预习03 用空间向量研究直线、平面的位置关系（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习03用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 考点01 根据方向向量确定两直线的位置关系 【方法点拨】判断两条不重合直线的位置关系，只需取这两条直线的方向向量，若，则这两条直线垂直；若，则这两条直线平行． 【例1】（多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【例2】已知在正四棱柱中，，，E为的中点，F为的中点．求证： (1)且； (2)． 【变式1-1】（多选）如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（     ）. A． B． C． D． 【变式1-2】在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【变式1-3】如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 考点02 求平面的法向量 【方法点拨】利用待定系数法求平面法向量的步骤：①设向量：设平面的法向量为；②选向量：在平面内选取两个不共线向量；③列方程组：由列出方程组；④赋非零值：取中一个为非零值(常取)；⑤得结论：得到平面的一个法向量． 【例3】（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【例4】在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 【变式2-1】（多选）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【变式2-2】已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【变式2-3】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 考点03 证明线面平行 【方法点拨】设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需证明，即 【例5】l为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是（    ） A．l平行平面内的无数条直线 B．l平行于平面的法向量 C．l垂直于平面的法向量 D．l与平面没有公共点 【例6】如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【变式3-1】空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 【变式3-2】已知直线的方向向量，平面的法向量.若，则 . 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC； 考点04 证明面面平行 【方法点拨】求出平面的法向量，证明，即可证明 【例7】已知，分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【例8】在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【变式4-1】如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点． (1)求证：四点共面 (2)求证：平面平面． 【变式4-2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【变式4-3】如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面； 考点05 证明线面垂直 【方法点拨】方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积；⑤由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直． 方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行． 【例9】已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【例10】已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面． 【变式5-1】已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D． 【变式5-2】如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【变式5-3】已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 考点06 证明面面垂直 【方法点拨】证明面面垂直的三种方法： （1）证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直； （2）证明两平面的法向量垂直； （3）证明一个平面的法向量平行于另一个平面． 【例11】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面平面，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例12】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【变式6-1】已知三个互不相同平面，，的法向量依次是，，，则，两个平面的位置关系是 ，，两个平面的位置关系是 ，，两个平面的位置关系是 . 【变式6-2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【变式6-3】如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 考点07 已知平行求其他量 【例13】如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例14】如图，已知正方体AC的棱长为2、E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括界）一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 【变式7-2】如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 【变式7-3】在正方体中，M，N分别为，BC的中点，点Q为直线上的点，且，若平面，则 ． 考点08 已知垂直求其他量 【例15】在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 【例16】如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度． 【变式8-1】在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【变式8-3】如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点． (1)求证：平面． (2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（    ） A． B． C．与斜交 D． 2．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 4．在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 5．如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 7．在三棱柱中，为的中点，，平面，，则下列结论错误的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面 D． 三、填空题 8．已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α的位置关系为 ． 9．在空间直角坐标系中，已知A（0，6，4），B（0，3，4），C（4，3，4），（0，6，0），（0，0，0），（8，0，0），则几何体的体积为 . 10．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．    四、解答题 11．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 12．如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 13．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，为棱的中点.    (1)求证：平而； (2)设平面与棱交于点，求的值. 15．如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习03用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 考点01 根据方向向量确定两直线的位置关系 【方法点拨】判断两条不重合直线的位置关系，只需取这两条直线的方向向量，若，则这两条直线垂直；若，则这两条直线平行． 【例1】（多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 【例2】已知在正四棱柱中，，，E为的中点，F为的中点．求证： (1)且； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 由，，， 得，， 所以且． （2），由于，显然，故． 【变式1-1】（多选）如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设正方体的棱长为2， 对A：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，故A错误； 对B：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，故B错误； 对C：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，故C正确； 对D：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，故D正确. 故选：CD. 【变式1-2】在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 【变式1-3】如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 【答案】1 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故选：B. 考点02 求平面的法向量 【方法点拨】利用待定系数法求平面法向量的步骤：①设向量：设平面的法向量为；②选向量：在平面内选取两个不共线向量；③列方程组：由列出方程组；④赋非零值：取中一个为非零值(常取)；⑤得结论：得到平面的一个法向量． 【例3】（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【详解】由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 【例4】在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 【答案】 【详解】由题意，若平面经过点，且以为法向量， 则，即点的坐标满足的关系式为. 故答案为：. 【变式2-1】（多选）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 【变式2-2】已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为：9. 【变式2-3】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【答案】即为平面的法向量，是平面的法向量 【详解】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，.    易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 考点03 证明线面平行 【方法点拨】设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需证明，即 【例5】l为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是（    ） A．l平行平面内的无数条直线 B．l平行于平面的法向量 C．l垂直于平面的法向量 D．l与平面没有公共点 【答案】D 【详解】对A：没有强调，故A错误； 对B：平行于平面的法向量，可得，故B错误； 对C：同A一样，没有强调，故C错误； 对D:根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行. 所以“直线与平面没有公共点”是“”的充要条件.故D正确. 故选：D 【例6】如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    （2）由（1）知， 所以，所以. 【变式3-1】空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 【答案】C 【详解】由于是平面的法向量，且，不在平面内，则//平面，A正确， 对于B，由于,则四边形为平行四边形，故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 则平面,平面,则平面,故B正确， 对于C, 由于,则四边形为平行四边形，,显然矛盾，故C错误， 对于D，由于,由选项B可得，由于四边形为平行四边形， 故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 由于, 因此,故四边形为矩形， 故选：C    【变式3-2】已知直线的方向向量，平面的法向量.若，则 . 【答案】 【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量， 又，所以， 则，解得. 故答案为： 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC； 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 所以AB，AD，AP两两互相垂直， 如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，. 设平面AEC的法向量为， 则，取，可得， 所以平面AEC的一个法向量为， 可知，即， 又因为平面AEC，所以PB//平面AEC， 考点04 证明面面平行 【方法点拨】求出平面的法向量，证明，即可证明 【例7】已知，分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为，分别是平面的法向量，且， 所以，即，解得 故选：B 【例8】在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则 所以，， 因为，， 所以，， 因为平面，平面，， 所以平面． （2）由（1）知，是平面的一个法向量， 由点，，得， 因为， 所以， 因为平面，且， 所以平面． （3）由题可知，， 设平面的一个方向量为， 由得，取则， 因为，，即， 所以， 所以平面平面． 【变式4-1】如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点． (1)求证：四点共面 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在上取一点N使得DN＝1， 连接CN，EN，则AE＝DN＝1， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD， 又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC， 所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE， 所以， 所以四点共面； （2）因为H是的中点，所以， 因为，所以， 因为，且， 所以， 所以， 所以HGFB， 因为HG平面，FB 平面，所以HG平面， 因为 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 平面，所以平面， 又平面 所以平面平面 【变式4-2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式4-3】如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面； 【答案】证明见解析 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量， 则 , 即 ,令，则， 设平面的法向量， 则 , 即 ，令，则， 所以，即， 故平面平面； 考点05 证明线面垂直 【方法点拨】方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积；⑤由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直． 方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行． 【例9】已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【详解】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 【例10】已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】建立如图的空间直角坐标系，连结、． 则、、、、． 于是，，． 设平面的法向量为． 由，， 得，． 令，则，故．又， 易知，这说明与共线． ∴平面． 【变式5-1】已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D． 【答案】B 【详解】由题设，即，又是平面的法向量，所以. 故选：B 【变式5-2】如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【答案】C 【详解】   以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C 【变式5-3】已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：将正三棱台补成正三棱锥，如图所示： 因为，且，则、分别为、的中点， 则，，故是边长为的等边三角形， 由此可知，、都是边长为的等边三角形， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 故正三棱台的表面积为. （2）解：设点在底面的射影为点，则为正的中心， 取的中点，连接，则， ，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、 、， 则，，， 所以，，，所以，，， 因为，、平面，故平面. 考点06 证明面面垂直 【方法点拨】证明面面垂直的三种方法： （1）证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直； （2）证明两平面的法向量垂直； （3）证明一个平面的法向量平行于另一个平面． 【例11】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面平面，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为平面平面，，即，所以，解得：. 故选：C. 【例12】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【答案】证明见解析 【详解】由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点， 分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)， 故 ＝(0，0，1)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，1)， ， 设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)， 则，即 令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)． 设平面AEC1的法向量为＝(a，b，c)， 则，即, 令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)． 因为＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【变式6-1】已知三个互不相同平面，，的法向量依次是，，，则，两个平面的位置关系是 ，，两个平面的位置关系是 ，，两个平面的位置关系是 . 【答案】 【详解】解：三个互不相同平面，，的法向量依次是，，， 所以，即，所以； 又，则，所以； 同样的，则，所以. 故答案为：；；. 【变式6-2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【答案】证明见解析 【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1， 则， 所以， 设平面ECA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 设平面DEA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 因为，所以， 所以平面DEA⊥平面ECA. 【变式6-3】如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为底面是边长为1的菱形，， 所以⊥， 如图以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以， 平面的一个法向量是， 所以和共线，所以平面， 又因为平面，故平面平面． 考点07 已知平行求其他量 【例13】如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 【例14】如图，已知正方体AC的棱长为2、E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括界）一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， 则，，设平面的法向量为， 由，取，可得， ，由题意可知，平面，则， 令，可得；令，可得. 所以点的轨迹交线段于点，交线段的中点， 所以点的轨迹长度为. 故选：B. 【变式7-1】如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 【答案】 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 【变式7-2】如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）如图，连接，因为，所以．所以A，E，D，F四点共面． 因为在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点， 所以，．因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）如图，记的中心为O，连接， 由（1）平面，而平面，故， 又平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 过作直线，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是正三角形，，所以，，． 所以，，，，． 所以，． 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为，， 所以． 因为平面，所以， 即，解得， 此时．故DF的长为6． 【点睛】 【变式7-3】在正方体中，M，N分别为，BC的中点，点Q为直线上的点，且，若平面，则 ． 【答案】 【详解】以D为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，， 由得，则， 由题意知，向量，，共面， 故，使，故解得，则． 故答案为： 考点08 已知垂直求其他量 【例15】在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 取的中点，的中点，连接， 则， 则， ，故平行， 故， ， 故⊥，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 故点在平面上， 故当点重合时，线段长度取得最大值， ， 故的最大值为. 故答案为： 【例16】如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度． 【答案】(1)直线与平面所成角的正弦值为； (2)线段DE的长度为. 【详解】（1）过点作，垂足为， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面，平面， 所以， 所以直线与平面所成角为， 由已知四边形为菱形，，, 所以为边长为的等边三角形，故， 因为平面，平面， 所以，又， 所以， 在中，，，, 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为；    （2）连接，点为线段的中点， 由已知为等边三角形，所以，又， 所以，又平面， 以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设，则， 因为平面，平面， 所以，故， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以线段DE的长度为.    【变式8-1】在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 【变式8-2】如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)Q是的中点, 即. 【详解】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    设，则， ，设是平面的一个法向量， 则，令，得， 显然，即，而平面， 所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 由平面，得，即存在实数，满足： ，即，解得，因此，即Q是的中点， 所以线段上存在点，使平面，. 【变式8-3】如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点． (1)求证：平面． (2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析. 【详解】（1） 如图1，连结交于点. 因为是正方形，所以是的中点， 又是的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）存在，理由如下： 因为平面，平面，所以． 因为为正方形，所以． 又，平面，平面， 所以平面． 以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以为轴， 建立空间直角坐标系，如图2， 则，，，，，， 所以. 令， 则, 所以，所以. 因为，， 设是平面的一个法向量， 则，所以， 取，则是平面的一个法向量. 因为平面，所以， 所以有，解得，所以. 因为， 所以. 一、单选题 1．已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（    ） A． B． C．与斜交 D． 【答案】C 【详解】由与，得，即向量与不垂直， 因此不平行于平面，即直线，直线与平面也不平行，直线与平面相交，AD错误； 显然向量与不共线，即直线与平面不垂直，与斜交，B错误，C正确. 故选：C 2．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 3．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 4．在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设边长为2， 则， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量，平面的法向量为， 对A，因为，则可知与不平行，故A错误； 对B，因为，则与不垂直，故B错误； 对C，因为，所以与不平行，故C错误； 对D，因为，与垂直，故D正确； 故选：D. 5．如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为， 则，设， 故， 因为， 所以，即， 所以， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 故，， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据求出的关系，是解决本题的关键. 二、多选题 6．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确. 故选：BD 7．在三棱柱中，为的中点，，平面，，则下列结论错误的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABC 【详解】在三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，则、、、 、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，因为， 所以，平面与平面不垂直，A错； 对于B选项，，所以，平面与平面不垂直，B错； 对于C选项，，因为，则与平面不平行，C错； 对于D选项，，则，所以，，D对. 故选：ABC. 三、填空题 8．已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α的位置关系为 ． 【答案】或 【详解】∵， ∴， ∴或 故答案为：或. 9．在空间直角坐标系中，已知A（0，6，4），B（0，3，4），C（4，3，4），（0，6，0），（0，0，0），（8，0，0），则几何体的体积为 . 【答案】56 【详解】因为， 所以，，，， ，，， 所以，，即，， 又，，， ，，即，， ，平面，所以平面， 所以这个点是一个三棱台的个顶点，且与该三棱台的底面垂直， 又， 所以几何体的体积： . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由空间向量法得到几何关系，再由棱台的体积公式计算. 10．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．    【答案】 【详解】   因为在矩形中，平面， 所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，其中或不符题意， 则，，， 则有， 由，得 即， 若线段上存在点，即方程在有解， 设函数为，，对称轴为， 则方程在有解需满足， 又因为， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 12．如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】证明：（1）取BC的中点O，连接PO，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC. ∵ 平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC， ∴ PO⊥底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图. 不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝， ∴ A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)， ∴ ＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－). ∵ ＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0， ∴ ⊥，∴ PA⊥BD. （2）取PA的中点M，连接DM，则M(，－1，). ∵ ＝(，0，)，＝(1，0，－)， ∴ ·＝×1＋0×0＋×(－)＝0， ∴ ⊥，即DM⊥PB. ∵ ＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0， ∴ ⊥，即DM⊥PA. ∵ PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴ DM⊥平面PAB. ∵ DM⊂平面PAD，∴ 平面PAD⊥平面PAB. 13．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，为棱的中点.    (1)求证：平而； (2)设平面与棱交于点，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面，平面，， 又，且，平面. 平面. （2）在线段上取点，使， 连接，则，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分別为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，. 设. ，. 设平面的法向量为， ，， ，令，则. ，即，解得， 即. 15．如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）连接，在直三棱柱中，有， . 为中点， 又为中点，， ，， 又平面平面， 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面平面， ，解得， 当平面平面时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$