精品解析：云南省昆明市嵩明县昆一中嵩明学校(嵩明县第一中学）2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

2026届昆一中嵩明学校高一3月份月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. －2 3. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 6. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 7. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ） A. 函数的零点为， B. 函数的最小值为 C. 方程有3个解 D. 方程最多有4个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，其面积为，则_______． 13. 已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是______． 14. 某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是______米．（参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知指数函数的图象过点． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 17. 已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 18. 设函数. （1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （2）求在上的最值. 19. 如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，， （1）当时，求； （2）当四边形的面积取最大值时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届昆一中嵩明学校高一3月份月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，所以. 故选：A 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直转化为数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，且， 所以, 则，所以， 故选：B． 3. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 4. 在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为的最小角，为的最大角，利用余弦定理求得的大小，即可求解. 【详解】设为的最小角，为的最大角， 由余弦定理，可得， 因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是. 故选：B 5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，将式子化为，进而化简，然后结合基本不等式求得答案. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：A. 6. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解. 【详解】由正弦定理，得，解得. 因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解. 故选：C. 7. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，求得，再根据角的范围计算即可. 【详解】 是第四象限角，， ，. 故选：B． 8. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，由三点共线有，再用分别表示出、，最后应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为C，P，D三点共线，所以，即， 所以，又， 所以 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D. 【详解】对于A：，所以A正确 对于B：，所以B正确 对于C：，所以C不正确 对于D：，所以D正确， 故选：ABD. 10. 如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量的减法可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】设正六边形的中心为点，如下图所示： 对于A选项，由正六边形的性质可知，则四边形为平行四边形， 所以，，所以，，A对； 对于B选项，由正六边形的性质可知，、均为等边三角形， 则，故四边形为菱形，所以，， 由正六边形的几何性质可知， 所以， ，B对； 对于C选项，易知为等边三角形， 故，C对； 对于D选项，因为为等腰三角形，且，，故， 设，则为的中点，故， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为，D错. 故选：ABC. 11. 已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ） A. 函数的零点为， B. 函数的最小值为 C. 方程有3个解 D. 方程最多有4个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义对选项一一分析即可. 【详解】对于A，由，即，得或，所以的零点为和3，所以A不正确； 对于B，因为的解为和，由与的图象可知， 当时，有最小值，所以B正确； 对于C，因为的图象与有3个交点， 所以方程有3个解，所以C正确； 对于D，令，因为，由选项B中的图象可知， 当时，最多有2个解，， 当时，有2个解；而有2个解， 故最多有4个解，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，其面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 故答案为： 13. 已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】由为钝角，得到且与夹角不为，代入公式计算，再看与夹角是否可能为即可得解. 【详解】由，且为钝角，所以，解得， 当时，则，解得，此时与夹角为，不成立， 且． 故答案为：且． 14. 某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是______米．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中求出、，再由余弦定理计算可得. 【详解】在中，，所以米， 在中，米， 在中， ，则米． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知指数函数的图象过点． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数的概念列式求解， （2）由对数函数的单调性转化后求解． 【小问1详解】 由题知指数函数，则，得或，又， 图象经过，则，解得； 【小问2详解】 ，以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的， ∴满足条件， ∴不等式的解集为． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 17. 已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积公式及计算即可； （2）两个向量垂直则这两个向量数量积为，把条件代入计算即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得， 所以当时，向量与向量互相垂直. 18. 设函数. （1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （2）求在上的最值. 【答案】（1）；； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案； （2）利用函数的单调性求出最值． 【小问1详解】 因为， 令，解得， 所以的对称轴方程为， 令，得， 可得函数图象的对称中心的坐标为； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，，故. 19. 如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，， （1）当时，求； （2）当四边形的面积取最大值时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，结合诱导公式求得，最后由余弦定理即可求解； （2）结合（1）得，由结合面积公式表示出四边形的面积，再借助辅助角公式及正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，，由余弦定理得， 所以.因为，所以，由正弦定理得，即， 解得，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以且， 所以，在中，由余弦定理得； 【小问2详解】 由（1）得， ，此时，，且，当时，四边形的面积最大， 即，此时，，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $