第09讲 一元二次方程章末十大题型总结（拔尖）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第09讲 一元二次方程章末八大题型总结（拔高） 【热考题型】 【题型一】利用根与系数的关系降次求值 1．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）若是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 3．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【题型二】利用一元二次方程的解法解特殊方程 4．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 5．（19-20九年级上·吉林长春·阶段练习）阅读理解： 解方程：． 解：方程左边分解因式，得 ， 解得，，． 问题解决： （1）解方程：． （2）解方程：． （3）方程的解为 ． 6．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 7．（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为．① 解得：， ∴或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： （1） （2） 【题型三】利用一元二次方程求最值 8．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 9．（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ． (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 11．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，，且， 那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x 的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【题型四】利用一元二次方程的根求取值范围 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于实数，，定义一种运算“⊕”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ． 15．（21-22七年级上·江西景德镇·期末）关于的方程的所有根都是比小的正实数，则实数的取值范围是 ． 【题型五】与一元二次方程有关的新定义问题 16．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 17．（23-24九年级上·四川成都·期中）定义新运算，规定．方程的解为 ． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 19．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【题型六】与一元二次方程有关的规律探究问题 21．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，按照这个规律，方程的解为 ． 22．（2023·山东济宁·二模）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 23．（2024·山东枣庄·一模）观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ． 24．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 25．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛； (2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种； (3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 26．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 27．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【题型七】一元二次方程在几何中的动点问题 28．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 29．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 30．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，，动点以的速度从点开始沿边向点移动，动点以的速度从点开始沿边向点移动，若两点分别从两点同时出发，设运动时间为． (1) ______， ______， ______；（用含的式子表示） (2)为何值时，的面积为？ (3)为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 31．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：    (1)当t为何值时，是直角三角形； (2)当t为何值时，的长度是； (3)当t为何值时，的面积是的． 32．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，t为正数，点E是的中点，点P是线段上的一个动点（不与点A重合），点Q是的延长线上的一个动点（不与点C重合），且，连接，，与交于点O．设，的面积为，的面积为，并设． (1)嘉淇认为，能用含有x的式子表示S，她的推理过程如下，请你补充完整： ∵, 且_________（用含x和t的式子表示）， _________（用含x和t的式子表示）， ∴=_________（用含x的式子表示）． (2)若，当时，求的长度（即x的值）； (3)若，请结合t值的不同范围，写出的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可） t的取值范围 的长度（x） 不存在 ▲1 ▲2 ①_________；②▲1处填写：__________________；③▲2处填写：__________________． 【题型八】一元二次方程与几何图形综合 33．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ． 34．（2021·四川内江·一模）如图，在的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是 ． 35．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，矩形的边在轴上，线段的长是方程的两个根（），四边形和四边形关于直线对称． (1)求点的坐标； (2)点和点分别从点出发，点以每秒2个单位长度的速度沿着运动，点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到终点停止．点和点在运动的过程中存在某一时刻，使得直线平分矩形的面积？求出此时运动的时间（单位：秒）的值； (3)在（2）的条件下，点在运动的过程中，连接，直接写出当为等腰三角形时，的值． 36．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料：当一个三角形的两个内角有倍数关系时，此三角形会有一些特殊的性质，如图，中，，我们称之为省重三角形，做，小明发现以下性质并给出如下证明： 在上取一点E，使，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即    请直接应用小明发现的规律，完成下列问题： (1)如图1，已知：在省重中，，，，则的面积________． (2)如图2，在省重中，，F为中点，求证： (3)如图3，平行四边形，对角线交于点O，，，，，，求四边形的面积． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一元二次方程章末八大题型总结（拔高） 【热考题型】 【题型一】利用根与系数的关系降次求值 1．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）若是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．利用一元二次方程解的定义以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．利用一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义可得，，，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 3．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，可得，用整体代入法即可求得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，，， ， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 【题型二】利用一元二次方程的解法解特殊方程 4．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 5．（19-20九年级上·吉林长春·阶段练习）阅读理解： 解方程：． 解：方程左边分解因式，得 ， 解得，，． 问题解决： （1）解方程：． （2）解方程：． （3）方程的解为 ． 【答案】（1），，；（2），，，；（3），． 【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可； （3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴，， 解得：，，； （2）， ∴， ∴，， 解得：，，，； （3）， 整理得：， 开方得：， ∴，， 解方程得：，； 方程中，此方程无解， 所以原方程的解为：，， 故答案为，． 【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键． 6．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 7．（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为．① 解得：， ∴或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），，，；（2）， 【分析】（1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解，同时注意． 【详解】解：（1）设，则， ∴， 解得：t=2或t=3， 即或， 解得，，，． （2）设，则， 则， ∴， 解得：a=-1（舍）或a=2， 即， ∴， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴，． 【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观，难度适中．同时也考查了无理方程的解法． 【题型三】利用一元二次方程求最值 8．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)6； (2) (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； （2）解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． 9．（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ． (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)4 (2)见解析；时，的最小值是2 【分析】本题考查了配方法的运用、完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍． （1）先根据两平方项确定出这两个数是x和2，再根据完全平方公式求解即可； （2）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4； （2）∵， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数， 当时，的最小值是2． 10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 11．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，，且， 那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x 的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)是 (2)48 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了二次函数的性质． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，则利用根与系数的关系得，，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵，，， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为48． 【题型四】利用一元二次方程的根求取值范围 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布情况，由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】根据题意得，， ∴， ①当时，即， ∴原方程为， ∴，不满足条件； ②当时，原方程有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内， ∴Ⅰ、， ∴， Ⅱ、， ∴无解； 故答案为：． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于实数，，定义一种运算“⊕”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的运算，根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 方程没有实数根， ， ， 故答案为：． 15．（21-22七年级上·江西景德镇·期末）关于的方程的所有根都是比小的正实数，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当当时，即 再分别求解方程的解，再列不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】解：当，即时， 当时，方程化为， 解得 不符合题意； 当时，方程化为， 解得 此时符合题意； 当时，即 由可得 解得： 解得； 解得 综上：的取值范围为：或， 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是根据方程的解的情况求解参数的取值范围，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【题型五】与一元二次方程有关的新定义问题 16．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可． 【详解】解：方程的解为、， ，， ∴． 故答案为：6． 17．（23-24九年级上·四川成都·期中）定义新运算，规定．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义和解分式方程，已知方程利用题中的新定义，得，化简，计算求出解即可．熟练掌握分式方程的解法是关键． 【详解】解：因为，， ∴ 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 故方程的解为． 故答案为： 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 19．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)0或 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； 故答案为：0或 （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． （3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【题型六】与一元二次方程有关的规律探究问题 21．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，按照这个规律，方程的解为 ． 【答案】， 【分析】先根据新定义得出方程，从而得到两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，， 方程的解为，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义下实数的运算，因式分解法解一元二次方程，理解题意，正确得出一元二次方程是解题的关键． 22．（2023·山东济宁·二模）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子， 依题意，， 解得：（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 23．（2024·山东枣庄·一模）观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ． 【答案】不存在 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个，根据图形中“”和“”个数的变化，可找出变化规律；，令即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个， 观察图形， 可知∶，， ； ，， ； 当时， ，即， 解得或，均不为整数，不符合题； 当时， ，即， ，无解； 综上，n的值不存在 故答案为：不存在． 24．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 【答案】（1），；（2）11 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】解：（1）第1个图案中黑色棋子的个数为4，白色棋子的个数为1； 第2个图案中黑色棋子的个数为9，白色棋子的个数为4； 第3个图案中黑色棋子的个数为16，白色棋子的个数为9； 第4个图案中黑色棋子的个数为25，白色棋子的个数为16； ， 第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （2）由题意得：， 解方程得： （舍去），， 所以正整数n的值为11． 25．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛； (2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种； (3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 【答案】(1)15， (2)30， (3)七，不存在，见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、判别式的意义、多边形的对角线的条数： （1）结合图中的数学模型，得6支足球队进行单循环比赛，即，根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则，即可作答． （2）中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律即可得结论． （3）先设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形，根据，解出即可作答．再设存在有33条对角线的凸多边形为边形，根据，解出即可作答． 【详解】（1）解：依题意，6支足球队进行单循环比赛，即（场）， ∵学校有n支足球队进行单循环比赛， ∴（场） 则该校一共要安排场比赛； （2）解：中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称）， 那么在这段线路上往返行车， 要准备车票的种数为：（种）． 故答案为：30； （3）解：依题意，设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形， 得 ∴ 则（舍去） ∴一个凸多边形共有14条对角线，它是七边形； 不存在有33条对角线的凸多边形： 设存在有33条对角线的凸多边形为边形，且为正整数， 得 则 ∵不是整数， ∴不是整数 所以不存在33条对角线的凸多边形． 26．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 27．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)36场 (3)16支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式． （1）线段的总条数与线段上的点数的关系式； （2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数8即可； （3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 故答案为：； （2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场， 共6个组，（场． 答：第一轮共要进行36场比赛； （3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得 ， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 【题型七】一元二次方程在几何中的动点问题 28．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 29．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 30．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，，动点以的速度从点开始沿边向点移动，动点以的速度从点开始沿边向点移动，若两点分别从两点同时出发，设运动时间为． (1) ______， ______， ______；（用含的式子表示） (2)为何值时，的面积为？ (3)为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时，的面积是 (3)当为时，的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意和三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：，，； （2）解：， ， 解得：或4， 即当或时，的面积是； （3）解：， ∴当为时，的面积最大，最大面积是． 31．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：    (1)当t为何值时，是直角三角形； (2)当t为何值时，的长度是； (3)当t为何值时，的面积是的． 【答案】(1)或者 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据题意有：，，根据运动的特点可知：，，即有，分当时，当时两种情况讨论，结合含度角直角三角形的性质列出方程，解方程即可求解； （2）过P点作于点D，画出图形，根据（1）可知：，利用勾股定理可得：，结合图形可得，即有，在中，，即可得方程，解方程接口求解； （3）过P点作于点D，过A点作于点E，先求出，根据（2）可知：，可得，再根据，列方程，解方程接求解． 【详解】（1）根据题意有：，， 根据运动的特点可知：，， ∴， ∵是直角三角形， ∴分类讨论： 当时，如图，    则有， ∴在中，， 则有：， 解得：； 当时，如图，    则有， ∴在中，， 则有：， 解得：； 综上：当t为1或者2时，是直角三角形； （2）过P点作于点D，如图，   或者   根据（1）可知：， 利用勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵，且在中，， ∴， 解得：或者， 即当或者，的长度是； （3）过P点作于点D，过A点作于点E，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据（2）可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，的面积是的． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理以及含度角直角三角形的性质等知识，灵活运用含度角直角三角形的性质，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 32．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，t为正数，点E是的中点，点P是线段上的一个动点（不与点A重合），点Q是的延长线上的一个动点（不与点C重合），且，连接，，与交于点O．设，的面积为，的面积为，并设． (1)嘉淇认为，能用含有x的式子表示S，她的推理过程如下，请你补充完整： ∵, 且_________（用含x和t的式子表示）， _________（用含x和t的式子表示）， ∴=_________（用含x的式子表示）． (2)若，当时，求的长度（即x的值）； (3)若，请结合t值的不同范围，写出的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可） t的取值范围 的长度（x） 不存在 ▲1 ▲2 ①_________；②▲1处填写：__________________；③▲2处填写：__________________． 【答案】(1)；； (2) (3)①；②2；③2或6 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程在几何中的应用．注意计算的准确性，结合实际情况进行检验． （1）根据题意分别表示出，即可求解； （2）令求出，根据“点P是线段上的一个动点”进行检验即可； （3）令求出，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； ； ； 故答案为：；； （2）解：当时，有， 解得，． 即或 ∵E是的中点， ∴， 故． ∴． （3）解：令，解得：， ∵E是的中点， ∴， ，即时，的长度不存在； ，即时，； ，即时，或； 故答案为：①；②2；③2或6 【题型八】一元二次方程与几何图形综合 33．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1， 根据题意，设AF=DE=CH=BG=x， 则AE=x-1， 在Rt∆AED中， ， 即， 解得：x=4（负值已经舍去）， ∴x-1=3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 34．（2021·四川内江·一模）如图，在的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是 ． 【答案】17或 【分析】先利用勾股定理可得，根据折叠的性质可得，再分①和②两种情况，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 则分以下两种情况： ①如图1，当时，为直角三角形， 过点作的垂线，交延长线于点， 则四边形是矩形， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得或（舍去）， 即此时； ②如图2，当时，为直角三角形， 由对顶角相等得：， ， 此时点与点重合， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即此时； 综上，的长为17或， 故答案为：17或． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、一元二次方程的应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 35．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，矩形的边在轴上，线段的长是方程的两个根（），四边形和四边形关于直线对称． (1)求点的坐标； (2)点和点分别从点出发，点以每秒2个单位长度的速度沿着运动，点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到终点停止．点和点在运动的过程中存在某一时刻，使得直线平分矩形的面积？求出此时运动的时间（单位：秒）的值； (3)在（2）的条件下，点在运动的过程中，连接，直接写出当为等腰三角形时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）解方程得出，，证明四边形是正方形，得出，即可得解； （2）分别表示出和，根据面积相等建立一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可 【详解】（1）解：解方程得：，， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 由对称可得：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：如图所示： 由四边形是矩形可得：四边形与四边形为直角梯形， 由题可得：，， ∵，， ∴，，， ∴，， 当时，， 解得：， ∴当运动时间的值为秒时，直线平分矩形的面积； （3）解：当时，为等腰三角形， 作于， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由对称可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， 作于， ∴， 由对称可得：， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 当时，位于之间，不符合题意，舍去； 综上所述，当的值为或秒时，为等腰三角形 【点睛】本题考查了解一元二次方程、矩形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键 36．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料：当一个三角形的两个内角有倍数关系时，此三角形会有一些特殊的性质，如图，中，，我们称之为省重三角形，做，小明发现以下性质并给出如下证明： 在上取一点E，使，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即    请直接应用小明发现的规律，完成下列问题： (1)如图1，已知：在省重中，，，，则的面积________． (2)如图2，在省重中，，F为中点，求证： (3)如图3，平行四边形，对角线交于点O，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)22 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在上截取，连接，从而可得是的垂直平分线，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）取的中点，连接，，由为的中点，得到为的中位线，利用中位线定理得到等于的一半，且与平行，得到，而，得到，由为直角三角形斜边上的中线，得到，得到，利用三角形的外角性质及等量代换可得出，利用等角对等边可得出，即可得证． （3）设，先证得是省重三角形，可得，可得，再由勾股定理得，从而得出，再列出方程求出x，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）在上截取，连接，    ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 中，， ， （2）证明：取的中点，连接，，如图所示：    为的中点， 为的中位线， ，且， ，又， ， 为的外角， ， 又为斜边上的中线， ， ， ， ， 则， ． （3）设， ，， ， 平行四边形， ， ， ， ， ， 是省重三角形， ， ， , ， ， ， 解得：（负值舍去） ，，， 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形的外角性质以及平行线的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$