方程的实际应用题的步骤: ①审题;②设________;③列______;④解方程;⑤检验根是否符合实际情况;⑥作答. 对点小练 2.过元旦了,全班同学每两人互发一条祝福短信,共发了380条,设全班有x名同学, 列方程为 ( ) A.x(x-1)=380 B.x(x-1)=380 C.2x(x-1)=380 D.x(x+1)=380 未知数 方程 B 重点典例研析 【重点1】变化率问题(模型观念、应用意识、运算能力) 【典例1】(教材溯源·P152例3拓展·2023郴州中考)随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率; 【自主解答】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x, 由题意可得:1.6(1+x)2=2.5, 解得x=25%,x=-(不合题意,舍去), 答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%; 重点典例研析 【典例1】(教材溯源·P152例3拓展·2023郴州中考)随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人. (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人? 【自主解答】 (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人, 由题意可得:2.125+10a≤2.5×(1+25%), 解得:a≤0.1. 答:5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 【举一反三】 2021年,我市某楼盘以每平方米7 200元的均价对外销售.因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经过连续两年下调后,2023年的均价为每平方米5 832元. (1)求平均每年下调的百分率; 【解析】(1)设平均每年下调的百分率为x,则7 200(1-x)2=5 832. 解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意舍去). 答:平均每年下调的百分率为10%; 2021年,我市某楼盘以每平方米7 200元的均价对外销售.因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经过连续两年下调后,2023年的均价为每平方米5 832元. (2)假设2024年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套100平方米的住房,他持有现金25万元,可以在银行贷款30万元,张强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算) 【解析】(2)张强的愿望能实现,理由如下:5 832×(1-10%)×100=524 880=52.488(万元). 由于25+30=55>52.488,所以张强的愿望能实现. 【重点2】数字问题(模型观念、应用意识、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P154习题4.7T8补充)一个两位数,十位上的数字比个位上 的数字的平方小9,若把个位数字与十位数字对调,得到的两位数比原来的两位数小 27,设原来两位数的个位数字为x,则可以列出方程____________________________.  　10(x2-9)+x-[10x+(x2-9)]=27　 【举一反三】 一个两位数的个位数字与十位数字的和为9,并且个位数字与十位数字的平方和为45,求这个两位数. 【解析】设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(9-x), 依题意,得x2+(9-x)2=45, 整理,得x2-9x+18=0,解得x1=3,x2=6. 当x=3时,这个两位数为63; 当x=6时,这个两位数为36. 即这个两位数为36或63. (10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)某种服装原价每件160元,经两次降价,现售价每件102.4元.设该服 装平均每次降价的百分率为x,则可列方程为( ) A.160(1-2x)2=102.4 B.160(1-2x)=102.4 C.160(1-x)(1-2x)=102.4 D.160(1-x)2=102.4 2.(4分·模型观念、运算能力)若两个连续奇数的积为63,则这两个数的和为 ( ) A.16 B.17 C.±16 D.±17 素养当堂测评 D C 3.(4分·模型观念)某班毕业时,每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表 示留念,全班共送1 892张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( ) A.x(x+1)=1 892 B.x(x-1)=1 892 C.x(x+1)=1 892 D.x(x-1)=1 892 B 4.(8分·模型观念、应用意识·2023大连中考)为了让学生养成热爱读书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5 000元,2022年用于购买图书的费用是7 200元,求2020到2022年买书资金的年平均增长率. 【解析】设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x, 则5 000(1+x)2=7 200, 解得:x=0.2,x=-2.2(舍去). 答:2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%. 本课结束 $$