《因数与倍数》（教案）-2023-2024学年人教版五年级数学下册

《因数与倍数》教学设计 《因数与倍数》教材分析 因数与倍数这一单元的知识是学生学习数学不可或缺的基础。之前，学生已经学习了一定的整数知识，如整数的认识、整数的四则混合运算及其应用。本单元将进一步认识整数的性质，主要学习内容包括：因数与倍数，2、5和 3的倍数的特征，质数与合数。因数、倍数、质数、合数等概念以及最大公因数、最小公倍数等内容都是初等数论的基础知识。数学一直被誉为学科的皇后，而数论更被誉为数学的皇后。单元的知识作为数论知识的基础，是小学数学教材中的重要内容。一方面，学习分数，特别是学习约分、通分，需要以因数、倍数的概念为基础，进一步掌握公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数的概念，需以质数、合数的概念为基础，同时掌握 2、5和 3的倍数的特征。另一方面，学习了本单元的知识，能使学生加深对整数与整数除法的认识，加之这些知识比较抽象，而且概念间的联系非常紧密，所以也有助于发展学生的数学思维。 一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学五年级》，下同）的主要区别 1．与实验教材相比，修订后的教材不再出现整除的概念，因数和倍数的概念由整数除法算式引出，而不是乘法，这样便于学生感知因数与倍数的本质内涵，领悟这两个概念不是 针对整数乘法，而是反映整数除法中余数为 0的情况，为后面找一个数的因数和倍数做准备。 2．与实验教材相比，修订后的教材更加明确了因数与倍数的相互依存的关系。 3．与实验教材相比，在学习 2、5、3的倍数的特征时，修订后的教材均采用了百数表，这样使学生的探究学习更加开放，有利于提高学生独立学习的能力和发展学生的创造性思维。 4．与实验教材相比，修订后的教材增加了两数之和的奇偶性的探讨，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。 二、教材例题分析 （一）因数和倍数 例 1：因数和倍数的概念例 1教材给出 9个除法算式，让学生试着分类；接着出示以商是整数且没有余数为分类标准分成两类的一种结果。在此基础上由第一类中的整数除法，引出因数和倍数的概念，并举例说明。从具体的整数除法等式到抽象的数学概念，再由抽象的概念回到具体，举例说明概念。这样的思维转换过程有利于学生认知概念，切实掌握概念。通过让学生说一说第一类中每个算式，谁是谁的因数，谁是谁的倍数，进一步体会因数和倍数是互相依存的。在例 1的最后，教材指出了本单元中的数的研究范围是大于 0的自然数。 例 2：一个数的因数的求法例 2直接提出问题：18的因数有哪几个？引导学生利用因数的概念从小到大依次写出，然后再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集图表示两个数的公因数打下基础，并使学生初步体会一个数的因数个数是有限的。 例 3：一个数的倍数的求法例 3教材直接提出问题：2的倍数有哪些？因为被除数相当于积，所以求 2的倍数可将 2和任意非零自然数相乘得到。学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。接着也用集合图表示出 2的倍数，为后面学习交集图表示两个数的公倍数奠定基础。最后引导学生抽象概括出一个数的最小、最大因数和最小倍数分别是什么，总结出一个数的因数、倍数的个数的结论，在其中渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳思想方法。 （二）2、5、3的倍数的特征例 1：2、5的倍数的特征 例 1教材采用了百数表，让学生画圈、画框、观察、发现、总结。比如，将 5的倍数圈起来，学生马上就能发现 5的倍数都集中在两列上，特征也非常明显，一列个位都是 5，另一列个位都是 0，因此学生能顺利的归纳出 5的倍数的特征。同样道理，将 2的倍数框起来，也能够显而易见地发现其特征。为了便于学生总结自己的发现，教材以学生对话的形式，给出 5、2倍数的特征的不完整描述，让学生把特征填写完整。在总结了 2的倍数的特征的基础上，教材引出了偶数、奇数的概念。完成了做一做，学生能够归纳出既是 2的倍数也是 5的倍数的数的特征。 例 2：3的倍数的特征例 2教材仍采用百数表，让学生先圈数，再根据提示，观察、思考，回答问题，获得新的发现。3的倍数的特征比较隐蔽，且容易受 2和 5倍数特征的观察定式、思维定式的影响。为了尽量避免已学知识对新知识学习的负迁移，教材第（2）条指导语，提出两个问题，启发学生排除只看到个位的定式，然后通过第（3）条指导语，提示变换观察的角度。两个女孩的对话，说出了探究过程中思维转换的关键内容。的提示，引导学生进一步验证规律。 （三）质数和合数 质数和合数的概念教材首先让学生找出 1―20各数的全部因数，然后按照每个数的因数的个数进行分类。在此基础上给出质数、合数的概念。同时指出 1既不是质数，也不是合数。在小学阶段学生可以理解为 1只有一个因数，质数有两个因数，合数有三个及多因数。 例 1：找出 100以内所有的质数例 1教材又采用了百数表，让学生找出 100以内的所有质数。通过学生的对话，介绍了两种操作方法。其中依次划去每个质数本身之外的所有倍数的方法，叫做筛法，它是数论中有着广泛应用的一个初等方法。由于小学用到的质数比较少，所以教材中只要求学生找出 100以内的所有质数。这些质数不必要求学生都背熟，但是熟悉 20以内的质数还是必要的。 例 2：探索两数之和的奇偶性例 2是以探索两数之和的奇偶性为例，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。教材根据奇数、偶数相加的三种情况，提出了三个问题。阅读与理解环节给出了三个问题的一种表征方式，即用算式表示。分析与解答环节提示了三种获取结论的方法，即举例、说理、图示。事实上，这三种方法结合使用，可以提高结论的可靠性，增强学生对结论的理解和确信感。 回顾与反思环节给出了用大数试一试的检验方法，并提出问题，请学生思考其他的验证方法。也就是启发学生联系加减法的关系想到：如果奇数+偶数=奇数是对的，那么一定有奇数―奇数=偶数奇数―偶数=奇数。这样既验证和的奇偶性，又获得了差的奇偶性的结论。作为教师必须清楚，举例验证本质上只是不完全归纳，不是证明。 本单元的教学重点是：因数和倍数的概念；2、5、3的倍数的特征；质数和合数的概念。教学难点是概念之间的联系和区别，在建立概念、运用概念的过程中，逐步发展数学的抽象能力与推理能力。 一、教学内容 教材第 5-8页，例 1、例 2、例 3、练习二，学习因数和倍数。 二、教学思路 借助除法算式引出因数和倍数的概念，经历知识的形成过程。在此基础上，让学生尝试用不同的方法找一个数的因数和倍数，掌握找一个数的因数和倍数的方法。 三、教学目标 1、初步了解因数和倍数的概念，理解它们相互依存的关系。 2、经历找一个数的因数和倍数的探究过程，掌握找一个数的因数和倍数的方法，学会有序思考。 3、体会数学知识之间的内在联系，培养思维的有序性和条理性，提高分析、概括和比较的能力。 四、教学重难点 教学重点：理解因数和倍数的概念，掌握找一个因数和倍数的方法。 教学难点：有序地找出一个数的因数和倍数。 五、教学策略 本节课是一节初始概念课，在教学时可采用数形结合的方式，化抽象为形象，通过拍照展示、希沃白板的形状工具等信息化教学手段，实现课堂的交互性和灵活生成性。学生自主探究一个数的因数和倍数，教师适当加以引导，避免学生的盲目猜测，通过小组交流、讨论、互相评价，促成学生对找一个数的因数和倍数的方法的掌握。 六、教学过程 （一）激趣导入 从一年级到五年级，我们每天都在和数打交道，我们到底学过那些数哪？一起来回顾一下，请看大屏幕，在数的世界里，这些都是我们曾经研究过的数，不同的数有着不同的含义，这是我们学过的整数、分数、小数，有了对数的认识，后来我们学会了用数和运算符号一起表示各种不同的算式。不同的算式就表示不同的数量关系。大家看，这里是我们学过的加法、减法、乘法还有除法。 今天这堂数学课，老师要和你们首先一起研究除法算式中的《因数和倍数》。（多媒体动画展示学过的数和算式，引出除法算式） 1、算式分类：同学们先小声读一读再和同桌交流，你能将它们分分类吗？你准备怎么分类？ 12 ÷2 = 6 8 ÷ 3 = 2 .........2 30 ÷ 6 = 5 9÷5=1.8 19 ÷ 7 = 2.........5 26 ÷ 8 = 3.25 20 ÷ 10=2 21 ÷ 21 = 1 63 ÷ 9 = 7 2、分类标准：观察发现，这些算式中被除数和除数都是整数，商既有整数也有小数，可以根据“商有没有余数”这一标准进行分类。商没有余数的除法算式： 12 ÷ 2 = 6，20 ÷ 10 = 2 ，30 ÷ 6 = 5，21 ÷ 21 =1 ， 63 ÷ 9 =7 。商有余数的除法算式： 8 ÷ 3= 2······2， 19 ÷ 7 =2······5 ，26 ÷ 8 = 3.25 ，9 ÷ 5 = 1.8。 3、你还有没有其它的分法吗？生思考反馈（按是不是整数分类） 【设计意图】：通过让学生把这些除法算式进行分类，使学生理解整除的含义，从而更好地理解因数和位数的概念。 (二) 、探究新知 在这样的除法算式中，潜藏着什么样的数学知识？请同学们看这样一段话，把你认为重点的地方画出来。 1、（1）、因数和倍数的含义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 师：说一说 12 ÷ 2 = 6 ，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 生反馈：(12是 2的倍数，2是 12的因数。) 师：6是不是 12的因数?12是不是 6的倍数？ 生思考并反馈：因为 12÷6=2所以，6是 12的因数，12是 6的倍数。 12÷2=6在 12 ÷ 6 = 2 中，12是 6的倍数，6是 12的因数。在 12 ÷ 2 = 6 中，12是 2的倍数，2是 12 的因数。所以，也可以这样说，12是 6和 2的倍数，6和 2是 12的因数。 师：由于乘法和除法是逆运算，引出乘法算式 2×6=12， 生：所以可以说 2和 6是 12的因数，12是 2和 6的倍数。 【设计意图】：引导学生因数和倍数既存在于整数除法算式，也存在于整数乘法算式.说一说： 20 ÷ 10 = 2 ， 30 ÷ 6 = 5 ， 21 ÷21= 1 ，这些算式中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数。 师：这样的算式能说的完吗？ （生：不能） 师：那有没有办法用一个算式表达所有这样的算式呢？ 生：可用 a÷b=c 师：那这个算式中 a、b、c是不是可以是所有的数呢？ 生：b是除数不能为 0，所以 a、b、c都为整数，（即非零的自然数）。师课件出示 注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。（1）、找因数和倍数关系师 出示：4和 24 26和 13 75和 25 81和 9 它们谁是谁的因数？谁是谁的倍数？生反馈：（他们存在的因数和倍数关系，） （2）、在 a÷b=c（a、b、c都是整数）他们谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 12÷6=2 12是倍数，6是因数。（ ） 师：对吗？为什么？ 生：不对，因为 12是倍数，12还是 24、36······的因数，6是因数还是 3、2的倍数，所以应说在算式 12÷6=2中，6是 12的因数，12是 6的倍数。 师：因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在，不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 【设计意图】：引导学生明确因数与倍数概念的条件与依存性。 2、探究找一个数的因数的方法。 （1）、课件出示教材第 6页例 2：18的因数有哪几个？学生先独立思考并写出来，然后在小组内互相说一说是怎么找的，再派代表汇报。 预设 1：列除法算式找的。根据因数的意义，被除数 18不变，改变除数，若商是整数而没有余数，则除数和商都是被除数 18的因数。18的因数有 1，2，3，6，9，18。补充：列除法算式时，除数从 1开始试除，当 18的因数开始重复出现时，说明18的所有因数找全了。 预设 2：列乘法算式找的。根据除法算式各部分之间的关系，用“被除数=除数×商”找出 18的因数。看 18是哪两个自然数相乘的积，这两个自然数就是 18 的因数。讨论 1：以上两种方式，在思考的时候都要注意什么？ （都要注意从最小的数找起，并且都是非 0的自然数。） 讨论 2：怎样才能把所有的因数都找出来？（有序、成对。） 【设计意图】：引导学生根据因数概念去思考，在经历找因数的探究过程中主动迁移知识，培养学生有序思考的能力。 （2）、因数的表示方法。 提问：写因数时，怎么写更合适？ 预设 1：列举法。18的因数有 1，2，3，6，9，18。 （把 18的因数按从小到大的顺序排列，每相邻两个因数之间用逗号隔开，全部写完后，用句号表示结束。） 预设 2：集合法。 （画一个椭圆，在椭圆的上面写“18的因数”，表示 18的因数的集合。把 18的因数按从小到大的顺序写在集合里，每两个因数之间用逗号隔开，全部写后，不用加句号，） 18的因数1， 2， 3， 6， 9，18 【设计意图】：明确因数的表示方法，渗透集合思想。即运用集合的概念、逻辑语言、图形等来解决问题的思想。 （3）、根据找 18的因数的方法找出 30和 36的因数。学生独立思考并写出来，然后集体交流。30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30。36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。师明确：当有两个一样的因数时，只写一个数。如 6 × 6 = 36 。 （4）、探究一个数的因数的特征。师提问：对比 18,30,36的因数，你发现了什么？发现：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 【设计意图】：明确因数培养学生观察、分析、概括的能力。 3、探究找一个数的倍数的方法。 （1）课件出示教材第 6页例 3：2的倍数有哪些？学生先独立思考，然后在小组内交流讨论，再在全班交流。 预设 1：根据倍数的意义，列除法算式找，看哪个非 0自然数除以 2，商是整数而没有余数，这个数就是 2的倍数，如 2 ÷ 2 = 1， 4 ÷ 2 = 2 ，6 ÷ 2 = 3 等等，则 2，4，6，......都是 2的倍数。 预设 2：根据乘法算式找出 2的倍数。2与非 0自然数的积都是 2的倍数。用 2分别乘 1，2，3，......，即 2 × 1 = 2 ， 2 × 2 = 4 ，等等，则 2，4，6，......都是 2的倍数。 提示：一般情况下，列乘法算式找一个数的倍数比较简单。但在给出的一些自然数中找一个数的倍数或判断一个数是不是另一个数的倍数时，用除法算式更简单。 师：你能找出多少个 2的倍数？ （无数个。因为 2的倍数有无数个，写不完。） （2）倍数的表示方法。 方法 1：列举法。（多媒体、形状、文字、触发动画）2的倍数有 2，4，6，8,10,12，......。（2的倍数的个数是无限的，写时从 2本身开始，依次写出 2的 2倍、3倍、4 倍......每相邻两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，所以一般写出 5-6个，然后加“......”，最后写一个句号。） 方法 2：集合法。（先画一个椭圆，在椭圆的上面写“2的倍数”，再把 2的倍数按从小到大的顺序写在椭圆里，每相邻两个倍数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加“......”，不用加句号。 【设计意图】：引导学生用省略号表示无限，进一步体会一个数的倍数的个数是无限的。 (3)根据找 2的倍数的方法，找出 3和 5的倍数。 （4）探究一个数的倍数的特征。观察 2、3、5的倍数，你发现了什么？2的倍数有 2,4,6,8,10，12，······。3的倍数有 3,6,9,12,15,18，······。5的倍数有 5,10,15,20,25，······。 发现：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数的倍数的个数是无限的。 【设计意图】：探究一个数的倍数特征，渗透了从个别到整体，从特殊到一般的抽象意识和归纳思想。老师和学生对所学内容进行小结。 （三）巩固练习 1、填空 (1)、一个数最小的因数是（ ），最大因数是（ ）。 (2)、一个数最小的倍数是（ ），（ ）有最大的倍数。 （3）、一个数的因数的个数是（ ），倍数的个数是（ ）。 （4）、（ ）是非零自然数的因数。 （5）、判断 <1>、1是 1、2、3······的因数。 （ ） <2>8的倍数只有 16、24、32、40、48。 （ ） <3>36÷4=9，所以 36是 4和 9的倍数。 （ ） <4>5.7是 3的倍数。 （ ） 2、猜一猜（1）猜是谁的因数？（？）、（？）、（？）、······（？）共 12个因数， <1>、如果这些因数是按从小到大的顺序排列的，且最后是 60，那么它们是谁的因数？ <2>、这个数的因数有哪些？ 提示：根据一个数因数的特征。 （2）、猜是谁的倍数？（？）、（？）、（？）、（？）、（？）、（？）·· ·<1>、如果这些倍数是按从小到大的顺序排列的，且第一个是 6，那么它们是谁的倍数？<2>、这个数的倍数有哪些？提示：根据倍数的特征。 3、完美数的介绍，6的因数有： 1, 2, 3 , 6. 1+2+3=6像 6这样的书数，叫做完全数（也叫做完美数）完全数非常稀少，目前一共找到了 51个完全数，其中较小的有 6,28,496,8128等。 （四）小结通过这节课的学习，你学到了哪些知识？ 【设计意图】：帮助学生梳理、巩固所学知识。板书设计因数和倍数 1、12是 2的倍数，2是 12的因数。 2、找一个数的因数列举法： 18的因数有 1，2，3，6，9，18。 集合法： 18的因数有 1， 2， 3， 6， 9，18 一个数的因数的个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 3、找一个数的倍数列举法：2的倍数有 2，4，6，8, 10，··· 。 集合法： 2的倍数有2， 4， 6， 8， 10，…… 一个数的倍数的个数是无限的，最小是它本身，没有最大的倍数。 学科网（北京）股份有限公司 $$