第08讲 圆周角（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第08讲 圆周角（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型六 已知圆内接四边形求角度 题型七 求四边形外接圆的直径 知识点一 圆周角定义 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　 知识点二 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 1、 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦. 2、 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、 圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。 3、 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 知识点三 圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【微点拨】 (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 【典型例题一 圆周角的概念辨析】 1．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 3．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 4．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    5．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【典型例题二 圆周角定理】 1．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，则的度数为 ． 4．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 5．如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【典型例题三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 1．如图，圆上依次有四个点，交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是圆上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为 ． 4．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．    5．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：． (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【典型例题四 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 1．如图，为的直径，点C、D在上的两侧，连接，，若，则的度数为（   ）    A．40° B．50° C．60° D．65° 2．若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，是的直径，点C为上一点，若，则为 度．    4．如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为 ． 5．如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．    【典型例题五 90度的圆周角所对的弦是直径】 1．有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 3．长的一条弦所对的圆周角为，则此圆的直径为 cm． 4．如图，是的两条弦，且，，，则的半径长为 ．    5．如图，内接于，为的直径．，，求的长．    【典型例题六 已知圆内接四边形求角度】 1．，是的切线，A，B是切点，点C是上不同于A、B的一个点，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．80°或 2．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 3．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．    5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出圆心； (2)在图2中，在劣弧上找一点，使． 【典型例题七 求四边形外接圆的直径】 1．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 4．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 5．如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若为直径，，，求的长． 【变式训练1 圆周角的概念辨析】 1．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 3．已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【变式训练2 圆周角定理】 1．如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（    ）      A．2 B．1 C． D． 2．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    3．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【变式训练3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 1．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    3．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【变式训练4 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 1．如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 2．如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    3．如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，，求，的长． 【变式训练5 90度的圆周角所对的弦是直径】 1．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 3．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练6 已知圆内接四边形求角度】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 2．如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 3．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【变式训练7 求四边形外接圆的直径】 1．正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ． 2．（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的周长． 1．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 2．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 3．（2024·吉林·一模）如图，是的直径，为的弦．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东广州·二模）圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为 ． 7．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    8．（2024·山东滨州·三模）如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 9．（2024·甘肃定西·三模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ． 10．（2024·四川成都·三模）如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径两侧），若，则的大小为 ． 11．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，圆周角．若连接，则过圆心O吗？为什么？    13．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在中，，与相切于点A，与相交于点C，延长交于点D，连接． (1)求的大小； (2)当时，求的长． 14．（2024·贵州遵义·一模）已知四边形内接于，对角线是的直径 (1)如图①，连接若，求证：平分； (2)如图②，E为内一点，满足，，判断四边形的形状，并说明理由 15．（2024·安徽阜阳·一模）如图，C为上的一点，直径，的平分线交于点D，交于点E．    (1)求的长． (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆周角（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型六 已知圆内接四边形求角度 题型七 求四边形外接圆的直径 知识点一 圆周角定义 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　 知识点二 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 1、 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦. 2、 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、 圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。 3、 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 知识点三 圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【微点拨】 (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 【典型例题一 圆周角的概念辨析】 1．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 2．下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 3．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 【答案】斜边的中点 【分析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半即可． 【详解】解：∵由三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴圆心O斜边上的中点到各顶点的距离相等． 故答案为：斜边的中点． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 4．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 5．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【典型例题二 圆周角定理】 1．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 2．如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等即可得到． 【详解】解；∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解： 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 5．如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 【典型例题三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 1．如图，圆上依次有四个点，交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等．熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．如图，是的直径，是圆上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角，根据直径所对的圆周角为即可作答． 【详解】是的直径 故选：D． 3．如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：和都是所对的圆周角， ， 平分， ， 是的直径， ， ． 4．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．    【答案】35 【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：是所对的圆周角， 是的直径， ， 在中，， 故答案为: ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 5．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：． (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)分别为40°、40°、100° 【分析】（1）连接BE，AD，利用AB是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据是圆的直径可知，从而求出，再根据圆周角定理求解即可； 【详解】（1）解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴是的高， ∵， ∴． （2）解：∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由圆周角定理得：所对的圆心角的度数是， 所对的圆心角的度数是， 所对的圆心角的度数是 【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是 、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键． 【典型例题四 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 1．如图，为的直径，点C、D在上的两侧，连接，，若，则的度数为（   ）    A．40° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为90°，可得，再得出，根据圆周角定理得出，求出，进而得出答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的外接圆，根据90度的圆周角所对的弦是直径推出直角三角形的斜边即为该直角三角形外接圆的直径是解题的关键． 【详解】解：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴直角三角形的斜边即为该直角三角形外接圆的直径， ∴斜边长为10的直角三角形外接圆半径为5， 故选C． 3．如图，是的直径，点C为上一点，若，则为 度．    【答案】67 【分析】根据直径所对的圆周角是直角计算即可． 【详解】解：∵是的直径 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角；解题的关键是见直径想直角． 4．如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为 ． 【答案】10 【分析】连接，由圆周角定理得，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．    【答案】 【分析】根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可得，再利用含角的直角三角形的特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中“弧、弦、角的关系”等知识点．熟记相关结论即可． 【典型例题五 90度的圆周角所对的弦是直径】 1．有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角所对的弦是直径进行求解即可 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的是直径， 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角所对的弦是直径，熟知相关知识是解题的关键． 2．如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．记D为优弧上一点，连接，，利用圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数． 【详解】解：记D为优弧上一点，连接，，   ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， 故选：D． 3．长的一条弦所对的圆周角为，则此圆的直径为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记的圆周角所对的弦是直径是解本题的关键． 【详解】解：∵长的一条弦所对的圆周角为， ∴此弦是直径， ∴直径为． 故答案为：6 4．如图，是的两条弦，且，，，则的半径长为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，的圆周角所对的弦是直径，根据的圆周角所对的弦是直径得到是直径，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】连接， ∵， ∴是的直径， 又∵， ∴的半径长为， 故答案为：．    5．如图，内接于，为的直径．，，求的长．    【答案】3 【分析】证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本题的关键． 【典型例题六 已知圆内接四边形求角度】 1．，是的切线，A，B是切点，点C是上不同于A、B的一个点，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．80°或 【答案】C 【分析】此题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，发现四边形，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】解：如图，连接、，在弧上任取一点C；    ∵，是的切线，A、B为切点， 连接、， ∴， ∵， ∴在四边形中，可得； 则有①若C点在优弧上，则； ②若C点在优劣弧上，则． 故选C． 2．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 3．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．    【答案】15 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出圆心； (2)在图2中，在劣弧上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了尺规作图—作角平分线，格点作图，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由表格可知，，故圆心在上，利用网格找到的中点即可． （2）使，根据等弧所对的圆周角相等，利用网格找到劣弧的中点即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，点即为所求 【典型例题七 求四边形外接圆的直径】 1．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 2．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 3．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 4．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 5．如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若为直径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆内接四边形的性质等等： （1）利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得即可； （2）连接，，利用平行线的性质证得，再利用圆的内接四边形的性质证得，得到，再利用圆周角定理得到，最后在中即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，，如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴。 【变式训练1 圆周角的概念辨析】 1．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据，则可得出，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 【答案】8 【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案． 【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角． 故答案为8． 【点睛】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行分类统计即可得到正确答案． 3．已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 【变式训练2 圆周角定理】 1．如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（    ）      A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于，连接，由角平分线的定义可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等得出，进而可得出，由直径所对的圆周角等于得出，用勾股定理求出，即可求出的半径． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中， ， ∴的半径为， 故选：C． 2．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 【变式训练3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 1．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等． 根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选． 2．如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    【答案】/57度 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到，利用直角三角形的性质可计算出，然后根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 【变式训练4 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 1．如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 2．如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/29度 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【详解】解： ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，，求，的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出． 根据直径得出，根据勾股定理求出的长度；根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据等腰直角三角形的性质其解即可． 【详解】解：连接，如下图所示，    ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴． 【变式训练5 90度的圆周角所对的弦是直径】 1．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， 故选：B． 2．如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，连接，利用圆周角定理得到是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形中，， ∴为的直径， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 3．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 【变式训练6 已知圆内接四边形求角度】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 2．如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练7 求四边形外接圆的直径】 1．正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ． 【答案】． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． ∵正方形边长为4， ∴正方形的对角线长为， ∴外接圆半径为． 2．（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 【答案】（1）①； ；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可； （2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：（1）①∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵弦垂直平分半径，， ∴． ∵，即， 解得， ∴． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）求出方程的两个根，再利用勾股定理可得到该矩形外接圆的直径，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：当时，方程为， 解得：， ∴矩形的长是3，宽是2， ∴该矩形外接圆的直径为， ∴该矩形外接圆的周长为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和方程求解，准确理解矩形外接圆，判断出直径是解题的关键． 1．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心， ∴是四点共圆， ∴ ∴， 故选：A． 2．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．记D为优弧上一点，连接，，利用圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数． 【详解】解：记D为优弧上一点，连接，，   ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， 故选：D． 3．（2024·吉林·一模）如图，是的直径，为的弦．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质以及三角形内角和定理，连接，由圆内接四边形的性质可得出，由等边对等角可得出，最后由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是内接四边形，且 ∴ ∵， ∴ 故选：B． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2024·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等． 根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选． 6．（2024·广东广州·二模）圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：弦所对的圆心角是， ∴劣弧所对圆心角是， 劣弧所对的圆周角为， 故答案为：． 7．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/29度 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【详解】解： ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024·山东滨州·三模）如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2024·甘肃定西·三模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 【详解】解：依题意得：为的直径， ， 在中，寸，寸， 由勾股定理得：． 的长为24寸． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·三模）如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径两侧），若，则的大小为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了圆周角定理，先利用邻补角定义求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，圆周角．若连接，则过圆心O吗？为什么？    【答案】过圆心O，见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，因为不能确定是否过圆心，所以不能直接连接，“由，得∠BOC＝180°，从而是的直径． 【详解】解：过圆心O．理由如下： 如图，分别连接，    ∵， ∴，即B、O、C三点在一条直线上， ∴是的直径， ∴过圆心O． 13．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在中，，与相切于点A，与相交于点C，延长交于点D，连接． (1)求的大小； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线的定义得出，则，，结合，由三角形内角和定理则可以求出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，证明为等边三角形，再由含直角三角形的性质得出，进而可得出，，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （2）连接，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的定义，三角形内角和定理，直径所对的圆周角等于，等边三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这写性质是解题的关键． 14．（2024·贵州遵义·一模）已知四边形内接于，对角线是的直径 (1)如图①，连接若，求证：平分； (2)如图②，E为内一点，满足，，判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)见详解 (2)平行四边形，理由见详解 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由垂径定理证出，则可得出结论； （2）延长交于，延长交于，通过两组对边互相平行，证明四边形是平行四边形,可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 即平分； （2）解：四边形是平行四边形，，理由如下 延长交于，延长交于， ，， ， 是的直径， ， ，， ∴ 四边形是平行四边形， 15．（2024·安徽阜阳·一模）如图，C为上的一点，直径，的平分线交于点D，交于点E．    (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质． （1）根据平分，可得，再用勾股定理解即可求解； （2）过点A作于点H，可得为等腰直角三角形，推出，再用勾股定理解，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴ ∵平分， ∴． ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于点H，      ∵平分，． ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$